全概率公式与贝叶斯公式在生活中的应用

全概率公式与贝叶斯公式是两个相辅相成的互逆的运算公式, 它对解决实际生活中的概率问题起着很重要的作用, 在我们生活中的应用也相当广泛, 比如:金融、保险中求回报率, 工程中求次品率, 医学中求患病率, 等等。下面, 本文就举例说明其在生活中的若干应用。

一、知识连接

定义1:设事件且满足:

定理1 (全概率公式) 设B为任一事件, 事件组为样本空间Ω的一个划分且, 则

全概率公式------由因生果!

定理2 (贝叶斯公式) 设B为任一事件, 事件组为样本空间Ω的一个划分且则

这种情况是:已知结果, 求该结果由某种原因导致的概率, 这就是“贝叶斯公式”!即贝叶斯公式------知果寻因!

实施关键:什么时候适合用全概率公式和贝叶斯公式?当一件事件的发生由多种可能时, 用全概率公式;而每种可能又都可导致此事件发生时, 用贝叶斯公式。

二、生活案例

白浅要闭关几天, 府上有一盆金莲花需要看管, 于是在闭关前交由邻居夜华帮忙照看[1]。如果几天内夜华记得浇水, 金莲花存活率为0.8;如果几天内夜华忘记浇水, 金莲花存活率为0.2, 假设白浅对邻居夜华并不了解, 即可以认为夜华记得浇水和忘记浇水的概率均为0.5, 问: (1) 白浅出关后金莲花存活的概率多大? (2) 若白浅出关, 发现金莲花还活着, 那么夜华“记得浇水”的概率有多大呢?

(1) 因此, 由前面所学知识可知, 金莲花存活的概率为:

(2) 现在是在“金莲花活着”的情况下, “记得浇水”的概率,

即事件A是在事件B已经发生的情况下发生的[2]。结合以上步骤, 其实就是求我们熟知的条件P (A|B) 概率, 即金莲花活着夜华记得浇水的概率为:

三、工程案例

某工厂中, 有甲, 乙, 丙三台机器生产同一种产品, 它们的产量各占总数的30%, 20%, 50%, 并且在各自的产品中分别有2%, 1%, 1%的次品, 将这些产品混在一起, 现随机地取一产品, 问它是次品的概率是多少?

且构成一个划分。根据题意可知:

则次品率为:

四、医学案例

针对某种疾病进行一种化验, 患该病的人中有90%呈阳性反应, 而未患该病的人中有5%呈阳性反应, 设人群中有1%的人患这种病[3,4]。问:某人做这种化验呈阳性反应概率有多大?若呈阳性反应, 则他患这种疾病的概率是多少?

则呈阳性的概率为:

呈阳性反应, 他患此病的概率为:

只要我们留意身边, 会发现诸如此类的案例还有很多, 在这里就不在一一例举。在此, 也说明了数学在我们生活中无处不在!

摘要：全概率公式与贝叶斯公式在概率论与数理统计课程中占有重要地位, 是工商管理类专业学生学习的主要内容。它在生活中无处不在, 比如:工程、医疗、金融、保险等领域的应用愈来愈广泛。下面本文仅举例说明其在生活中的若干应用。

关键词：全概率公式,贝叶斯公式,应用,案例

参考文献

[1] 吴彬, 谢玥.专业案例教学方法在高职数学课程中的应用探索[J].南通航运职业技术学院学报, 2013, 12 (4) :119-121.

[2] 马明, 冶建华, 张申贵等.随机数学建模方法及其应用--概率模型[M].北京:科学出版社, 2013.17-20.

[3] Stefani G, Boscain U, Gauthier J P, et al.Geometric control theory and sub-Riemannian geometry[M].New York:Springer International Publishing, 2014.

[4] 朱翔, 傅小波.应用数学 (下册) [M].北京:高等教育出版社, 2015.239-275.