关于幂级数知识误区的几点讨论

2022-09-11

1 基本知识简介

叫做幂级数, 有时候为了方便, 取a=0。对于一个函数项级数, 一个很自然的问题即是它的收敛域 (即x取何值时, 这个级数是收敛的) 。事实上, 早在17世纪法国的天才数学家阿贝尔 (Abel) 就已经提出了如下的定理, 它刻画了幂级数的收敛特性:

1.1 Abel定理 (只列举a=0的情形)

设在x0≠0处收敛, 那么, 该幂级数在绝对一致收敛, 若在x0处发散, 则, 级数在x处是发散的。

从此定理中得到启示:幂级数的收敛域只能是 (1) 单点集{a}; (2) 整个实数域; (3) 区间、或中的一种。于是我们发现一个很有趣的现象:幂级数的收敛域具有关于a的对称性, 而且 (1) 单点集可以看作是以a为圆心, 以0为半径; (2) 整个实数域可以看成是以a为圆心, +∞为半径; (3) 区间可以看成是以a为圆心, 以r为半径的收敛域, 所以半径的确定就成为了一个关键性的问题。法国数学家柯西 (Cauchy) 发现了如下定理:

1.2 柯西-哈达玛 (Cauchy-Hadamard)

考虑幂级数, 设,

若

(1) λ=0, 则在整个实数域上收敛;

(2) 0<λ<+∞, 则在 (-1/λ, 1/λ) 收敛, 并且将这里的p=1/λ叫做该幂级数的收敛半径;

(3) λ=+∞, 则只在x=0处收敛。

于是我们探明了一个幂级数的收敛范

围, 但是注意到上面定理中的第 (2) 条, 难道幂级数在边点x=-1/λ与x=1/λ处不收敛吗?其实对于幂级数

利用上述定理可以计算得到λ=1, 但是x=1时, 该级数是莱布尼茨级数, 是收敛的, 而x=-1时是调和级数, 是发散的;而的λ也是1, 但是这个级数在x=±1都是发散的级数, 所以幂级数在边点处的收敛状况是比较复杂的。阿贝尔确立的如下定理给出了比较完满的结论:

(1) Abel第二定理:

设幂级数的收敛半径为0

由此我们得到了幂级数收敛域的确定方法:先用柯西-哈达玛定理确定收敛半径, 再考虑边点的收敛性。从而我们在一个幂级数的收敛域内可以得到一个函数, 这个函数就叫做幂级数的和函数。

定义:两个幂级数在一个邻域内相等, 如果在这个邻域内有着相同的和函数。从该定义不难得到:

推论:两个幂级数

在邻域 (-δ,

δ) 内相等的充要条件是an=bn, n=0, 1, 2……。

讲到幂级数就自然要提到泰勒 (Taylor) 级数, 因为, 幂级数虽然是定义函数的一种方式, 但是在解决实际问题中, 我们大多是先遇到一个函数, 要将它展成幂级数, 然后用多项式的知识理论来研究该函数的性质, 而泰勒级数就是函数的一种按级数的展开形式。

定义:, 称

为f (x) 在x=x0处的泰勒级数。

注意, 一个函数在某一点有泰勒级数, 只需要该函数在这个点的某个邻域内无穷阶光滑即可。而另一个与之具有紧密联系的概念是一个函数的泰勒展开式:

定义:若f (x) 与一个幂级数

在内都有定义且相等, 那么就称f (x) 在x0可以泰勒展开成幂级数, 称为f (x) 在x0点的泰勒展开式, 也称f (x) 在x0实解析 (real parse) 。

2 容易出现的误区

误区I泰勒级数与泰勒展开混淆。事实上, 一个函数只要在某 (a-δ, a+δ) 上无穷光滑, 就有泰勒级数, 但是 (i) 这个级数不一定收敛, 若收敛, 其收敛范围也不确定; (ii) 该泰勒级数即使在某范围内收敛, 也不一定收敛到函数f (x) 本身。而泰勒展开式不仅要在 (a-δ, a+δ) 内收敛, 而且要收敛到f (x) 函数本身。比如说最为有名的柯西函数:。可以用导数定义计算, 故柯西函数在x=0点展开的泰勒级数恒为0函数, 所以泰勒级数未必收敛到函数本身。误区II泰勒展开与泰勒公式混淆。只要f (x) 在待考察的区间上有n+1阶导数就可以有n阶泰勒公式:

。但f (x) 未必可以泰勒展开, 究其根本是因为泰勒公式中的余项未必趋于0。比如1n (1+x) 在x=0处有n阶泰勒公式, 但是该函数的麦克劳林级数在x=2处不收敛 (这是因为1n (1+x) 麦克劳林级数的收敛半径是1) 。但是我们仍然有以下定理:

伯恩斯坦 (Bernstein) :

, 且f (x) 及其各阶导数都是非负函数, 那么f (x) 的麦克劳林级数在[0, r) 上收敛到f (x) 。

在该定理的论证过程中证明了, 当满足定理条件时, f (x) 的余项是趋近于0的, 有兴趣的读者可参阅一般的微积分教科书。

误区III认为泰勒级数一定有正的收敛半径。这是错误的观点, 现举出如下反例:

设, x∈R, 由于函数项级数在R上一致收敛, 所以可以无穷次逐项求导, 下面证明它的麦克劳林级数在x≠0是发散的:不难计算得到S (x) 的麦克劳林级数为:

欲证该级数在x≠0发散, 只要证明通

项不收敛到0即可, 而

当时, 有, 此时有

证毕

上面的例子曾经被认为是很难构造的级数, 但是以下结论彻底否定了它们的稀有性。定理:任何幂级数都是泰勒级数。因此, 取一个收敛半径为0的幂级数, 都是泰勒级数, 即泰勒级数未必有正的收敛半径。

摘要：幂级数是本科生数学课程中十分重要的内容, 许多学生对幂级数的认识存在一些误区, 本文旨在对其中一些容易混淆的知识点做一些讨论。