一种判别正项级数敛散性的方法

引理:给定两个正项级数, 分别用 (A) 与 (B) 表示, 如果从某项起下列不等式成立:, 则级数 (B) 收敛蕴含着级数 (A) 收敛;级数 (A) 发散蕴含着级数 (B) 也发散。

证明:取定自然数0n, 使p=30n-2>0n, 设引理中不等式对于n≥0n都成立。而引理中的三个不等式可统一变形为:

显然有;当n≥p时, 可将n写成) 的形式, 其中。若n1

于是对于n≥n0, 都有由正项级数的比较原则, 得引理的结论。

定理:对于正项级数

则当时, 级数收敛;当发散。

证明:当时, 选取ε>0, 使得。根据定理假设, 存在自然数N, 当n>N时, 有选定实数s>1, 使则级数收敛, 且:

故当n充分大以后有:根据引理知级数收敛。

于是由引理及级数发散知级数也发散。 (注:在时, 此法不能判定。)

下面将定理所述判别法与通常的达朗贝尔判别法进行比较, 以说明本判别法的优点。

推论:对于正项级数, 若时, 级数收敛;当时, 级数发散。

, 由定理知结论成立。

若ρ<1, 则

若ρ>1, 则

2n证明:对任给的ε>0, 由 (1) 式, 当n充分大时,

反复使用 (2) 式可得:

若ρ<1, 则选取ε>0, 使得ρ+ε<1故, 同理，

若ρ>1, 则选取ε>0, 使得ρ-ε>1, 由 (3) 式可得, 同理可得:

据上可知:对于能用达朗贝尔判别法去判别其敛散性的正项级数, 也一定能用本文定理所述方法去判别;对于达朗贝尔判别法不能判别的某些正项级数, 本文定理所述方法仍可能有效。

摘要：本文给出了一种判别正项级数收敛或发散的方法, 它优于通常所用的达朗贝尔 (D′Alembert) 判别法。

关键词：正项级数,收敛,发散,判别法