概率知识应用研究论文

摘要：随着我国素质教育的不断推行和实施，工学结合在很多高校已经成为一种教学方式，工学结合背景下，高校《概率论与数理统计》教材也进行知识体系的重构和改革。在工学结合的背景下，如何利用《概率论与数理统计》知识更好的为生活、工作服务，成为了我们探讨的课题之一。下面是小编精心推荐的《概率知识应用研究论文(精选3篇)》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

概率知识应用研究论文 篇1：

浅谈多媒体技术在高中概率教学中的应用

摘 要：随着时代的进步，多媒体技术早已走进校园。如何使多媒体技术与高中数学教学相结合是我们一线教师所关心的。本文以高中概率知识为例，讨论了多媒体技术在数学教学当中的要求和方法，希望以此来提高教学质量。

关键词：多媒体；高中数学；概率

新课标指出：“数学课程必须大力加强现代信息技术的应用，发挥现代信息技术对数学课程改革的积极作用，使现代信息技术成为学生学习的有效手段和工具，成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平台”。这就是说，要将信息技术也就是多媒体等融入教学过程当中，通过改变教与学的方式、改变学生获取信息以及教师传播知识的具体形式等来实现数学教学的突破和发展

在数学课堂教学过程中，应用多媒体组合教学方式，能将传统的教学媒体与现代教学媒体有机的联系起来。多媒体教学不仅可以提高学生的数学思维能力和学生学习数学的兴趣，还可以提高学生的学习效率。但多媒体教学在高中数学教学中也有其负面影响，多媒体教学中，使用最多的是powerpoint制作的演示型课件，它起到的作用成了“可移动板书”。有时教师上课只顾对着电脑演示，不断更换屏幕的内容，忽略了与学生之间的互动与交流，只是重复演示过程，而没有指出数学方法和数学思想，这样导致学生只会模仿做题，没有真正的对知识消化和理解。所以为了使多媒体教学能够发挥其本身的优势，要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，在教学设计上，要注意课件内容上的处理，充分利用多媒体良好的交互性，将知识分层次，由易到难进行引导性地练习。下面我将以概率部分的知识浅谈一下多媒体在高中教学中的应用。

一、多媒体技术辅助高中概率教学的基本要求

（一）课件内容紧扣概率内容重点、难点，有的放矢

在概率教学目标和多媒体辅助技术之间，后者是为前者服务的，在具体的教学过程中，教师必须分清主次。在教学过程中教师要利用多媒体课件在概率课堂教学中达到最优化，不仅要了解并且掌握好多媒体技术应用的软硬件，其自身也要下功夫。教师要认真思考，认真的设计一堂课的流程与组成环节。组成多媒体课件的资源，必须是要经过对概率内容重难点的深刻分析，加以选择，然后才能利用。

（二）坚持以人为本，教师与学生共同参与

教师是教学活动的主导者，学生是教学活动的主体，是整个学习过程的主人。在教学过程中特别要重视学生的学，尽可能的调动学生学习的主动性，务必使学生最大限度地参与到学习的过程中。设计概率教学内容课件时教师应认真分析教材，并根据学生的认知结构、学生的学习习惯以及学生对已学的概率相关内容的水平合理的分析来确定知识内容和知识难度，借助多媒体技术的转换功能与演示功能，使抽象的知识内容尽可能的化为具体形象的。

（三）适度的艺术性，合理的设计版面和模拟试验

教学本身就是一门艺术，全在教师的“设计”之中，整合则是使教师的教学实践能够成为一种艺术的重要基础、基本途径和方法。多媒体技术辅助概率教学中的课件要精选更要精致，课件设计时必须要有以学生为中心的思想，注重把科学性、教育性、启发性原则放在首位。在高中概率教学中运用多媒体，模拟试验几乎是首当其冲的，许多试验由于其时效性、现实性等原则无法实现，可以通过多媒体技术，真是的模拟试验现象。

二、多媒体技术辅助高中概率教学的方法

（一）计算机大型模拟实验、配图说明、学生动手操作小型试验相结合

对于学生来说，概率这部分知识的掌握重在理解各种现象，各种概型以及各种分布，但这其中有许多例子试验无法亲自动手操作，所以多媒体辅助概率教学在一些内容上是雙向选择的。但是有些现象的理解相对来说容易想象并且易于讲解的，许多教师就会采用传统的“讲授”式来进行教学。对一些需要做出统计分析的小型试验可以让学生动手操作，使学生切实参与到课堂教学中，用最直接的方式感受试验。

（二）利用多媒体技术的图表展示优势，实现对二项分布、几何分布和正态分布的比较

借助多媒体图表展示，在学生头脑中形成一个基本表格，达到对知识的深层理解和掌握。因为在具体的解决生产生活的问题，求方差、期望的时候首先要做的就是区分分布类型，选择相应的公式。达不到对几种分布的深刻理解，做不到正确区分，就无法选择正确的公式进行运算。

（三）深挖概率教学内容特点，量力而行，恰当选择、合理组合教学媒体

在选择教学媒体时，应当对概率相关知识的教学目标、内容、对象、策略等做具体深入分析，吃透课本、教学参考，适当剪裁。选择教学媒体时不应该只注重功能和价值，同时还应该注意教学媒体的实用性与教学环境之间的适用性等方面

多媒体技术在高中概率知识上的应用，充分说明多媒体技术在高中数学教学中的作用是非常重要的，多媒体教学作为一种新兴的教学手段，其优势非常明显，我们应根据自身的条件，多学习多应用计算机，大胆尝试编写辅助教学软件，“取其精华，去其糟粕”，一步步地把多媒体计算机引入课堂教学，不断提高自己的教学质量。

参考文献：

[1]多媒体技术在当前高中数学教学中的应用 刘红云 《读写算·教研版》2013年第08期

[2]多媒体技术在高中概率教学的应用研究 孙文蕴 硕士论文

[3]新课程理念 孔企平 胡松林著 东北师范大学出版社

作者：王汉杰

概率知识应用研究论文 篇2：

工学结合背景下《概率论与数理统计》教材改革与数学模型思想的应用

摘  要：随着我国素质教育的不断推行和实施，工学结合在很多高校已经成为一种教学方式，工学结合背景下，高校《概率论与数理统计》教材也进行知识体系的重构和改革。在工学结合的背景下，如何利用《概率论与数理统计》知识更好的为生活、工作服务，成为了我们探讨的课题之一。文章从工学结合的概述和教学理念出发，浅谈概率论与数理统计学科的发展和课程性质，并在此基础上阐述数学模型思想在《概率论与数理统计》中的概念和意义。与此同时分析工学结合背景下《概率论与数理统计》教学的现状，从而探讨数学模型思想在《概率论与数理统计》教学中的应用。

关键词：工学结合;概率论与数理统计;数学模型思想

《概率論与数理统计》是我国高等院校理工类、经管类的必修课程之一，也在理工科考研数学中占有非常高的比例。在我国素质教育的推行下，更多的高校开展了工学结合的教学方式，一方面让学生能够提前适应社会工作，培养学生正确的职业观和工作意识，同时还能够让学生通过工作将所学知识掌握的更加牢固，利用所学知识更好的为生活、工作服务，提高学习的有效性。

一、工学结合的概述和教学理念

1. 工学结合概述。工学结合是一种将学习和工作相结合的教育模式，学生的工作作为学校专业的一部分，除了遵照企业的一系列规章制度以外，还需要经过学校严格的考核，才能得到一定的发展和锻炼。工学结合并不是最近才兴起的教学模式，而是1903年英国桑德兰德技术学院实施的“三明治教育”，在我国的发展主要文革之前的半工半读，虽然在“八五”和“九五”期间取得了一定的成绩，但是在实施过程中仍然存在很多问题，遏制了工学结合的发展。

2. 工学结合的教学理念。工学结合是以“职业”为向导，以市场需求作为平台，以提升学生就业竞争力为目的的教学模式。工学结合教学模式的开展可以促使学生将理论与实践相结合，加深学生对专业理解的同时，加强专业知识的巩固和运用;其次学生通过工学结合，锻炼学生社会人际交往能力，培养学生的社会意识，有助于学生良好的职业观树立;再有学生通过工学结合，可以在工作中提高自身的综合素质，开阔知识面，扩大眼界，从而促使学生为自己的职业合理规划，提高社会的竞争力。

二、《概率论与数理统计》的发展与课程性质

1. 《概率论与数理统计》的发展

《概率论与数理统计》课程是我国工科院校一门非常重要的数学学科，也是一门从实践中总结发展起来的学科，主要包括概率论和数理统计两大模块。概率论和数理统计都起源于17世纪，随着世界各国的人口、贸易数量的增长，加大了对概率和统计的需求，促使其进一步发展。可以说概率论和数理统计是相辅相成互相促进的，一直到20世纪初，概率论和数理统计才发展为一门成熟的学科，并应用于各大高校的教学中。

2. 《概率论与数理统计》的课程性质。《概率论与数理统计》学科隶属于数学学科的一门分支学科，具有数学严谨性、应用性特点，但是又与《高等数学》《线性代数》等数学基础课程不同，《概率论与数理统计》主要是研究随机现象中所蕴含的客观规律，研究自然界中的确定现象，并加深对随机的认知和理解。本课程作为高等理工科院校的必修课程，其课程目标是要求学生掌握随机现象的基本理论知识和概率论、数理统计的验证方法，并且还需要学生通过课程的学习熟练运用处理随机问题的基本方式，从而培养学生的创新思维和创造能力。在工学结合的教学背景下，通过《概率论与数理统计》的学习，帮助学生更好地利用所学知识，更好地服务于生活、工作，为学生的日后发展奠定良好的基础。

三、数学模型思想的概念和意义

1. 数学模型思想的概念。数学模型思想是数学学习中常见的一种思维方式，主要是通过运用数学学科工具和计算机相关技术，将我们需要解决的问题转变为合适的数学模型，再利用数学知识进行计算、分析，从而得出问题的解决办法。随着数学模型思想可以将原本复杂、抽象的问题，通过建立数学模型使问题变得具体化、清晰化，帮助学生更好的理解，也可以解决数学学习中，数学知识和生活实践不能同步的问题，因此数学模型思想也逐渐在《概率论与数理统计》的学习中应用。

2. 数学模型思想的意义。

（1）增强课堂活跃性，提高课堂效率。数学模型思想在《概率论与数理统计》中的应用，有效的改善了传统教学枯燥单一的教学模式，增加了课堂的活跃性，利用数学模型思想将枯燥、逻辑性强的知识变得具体、形象化，提高了学生的学习热情，进一步提高了教学效率。

（2）加强模型思维在实际生活中的应用。对于工学结合背景下的《概率论与数理统计》教学，不仅仅是要求学生学会最基本的概率、统计知识，同时还要注重所学知识在实际生活、工作中的应用。数学模型思想的应用，将数学知识合理的渗透到生活当中，并利用数学模型思维解决生活中遇到的问题，在强化知识理解的同时，加强了对理论知识的应用，提高学生的工作效率。

四、工学结合背景下《概率论与数理统计》教材改革的现状分析

随着我国经济的不断发展和社会应用型人才的需求不断增多，对《概率论与数理统计》知识的需求也越来越多，而在高校该科目的教学中仍然保持以往的教学经验和教学模式，造成了教学中出现很多问题，亟待我们解决和进行教学上的改革。

1. 教材单一，教学内容多、课时少。就目前高校的《概率论与数理统计》教学研究分析，各高校对该科目的教材只有一个系列，学生学习来说知识面片面，而且教材中知识相对复杂，教学内容偏多，而高校对于课程的安排却少之又少，一般高校只有48课时的学习，就算课时安排较长的也不会超过72课时，这就导致教师在教学中为了完成教学任务而过于注重知识的灌输，使学生被动的接受知识，忽视了学生的自主思考和应用，违背了应用型人才的培养初衷。

2. 教学内容上注重概率部分，忽视数理统计。在传统的《概率论与数理统计》的教学中，教师往往更加注重概率论的理论知识学习，偏向于数理统计的计算方法;在课程的安排上大部分的课时在概率论的部分，相对于数理统计的课时要偏少一些;在教学内容上，教师过于注重“涵盖参数的估计”和“假设检验”这两部分，而忽视了“方差分析”“回归分析”应用性较强的部分，致使学生在学习完成后只是利用公式机械的完成一些概率的运算，而不能真正运用统计知识自主处理、分析数据，这在工学结合的教学中是有弊而无一利的。

3. 教学方法注重逻辑推理，忽视应用性练习。限于《概率论与数理统计》的逻辑性与抽象性，教师往往在教学中更注重的是培养学生逻辑推理的过程，将一大推推导公式传授给学生，学生面对枯燥的数学公式，往往会限制思维的发展。加上教师重视逻辑推理而忽视了应用性的练习，《概率论与数理统计》教學成为了教师的“一言堂”，和学生毫无互动交流。甚至有的学生由于听不懂教师讲什么，而在课堂上“思绪飘飞”严重影响了教学效果。

4. 教学模式单一，学生没有兴趣。传统的《概率论与数理统计》的教学中，教师往往采用单一的教学模式，对学生进行知识的灌输，学生失去学习兴趣。尽管随着信息技术的发展，各高校也逐渐将多媒体运用到教学中，但是众所周知，教师在多媒体教学中并没有真正发挥多媒体的教学优势，而是将课本教材放大搬上了大屏幕而已，不仅没有提高学生的学习兴趣，反而给学生造成了视觉疲劳，严重影响了教师的教学效果。这种理论式的教学方法在工学结合教育中造就出来的人才在并不能将知识应用于实际生活和工作当中，与我国应用型人才的培养目标背道而驰。

五、数学模型思想在《概率论与数理统计》教学中的改革与应用

1. 巧设问题情境，培养学生数学模型意识。对于学生学习《概率论和数理统计》知识，引导学生建立数学模型思想是必不可少的。为此教师可以为学生创设问题情境，引导学生利用数学模型解决概率、统计中的问题，一旦学生能够掌握模型思想，便会积极主动的参与到学习中，提高《概率论与数理统计》的教学效率。

例如，教师可以给学生创设问题“我们经济管理一共有60人，请同学们计算一下至少两位同学同一天生日的概率有多少？”教师可以引导学生利用数学模型思想来解决概率问题，以此培养学生数学模型意识。教师可以给学生传授数学建模的步骤，让学生按照步骤来进行验证。首先表述，学生根据教师提出的题目将问题转换为数学问题;其次，求解，选择合适的数学计算方法进行问题的解答;再有，解释，将问题的答案转换为实际的问题答案;最后，验证，将所得最后结果带入实际问题中得到最后的结果。那么关于生日的问题，我们就可以按照数学模型思想进行分析和解答，从而得出至少两位同学生日相同的概率为0.9941，那么也就是说，全班60个同学当中，至少有两位同学的生日是同一天。学生通过问题的创设和解决，利用数学模型思想将概率与统计问题模型化，从而找到问题的答案，对学习产生兴趣，以此同时还能利用数学建模思想巩固所学知识，一举两得。

2. 案例式教学，培养学生自主学习能力。《概率论与数理统计》的学习，不仅仅是靠教师课上的理论知识就能使学生理解和掌握的，教师要善于运用案例教学，通过案例教学传授学生数学模型思想，引导学生利用数学模型思想将问题转换为数学知识，从而使用数学知识解决现实中的问题，提高学生的学习效率，并且强化学生的自主学习能力。

例如，甲乙两人相约射击比赛，每人拿出200作为自身的赌资，两人指定相应的比赛规则“率先正中靶心三次的为比赛的获胜者，400元赌资全部归胜者所有”当两人在进行到第三局的时候，因为一些外界原因比赛中断，此时双方的战况为甲两负一胜，那么甲乙二人的赌资该如何分配？教师可以引导学生利用数学模型思想进行问题的转化，并以数学的角度进行分析、求解，与此同时教师可以要求学生以小组合作的形式探究，寻找问题的解决办法。那么学生通过数学模型思维得出，射击比赛中，三局便出现1：2的趋势，那么比赛将在五局之内决定胜负。那么接下来的两局中，可以产生三种结果即：甲胜2负0;甲乙各胜1负1;乙胜2负0;那么结合以上三局的结果，不难得出，甲乙双方在五场比赛中的获胜比例为1：3，所以甲将得到赌资的1/4即50元，乙得到赌资的3/4即150元。教师通过案例式的教学，将数学模型思维渗透到《概率论与数理统计》教学中，以此培养学生的学习兴趣，锻炼学生自主学习能力，从而提高教学的有效性。

3. 多媒体教学，降低学习难度。随着信息技术的发展，多媒体教学在《概率论与数理统计》中逐渐应用实施，因此教师处理利用多媒体进行PPT展示以外，还要充分利用多媒体图片、声音、动画等优势，逐渐渗透数学模型思维，将复杂、抽象的数学知识，通过多媒体的展示而变得清晰、立体，从而降低学生的学习难度，帮助学生更好地掌握《概率论与数理统计》知识。教师还可以在教学中利用一些关于概率统计的软件，像SPSS、SAS等等，并帮助学生掌握其基本的使用方法，降低科目学习难度，引导学生正确理解和运用所学知识。与此同时，还要将信息技术积极应用于教学中，教师可以为学生创建网络学习平台，设计相应的教学目标和教学任务，学生在工学结合的教育中，既能够保证工作需求，又不受时间、地点的限制同时兼顾学业，一举两得。除此之外，学生还可以通过网络平台提出学习、工作中的问题，教师给予及时解答和反馈，提高了网络资源的利用率，同时加强学生的工作、学习能力，为学生日后的学习和发展奠定良好的基础。

4. 数学模型思维运用于实际生活，解决生活中的问题。在工学结合的教育背景下，高校《概率论与数理统计》教学不仅仅是需要学生通过数学模型思维理解掌握理论知识，还需要学生通过数学模型思维的学习和应用，解决实际生活中的概率、统计问题，从而强化知识的实际应用。

例如，学生在超市工作的时候，经常遇到有的产品销量好，供不应求，而有些商品则是容易滞销，导致了超市的营业额不能提升，甚至出现营业额低于进货额的情况。针对这种情况，学生就可以对滞销的产品进行统计得出相应的销售数据，通过数学模型思维进行概率和统计的分析，从中计算销售期望以及销售额概率，利用销量好的产品和滞销产品捆绑，或者是滞销产品的促销等等，制定最优的产品组合，实现商品利润的最大化。

又例如，学生在某厂质检部门工作，质检部门规定“每天产品分三批包装，每批产品的次品率要低于0.01才能出厂”那么假如某天在抽检的时候抽到了次品，那么该生产的产品能否出厂？学生就可以利用数学模型思想进行数据的概率、统计分析得出，3批产品中抽一件次品的概率为0.03，而大于0.01，所以可以判断这批产品不能出厂。

所以，学生对《概率论与数理统计》的学习不能仅仅学习理论知识，还要善于利用数学思维模型将所学的知识融会贯通，应用于实际生活，让学生将理论知识和实际应用相结合，提高教学的有效性，同时提升学生知识的运用能力。

5. 鼓励学生参加数学模型大赛，提高学生的综合素质。工学结合教育背景下，学生对于《概率论与数理统计》的学习除了要进行数学模型思维的学习和日常工作中的应用以外，教师还要鼓励学生在学习、工作之余，参加数学模型大赛。让学生能够在建模大赛中学会尝试，并从大赛的参与过程中亲身体验发现和创造的过程，从而促使学生学习在学校和工作中都学不到的宝贵经验和亲身体会，以此锻炼学生的思维创造能力，提高学生的综合素质。

學生在数学模型大赛的参与过程中，还可以以小组为单位共同参赛，通过小组之间的探讨、研究、实践从而创造出数学模型。在此过程中，小组之间互相鼓励、互相补充，有争吵、有困惑，彼此之间又互相支持。也许在数学模型大赛中并没有取得相应的成绩，但是这一参赛经历，潜移默化地提高了同学之间的凝聚力，为学生的大学生活留下了一笔珍贵的精神财富，值得学生用一生回味。

六、结束语

综上所述，工学结合背景下的《概率论与数理统计》不仅仅是高校作为数学学科的分支进行的公共课教学，而是需要学生通过《概率论与数理统计》的学习将知识转化为数学模型思维，应用于实际学习和生活。因此，在该科目的学习中，教师要明确数学模型思想在《概率论与数理统计》教学中的意义和重要作用，在课堂教学上巧设问题情境，培养学生数学模型意识;利用案例式教学，培养学生自主学习能力;利用多媒体教学，降低学习难度;并引导学生利用数学模型思想解决生活中的问题;与此同时鼓励学生参加数学模型大赛，让学生能够在工学结合的背景下，通过数学模型思想深化《概率论与数理统计》的理论学习和实践应用，提高学生的知识储备、提升学生的就业竞争力、促进学生综合素质的发展。

参考文献：

[1]顾丽娟，张术东，董超.《概率论与数理统计》课程教学的探索与实践[J].教育教学论坛，2017（27）.

[2]杨柳.案例教学法在概率论与数理统计课程中的应用研究[J].教育理论与实践，2016（33）.

[3]罗林，王亚子，梁艳艳.概率论与数理统计课程的教学探讨[J].周口师范学院学报，2016（05）.

[4]欧诗德，梁燕来，韦盛学，等.应用型大学概率论与数理统计教学内容的优化与整合探讨[J].玉林师范学院学报，2015（02）.

[5]李双.《概率论与数理统计》教材与实践[J].数学教育学报，2012（05）.

[6]杨文强，吴翊.《概率论与数理统计》精品课程建设的思考[J].高等教育研究学报，2009（04）.

作者：胡娇铃

概率知识应用研究论文 篇3：

基于证据理论/层次分析法的贝叶斯网络建模方法

摘要：针对依据专家知识推断贝叶斯网络中条件概率表（CPT）时存在的个体推断信息缺乏完备性和精确性以及整体集成结果缺乏科学性的问题，提出了基于证据理论/层次分析法（DS/AHP）的能够从专家推断信息中提取最优条件概率的方法。首先，通过引入DS/AHP方法中的知识矩阵提出了有利于实现判断对象更直观、判断方式更完善的推断信息提取机制；其次，在此基础上遵循由前至后的推断顺序提出了贝叶斯网络的构建过程；最后，应用传统方法与提出方法对同一贝叶斯网络中的缺失条件概率表进行了推断。数值对比分析表明，所提方法能够在提高计算效率的同时将累计总偏差降低41%，验证了所提方法的科学有效性和应用可行性。

关键词：贝叶斯网络；证据理论/层次分析法；推断信息提取；Dempster组合规则；知识矩阵；条件概率表

文献标志码：A

0 引言

贝叶斯网络是一种概率网络，它采用有向无环图来描述随机变量之间的条件概率依赖关系，在表达和分析不确定性和概率性的事件中，因其能够建立系统所含变量之间的依赖关系而成为不确定情况下进行推理最直接和有效的工具。近年来贝叶斯网络逐渐成为众多领域的研究热点，现有研究在贝叶斯网络的推理机制和学习方法方面对贝叶斯网络进行了深入探讨，并进一步拓展了贝叶斯网络在实际问题领域的应用研究，将贝叶斯网络成功地应用于故障诊断^[1-2]、医疗诊断^[3]、可靠性分析^[4]和数据挖掘^[5]等多个领域，为提升贝叶斯网络在不确定推理领域的地位起到了至关重要的作用。

综合国内外的现有研究成果不难发现，并没有涉及对贝叶斯网络建模方法问题的系统研究，而Masegosa等^[6]首次尝试了针对贝叶斯网络结构展开的交互式学习方法，即利用训练样本集，尽可能结合专家先验知识，确定合适的贝叶斯网络拓扑结构。值得肯定的是上述研究将专家知识引入贝叶斯网络的结构构建中，为克服机器学习类方法的缺陷奠定了一定的理论基础。而在给定贝叶斯网络拓扑结构的情况下，确定各节点条件概率信息的后续参数学习仍主要依据已有的统计信息训练得到部分条件概率信息，而对无法从统计信息中确定的条件概率则需要借助专家经验进行主观推断，常通过引入直觉模糊函数^[7]或专家作出等级判断^[8]来给出条件概率表（Conditional Probability Table， CPT）。不得不指出的是，训练条件概率表是一项复杂的任务，从理论层面上讲这是一个NP（Non-deterministic Polynomial）-complete问题（现阶段没有可以在多项式时间内完成的算法），而从实践层面上讲这个过程需要多位知识工程师或领域专家（后文统称为专家）的共同参与，是在汲取多方知识和经验的基础上开展的训练。考虑到专业领域、知识背景、认知程度等诸多方面的差异，每位专家针对概率训练问题所给出的决策信息既具有片面性又具有不完善性^[8-9]。鉴于上述原因，本文将能够对不完善性信息进行表达、对片面推断信息进行融合的证据理论（Dempster-Shafer， DS）引入到条件概率信息的训练之中，并结合群决策中能够对决策对象表达偏好信息的层次分析法（Analytic Hierarchy Process， AHP），构建出一种依据DS/AHP原理从专家知识经验中训练条件概率信息的贝叶斯网络建模方法。

1 预备知识

贝叶斯网络可以描述为一个G=（（N，V），D），其中：（N，V）表示有向无环图，用于表示模型中定性知识方面的特征，N=（N1，N2，…，NR）表示所描述领域的变量集合，而V表示网络节点之间的有向弧集合。节点Nr与Nr′（r≠r′）之间若无箭线连接，则二者之间彼此条件独立，无直接因果关系；两个节点之间若存在有向箭线Nr→Nr′，则表示Nr与Nr′之间有直接因果关系，此时称Nr为父节点、Nr′为子节点，弧的方向决定了变量间的因果关系，可用于因果推理；D=（D1，D2，…，DT）代表网络中的条件概率参数集合，表示模型中定量知识方面的特征。因此，一个特定结构的贝叶斯网络G=（（N，V），D）用图和条件概率参数表唯一确定了领域变量N=（N1，N2，…，NR）上的联合概率分布。

贝叶斯网络一方面可以用来表示不确定性变量联合概率分布的图形模式，反映变量间潜在的依赖关系，而通过对这些变量关系的研究可以得到对象的知识表达；另一方面则可以模拟人的认知思维推理模式，用一组条件概率函数以有向无环图（Directed Acyclic Graph， DAG）的形式表示不确定性的因果推理模型，是不定性推理中可以进行因果模式、诊断模式、多原因模式和混合模式推理的唯一推理机制。综上所述，贝叶斯网络因其固有的知识表达和概率推理特征而正在成为解决不确定性问题的强有力工具。

Dempster-Shafer产生自20世纪60年代。Dempster^[10]提出了集值映射的概念，并诱导和定义了上、下概率。随后，Shafer^[11]用信度函数对上、下概率重新进行诠释，创立了“证据的数学理论”。Dempster还定义了著名的Dempster证据组合规则，该理论中的最基本概念之一是信度函数，因此也被称为信度函数理论。

证据理论作为概率理论的一种推广，是一种基于不确定框架的信度函数理论，因其能够克服概率理论自身只能处理纯定性问题的局限性，是处理不确定性问题的理想工具，并且已经在入侵监测、袭击与警报之间的影响、药物系统等领域^[12]显示出其独特的优越性。Dempster-Shafer模型还具有利用证据积累以缩小假设集合的重要能力，在区分不确定与不知道以及不精确反映证据收集过程等方面显示了很大的灵活性。

因此结合前文分析的贝叶斯网络现有研究成果，本文所研究的问题可界定为，针对具有已知特定结构的贝叶斯网络G=（（N，V），D），利用证据理论的相关方法集结领域专家的推断信息，并确定出D中缺失的条件概率表Dt的推理判断过程。为描述方便下面根据本文涉及的相关理论给出相应定义^[13]。

2 专家推断信息提取机制

本文所研究的贝叶斯网络参数学习是对于给定节点合理构建出CPT的问题，考虑到贝叶斯网络的学习是一个非增量式的学习过程，且从数据中学习贝叶斯网络类似于在一个指数级的网络结构中搜索，无论使用何种方法来指导搜索过程，大样本的复杂性和计算复杂度都是不可避免的。因此从数据中学习贝叶斯网络是一项艰巨的任务，特别是在数据缺乏、研究领域包含大量随机变量的情况下，而专业知识和专家经验的引入是公认的降低模型内在不确定性的最佳解决方案，所以被认为是确定CPT的一种重要手段。尤其是在近几年，专家的知识经验被越来越多地引进到贝叶斯网络的训练过程中来增强学习效果的可靠性^[6，15]。但不容忽视的是，在贝叶斯网络的训练过程中，由于实际情况的复杂性、观察环境的不稳定性造成训练过程中不确定性的来源不但有推理问题中条件规则的不确定性、片面数据导致的不确定性，还有专家不完全知识的不确定性以及专家所能够提供的识别空间的不确定性，从而使得利用专家知识确定CPT方法的科学性备受质疑，极大地妨碍了贝叶斯网络方法的推广和应用。需要指出的是，现有研究大都假设所有专家都有能力按照特定的信息需求结构（如两两比较判断矩阵）直接估计出条件概率值，并没有考虑到专家因在知识背景、研究领域、认识结构等方面存在诸多差异而导致推断能力和推断视角会有所不同的现实约束，从而容易造成个体推断信息缺乏科学性以及整体集成结果缺乏有效性等问题。由此可见，在实际过程中如何结合专家推断能力有限的现实约束，利用证据理论处理不确定性信息的优势，准确而全面地表达专家个体针对CPT推断问题给出的推断信息，并对专家个体推断信息进行科学的综合集成，是借助专家知识经验开展CPT构建的关键所在。

4 数值对比分析

结合Asia网络^[18]的引例，在给定参照标准数据的基础上，对本文方法和传统方法开展数值对比分析。Asia网络由7个节点和7条有向边组成，其中每个节点具有{True}和{False}两个不同的状态，考虑Asia网络本身具有如图3所示的条件概率参数结构，将其中固有的参数作为标准方法中的条件概率。

从偏差程度上看，本文方法得到的最优条件概率与标准数据给出的概率更为接近，累计总偏差为0.110；而传统方法得到的最优条件概率与标准数据的累计总偏差为0.185，利用本文方法得到的结果相比传统方法结果的累计总偏差降低了41%，从而验证了本文方法的精确性。考虑本文待推断的概率值的数目较少，而随着待推断条件概率值数目的增加，传统方法推断结果的总偏差与本文方法推断结果总偏差的差异将呈几何级倍数增加。由此可见，本文方法较传统方法更具有科学有效性。需要说明的是：本文方法的结果与标准数据之间在概率数值上之所以存在一定差异，主要是因为在模拟生成的推断信息中有不完备性信息以及专家须按照2-6标度开展推断（参见表2及表3），依据不完备性信息开展推断其结果必然与标准数据结果有所出入；其二，由演示案例中的计算过程数据显示，本文方法相比传统方法在提取专家意见时可以减少专家推断次数，而随着参与推断专家人数的增加，便可以显示出更高的效率；其三，本文方法之所以较传统方法更有效，根本原因在于其能够克服传统方法中对专家推断信息的需求结构要求过于苛刻而造成信息缺乏有效性的缺陷。由此可见，本文方法较传统方法更具应用可行性。

5 结语

针对现有研究在构建贝叶斯网络时直接利用专家估计构建CPT的处理方式，即或假设由所有专家推断给出的条件概率完全一致而不加说明地直接利用，又或对推断的条件概率进行简单加权集成，而使得该种方法的科学性备受质疑的问题，本文将群决策中能够对决策对象表达偏好信息的AHP方法引入到条件概率信息的训练之中，将各位专家提供的知识矩阵作为主观条件概率信息的提取手段与信息载体，并结合能够对不完善性信息进行表达、对片面推断信息进行融合的DS证据理论，构建了一种依据DS/AHP原理从专家知识经验中训练条件概率信息的贝叶斯网络建模方法，在此基础上遵循由前至后的推断顺序提出了贝叶斯网络的构建过程。最后应用一个Asia网络的引例，对其中因数据缺失而导致的缺失CPT分别利用本文方法和传统方法开展对缺失CPT的推断，并对比分析了本文提出方法与传统方法的具体操作过程和结果。对比分析说明，本文方法一方面可以克服传统方法中因忽略专家推断能力有限的现实约束但要求专家给出完备性和精确性信息而容易造成的个体推断信息缺乏有效性的缺陷；另一方面能够对专家个体主观推断出的不精确和不完善信息进行有效综合集成，保证了决策结果的科学性，为依据专家知识构建贝叶斯网络提供了新思路。

参考文献：

[1]LIU Y， SUN J， LIN Z. Optimal sensor placement for fixture fault diagnosis using Bayesian network [J]. Assembly Automation， 2011， 31（2）： 176-181.

[2]McNAUGHT K R， ZAGORECKI A. Using dynamic Bayesian networks for prognostic modelling to inform maintenance decision making [C]// IEEM 2009： Proceedings of the IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management. Piscataway： IEEE， 2009： 1155-1159.

[3]STOJADINOVIC A， NISSAN A， EBERHARDT J， et al. Development of a Bayesian belief network model for personalized prognostic risk assessment in colon carcinomatosis [J]. American Surgeon， 2011， 77（2）： 221-230.

[4]SIMON C， WEBER P， EVSUKOFF A. Bayesian networks inference algorithm to implement Dempster Shafer theory in reliability analysis [J]. Reliability Engineering and System Safety， 2008， 93（7）： 950-963.

[5]WONG M L， LEEB S Y， SAKLEUNGB K W. Data mining of Bayesian networks using cooperative co-evolution [J]. Decision Support Systems， 2004， 38（3）： 451-472.

[6]MASEGOSA A R， MORAL S. An interactive approach for Bayesian network learning using domain/expert knowledge [J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2013， 54（8）： 1168-1181.

[7]WANG X， WANG B. Situation assessment method based on Bayesian network and intuitionistic fuzzy reasoning [J]. Systems Engineering and Electronics， 2009， 31（11）： 2742-2746.（王晓帆，王宝树.基于贝叶斯网络和直觉模糊推理的态势估计方法[J].系统工程与电子技术，2009，31（11）：2742-2746.）

[8]FOX C R， CLEMEN R T. Subjective probability assessment in decision analysis： partition dependence and bias toward the ignorance prior [J]. Management Science， 2005， 51（9）： 1417-1432.

[9]SPEIRS-BRIDGE A， FIDLER F， McBRIDE M， et al. Reducing overconfidence in the interval judgments of experts [J]. Risk Analysis， 2010， 30（3）： 512-523.

[10]DEMPSTER A P. Upper and lower probabilities induced by a multiple valued mapping [J]. The Annals of Mathematical Statistics， 1967， 38（2）： 325-339.

[11]SHAFER G. A mathematical theory of evidence [M]. Princeton： Princeton University Press， 1976： 1-314.

[12]BOUKHRIS I， ELOUEDI Z， BENFERHAT S M. Dealing with external actions in belief causal networks [J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2013， 54（8）： 978-999.

[13]YANG C， LI H. An evidence reasoning model with its application to expert opinions combination [J]. Systems Engineering—Theory and Practice， 2001， 21（4）： 43-48.（杨春，李怀祖.一个证据推理模型及其在专家意见综合中的应用[J].系统工程理论与实践，2001，21（4）：43-48.）

[14]BEYNON M. DS/AHP method： a mathematical analysis， inclu-ding an understanding of uncertainty [J]. European Journal of Operational Research， 2002， 140（1）： 148-164.

[15]NIELSEN S H， NIELSEN T D. Adapting Bayesian network structures to non-stationary domains [J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2008， 49（2）： 379-397.

[16]YAO S， GUO Y， HUANG W. An improved method of aggregation in DS/AHP for multi-criteria group decision-making based on distance measure [J]. Control and Decision， 2010， 25（6）： 894-898.（姚爽，郭亚军，黄玮强.基于证据距离的改进DS/AHP多属性群决策方法[J].控制与决策，2010，25（6）：894-898.）

[17]JU Y， WANG A. Emergency alternative evaluation under group decision makers： a method of incorporating DS/AHP with extended TOPSIS [J]. Expert Systems with Applications， 2012， 39（1）： 1315-1323.

[18]WU H， WANG W， YANG F. Structure learning method of Bayesian network with prior information [J]. Systems Engineering and Electronics， 2012， 34（12）： 2585-2591.（吴红，王维平，杨峰.融合先验信息的贝叶斯网络结构学习方法[J].系统工程与电子技术，2012，34（12）：2585-2591.）

作者：杜元伟 石方园 杨娜