如何在数学教学中渗透辩证思维的思想

“函数”不仅是中等数学中的一个重要概念, 同时也是变量数学的基础概念之一。教学中, 我们通常用“函数”的三要素向学生进行讲解。这对理解函数的概念而言, 不可非议, 的确起了很好的作用。但是教材中对函数的辩证思维内容涉及很少, 教学时, 执教者根本无从阐述和发挥, 从而导致教学大纲中, 培养学生辩证唯物主义观点的目的难以实现。如果我们在教学函数这一概念时, 把辩证唯物主义的基本观点有机地渗透在相关内容中, 适当加以讲解。这不但对培养学生的辩证思维能力百益无害, 也可对学生进一步学习变量数学打下基础。

在中等数学中, “函数”是用“某个范围内, x的每一个确定的值, 另一个变量y有唯一确定的值与之相对应”来定义的。这个定义是否能刻划两个变量之间相的互联系、相互制约的运动变化关系呢?这不难解决, 我们剖析一下定义就可以知道了。首先规定了自变量变化范围, 并约定它要取“每一个确定的值。”这一描述把自变量取值的确定性、任意性与完备性体现出来了。所谓确定性, 是指变量取值的方法为“一个确定的值, ”即取值是逐个进行的, 且一次仅取一个, 所谓任意性与完备性是指自变量要取“每”一个值。“每”有任取和取尽的意义, 就是说自变量取值的过程是既可取这个, 又可取那个的, 直至取尽每一个为止。由此可知自变量的运动变化在一连串取值的变化中得以充分的体现。由于对应法则的作用, 函数的运动变化随着自变量的变化而变化的结果就显而易见了。

在此, 值得一提的是:自变量取值的确定性、任意性与完备性是通过怎样的手段来实现的?因为函数定义本身没有回答这一问题。这就是辩证思维在函数概念中的运用。

“如果不把不间断的东西割断, 不使活生生的东西简单化、粗糙化, 不加以割碎, 不使之僵化, 那未我们就不能想象、表达、测量、描述运动。”列宁在《黑格尔“哲学史讲演录”》一书的摘要中指出。他的这一论述, 为研究变量的运动变化提出了辩证思维方法——变量无论取何种运动变化的形态, 都须人为地施予间断、割碎、僵化等手段, 然后才能想象、表达、测量、描述出来。自变量取值的确定性就是人为的间断、割碎、僵化的实施下得以实现的。研究变量的目的是描述、测量其运动变化, 人为的间断、割碎、僵化只是一时之需, 还必须使变量从间断、割碎、僵化的状态下“苏醒”过来。要使变量在被间断、割碎、僵化等状态下“复苏”过来, 就必须为其创造一定的条件, 只有在一定的条件下对立物双方才能转化。取值的任意性、完备性就是为“复苏”提供转化条件, 这就使人为的僵化转化成运动变化了。

这一辩证思维的过程, 实质上我们只进行了两次转化。第一次是人为地使运动过程暂时处于停滞状态, 以便测量、描述, 第二次是提供一的条件使停滞状态, 再次向运动转化。这两次转化, 不是简单的重复, 而是使人们对变量的认识起了一个质的飞跃。在函数作图中, 取值、描点的过程就是进行第一次转化, 用光滑曲线将分散的点连接起来, 就是进行第二次转化。经过这两次转化函数图象便一目了然了。这样不仅使学生学起来容易明白和记忆, 教师教起来也轻松多了。

初学函数的学生, 受常量计算和思维方式的影响, 认为变量一直是变, 常量永远是“常”, 对变量有时“受制”, 常量有时“不常”, 往往理解不深, 不明白研究变量必须通过研究其常量方能实现的道理。因此, 我们必须让他们逐步适应, 并养成运用辩证唯物主义的观点去认识和看待事物的变化。“人的认识是一步一步地由低级向高级发展, 即由浅入深, 由片面到更多的方面。”毛泽东同志在《实践论》中曾这样写道。当然, 研究变量同样也不能例外, 也必须按照这一规律先从运动变化的某些侧面的某些特定方面或状态进行研究, 然后再逐步由浅入深, 由表及里, 从事物的某些侧面至认识事物运动的全貌。如二次函数, 首先研究的是二次函数与X轴相交点的横坐标问题 (就是求解一元二次方程) , 进而研究二次函数值大 (小) 于零的问题, (就是求解一元二次不等式) , 它已在求方程二个解的基础上认识深化了一步, 开始由几个值向无数个值转化, 随着研究的深入, 更高级的二次函数概念才出现。由此可知, 研究常量往往是研究变量的先导, 一系列常量研究的积累, 就会由此及彼, 由量变引起质变, 所以研究变量必须通过研究其常量才能实现。

还应明确的是, 不仅变量与变量之间相互依存, 就是常量与变量之间也往往是相伴而生、相互依存、相互制约。变量在自己变化中, 常要受到某些“限制”, 正是由于有了这“限制”才使得函数变化千姿百态, 这种“限制”在数量上一般均以常量的形式出现。事实上, 指数函数、对数函数的底a的值, 就是一种“限制”。α的取值不同, 指数、对数函数的变化也随之不同。在实际问题中, 也常常遇到这种“限制”。如在一个动点到一个定点, 与定直线距离之比在一个定值的问题中, 定点、定值等都是“限制”, 不同的定值, 曲线形状各异。因此要善于抓住变量问题中的“限制”条件, 运用这个条件, 就会促进问题的解决。就是常量本身, 也不是一成不变的, 其内部也会有矛盾, 一切常量都是相对的。而一种过程转化为它过程的运动变化则是绝对的。

综上所述, 在运动变化与间断、割碎、僵化中渗透函数概念的辩证思维的思想, 有得于学生易学、易记, 还可以为日后学习变量数学打好基础。在常量与变量教学中渗透函数概念的辩证思维思想可以以让学生从常量计算思维方式中解脱出来, 明白研究变量必须通过研究其常量才能实现的道理。

摘要：如何在运动变化与间断、割碎、僵化, 常量与变量的辩证关系教学中渗透函数概念的辩证思维。

关键词：函数概念,辩证思维