从一个经典应用浅析非齐次线性方程组有解的条件

2022-09-10

线性方程组求解问题是线性代数中的重要问题,也是促进线性代数学科发展的核心内容之一。线性方程组有解的条件是线性代数教学中的重难点。本文将从密码中的一个案例出发,浅析线性方程组有解条件的教学。

1案例引入

某大学某毕业班名同学(不妨令)欲建立一个慈善账户,每名同学毕业后定期向账户存入款项,希望在二十年后能够利用这笔善款建一所希望小学。那么在账户密码的设计上面临着以下两个问题:

(1)从账户的安全和民主方面来考虑,密码不能由个人或者少数人来掌管,最好是能在超过一半以上的同学到齐以后才能得到一起得到密码,共同支配这笔钱;

(2)从可操作性考虑,二十年后聚齐所有的同学不太可能,因而不能要求班上所有同学都到齐才能得到密码。

综合以上两点要求,我们假设二十年后名同学(不妨令)到齐就能得到账户密码。事实上,我们可以利用线性方程组解的情况来解决这个实际问题。

2非齐次线性方程组解的判定定理及案例解析

其中x1,x2,…xn为未知量。如果b1,b2,…bm不全为零,则称方程组(*)为非齐次线性方程组。

下面的定理方程组AX=B是否解提供了判定依据。

定理设AX=B为n元线性方程组,则

(1)AX=B无解的充分必要条件是R(A)

(2)AX=B有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)=n;

(3)AX=B有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)

证明:参见文献[1,§3.5],或[2]。

下面我们将利用上述定理来分析案例中的密码设定问题。在密码设立者设定密码时,首先建立由M(=30)个含有n(=20)个未定元的线性方程构成的方程组AX=B,如(*)所示,密码设立方法如下:

(1)方程组(*)有唯一解,即满足R(A)=R(A,B)=n,而且方程组的唯一解就是账户的密码;

(2)把方程组(*)中的第i个方程中系数及常数组成的向量(ai1,ai2,…,ain,bi)分配给第i个同学作为其个人密码,其中i=1,2,…m;当m(=30)个同学中出现l个同学,便能利用每个人手中的个人密码,组成由l个线性方程构成的方程组A′X=B′。事实上,方程组A′X=B′只是方程组AX=B中选出的个方程的重新排序。

(3)当m(=30)个同学中任意聚齐20个同学,要求重组的方程组A′X=B′都要满足R(A′)=n=20,因此可解出方程组(*)的唯一解,即账户密码;反之,若到齐人数少于20人,则A′X=B′满足R(A′)

值得注意的是,上述(3)中要求任意20个同学出现,构成的方程组A′X=B′都满足R(A′)=n=20,换言之,方程组(*)中的任意20个方程的系数向量都是线性无关的,为什么能做到呢?其中的原因由下面的命题得到,参见文献[1] 。

具体地说,方程组(*)中前20个方程的系数向量可以选取为线性无关的20维向量,第21个方程的系数向量的选取要满足和前20个行向量中的任意19个都线性无关。事实上,前20个方程的系数向量中任意取19个可以张成一个19维的子空间,共C2019=20个,记为W1,W2,…W20,由上述命题可知,在20维线性空间中,存在一个向量α不在这20个真子空间中,即与前20个行向量中的任意19个都线性无关。令这个向量为我们要找的第21个方程的系数向量。方程组(*)中的第22方程的系数向量的构造方法也如此:前21个方程的系数向量中任意19个构成子空间,共C2019个,同样,在20维空间中存在一个向量不在这些子空间中,取为第22个方程的系数向量。如此下去,就可以构造出30个20维向量,满足其中任意20个都线性无关。

3结语

在《线性代数》的课堂教学过程中,一般都缺少一个应用来讲解知识点,例如,线性方程组有解的条件,致使许多学生感觉到难以理解和把握,从而失去了对这门课程学习的信心和兴趣,因此,在教学中如果教师在教授过程中能够适当地引入一些应用实例,这样可以增强学生学习线性代数课程的兴趣和培养他们的应用能力,从而增强了学生对知识的掌握和理解,也能让学生对课程的应用有更深的认识。本文通过对线性代数在密码中的应用,浅析非齐次线性方程组有解的条件,更让学生也体会了抽象的代数知识的妙处和解决实际问题的强有力作用,加深对线性代数的理解。

摘要：线性代数是高校重要的基础课,线性方程组有解的条件是线性代数中的重难点。本文从线性方程组有解条件在信息密码中的一个经典应用出发,探究非齐次线性方程组有解条件的教学,以便学生更好地掌握这个知识点,提高教学效果。

关键词：线性方程组,密码设计,增广矩阵,秩