探讨概率在现实生活中的应用

2022-09-11

数学是学好一切理论的首要基础, 概率论是数学的一个分支, 它研究随机现象的数量规律.广泛应用, 几乎遍及所有的科学领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查;在通讯工程中可以提高信号的抗干扰性, 分辨率等等。本文从理论问题到实践问题, 从而掌握实践问题与概率之间的关系。

1 概率有关性质

概率论是最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试, 某件事发生的可能性是多少, 这都是概率的实例。随着人们遇到问题的复杂程度的增加, 等可能性逐渐暴露出它的弱点, 特别是对于同一事件, 可以从不同的等可能性角度算出不同的概率, 从而产生了种种悖论。另一方面, 随着经验的积累, 人们逐渐认识到, 在做大量重复试验时, 随着试验次数的增加, 一个事件出现的频率, 总在一个固定数的附近摆动, 显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率, 这就是概率的频率定义。从理论上讲, 概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义。

概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中, 如果某一事件在全部事件中出现的频率, 在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于0和1之间。

有一类随机事件, 它具有两个特点:第一, 只有有限个可能的结果;第二, 各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。

在客观世界中, 存在大量的随机现象, 随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果, 就叫做随机变量。

随机变量有有限和无限的区分, 一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举, 这样的随机变量叫做离散型随机变量;如果可能的取值充满了一个区间, 无法按次序一一列举, 这种随机变量就叫做非离散型随机变量。

在离散型随机变量的概率分布中, 比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的, 都有一个分布曲线, 实践和理论都证明:有一种特殊而常用的分布, 它的分布曲线是有规律的, 这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数, 其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望, 差异度也就是标准方差。

2 概率解决丰富多彩的现实生活中的问题

概率密切联系生活与现实世界, 通过对某些事件的概率的探究, 可以帮助人们了解发现规律, 揭示事件的秘密, 从而做出合理的判断和预测, 感受概率对生活的决策、指导作用。

进入2008, 我们解决这样的问题:

北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”。现将3张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片 (卡片的形状大小一样, 质地相同) 放入盒子。 (1) 小玲从盒子中任取一张, 取到印有:“欢欢”图案的卡片的概率是多少? (2) 小玲从盒子中任取一张卡片, 记下名字后放回, 再从盒子中任取第二张卡片, 记下名字。用列表或画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况, 并求出小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率。

分析:本题以08年奥运吉祥物的卡通图案为问题情景, 创设了一个检测通过列表或画树状图并求两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率的数学命题, 具有鲜活的文化背景, 能够有效地激发学生研究问题的热情 (1) 从盒子中3张卡片中, 任取1张, 它们是等可能的, 因此取到印有:“欢欢”图案的卡片的概率是1/3。

(2) 因为小玲取卡片是有放回地选取, 第一次有3种取法, 第2次仍有3种取法, 画树状图列出小玲取到的卡片的所有可能情况为:

观察树状图共有9种情况, 两次都取到印有“欢欢”图案的卡片只有1种, 因此, 小玲两次都取到印有“欢欢”图案的卡片的概率为1/9。