带积分边界条件的三阶边值问题的解的存在性

一、引言

由于三阶两点或多点边值问题广泛应用于数学、物理学等各种领域, 因此这一问题的研究受到了广大数学工作者的广泛重视, 也取得了很好的结果[1,2,3,4]。

众所周知, 带积分边界条件的边值问题不仅包含了两点、三点边值问题, 而且可以更精确地描述了许多重要的现象, 例如热传导, 化学工程, 地下水流, 热弹性, 等离子物理等, 因此, 它成为近年来数学工作者们研究的热点之一, 详见文献[5,6,7,8,9]及其参考文献。

受这些文献的启发, 本文运用Shauder不动点定理讨论了下述边值问题:

我们总是假设g∈C ([0, 1], [0, +∞) ) , 在一些有界集中, 本文考虑了非线性项f的局部性质, 并进一步获得边值问题解与正解的存在性结果。文章最后给出一个例子说明了本文获得的主要结果。

当A=B=C=0时, 正是文献[9]的第三章和第四章讨论的边界条件, 作者用到的工具是Legget-Williams不动点定理, GuoKrasnoselskii不动点定理。

二、主要结果

在本文的后续部分, 记µ=∫01g (t) dt, 且总是假设µ≠1。

引理1对于任意的v∈C[0, 1], 边值问题

有唯一解

其中

证明:如果u为边值问题 (2) 的解, 则假设

经过简单的计算可得,

从而, 边值问题 (2) 有唯一解

为了方便, 记

定理2假设f:[0, 1]×R×R→R是连续的, 如果存在τ>0, 4≤k≤2, 且满足

则边值问题 (1) 至少存在一个解u0, 满足

证明:假设v (t) =u′ (t) , t∈[0,1], 则边值问题 (1) 与下面的常微分方程系统等价:

易知系统 (3) 等价于下述积分方程系统:

现在, 定义算子F:E→E:

其中

易看出, 算子F:E→E是全连续的。结合系统 (4) 可知边值问题 (1) 与下述不动点方程等价:F (u, v) = (u, v) , (u, v) ∈E。

这表明

此外, 根据式子 (5) 有

综合式 (6) 和式 (7) 可知,

这表明F:V→V, 则根据Shauder不动点定理知, 算子F存在一个不动点 (u0, v0) ∈V, 即边值问题 (1) 存在一个解u0, 且满足

根据定理2, 我们给出边值问题 (1) 正解与非负解的一些存在性结果。

则边值问题 (1) 有一个解u0, 满足

证明:令

易知, f 2:[0, 1]×R×R→R+是连续的, 且有

接下来, 考察边值问题

由定理2我们知道边值问题 (8) 有一个解u0, 满足

根据C≤0, 可得

则鉴于式 (9) 和边界条件u′ (1) -∫01g (t) u′ (t) dt B=有

从而

因此, 根据式 (9) 和式 (10) 以及f2的定义知

综上所述可得, u0为边值问题 (1) 的一个非负解, 且满足

推论4当定理3的所有条件均满足, 如果以下条件满足其中之一: (1) A+B>0; (2) C<0; (3) f (t, 0, 0) ≡/0, t∈[0, 1]。则边值问题 (1) 有一个正解。

证明:情形 (2) 和情形 (3) 容易证明, 仅证明情形 (1) 。根据定理3可知, 边值问题 (1) 有一个解u0满足

设A+B>0, 则对于所有的t∈[0, 1]有

故u0是边值问题 (1) 的一个正解。

三、实例

考虑边值问题

经过计算可得, 容易验证该边值问题满足定理3的条件, 则边值问题 (11) 存在一个非负解。进一步可知边值问题 (11) 的边界条件满足推论4中的条件 (1) , 因此, 边值问题存在一个正解。

摘要：运用Shauder不动点定理, 建立了一类带积分边界条件的三阶边值问题的解与正解的存在性准则。最后, 一个简单的例子说明了本文的主要结果。

关键词：边值问题,积分边界条件,正解,不动点

参考文献

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