一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用（通用11篇）

篇1：一元二次方程及其应用

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用(1)

1.（2013四川泸州）若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k1B．k1且k0C． k1且k0D． k1且k0

2.（2013四川泸州）设x1,x2是方程x23x30的两个实数根，则x2x1的值为（）x1x2

A．5B．－5C．1D．－1

223.（2013山东滨州）对于任意实数k，关于x的方程程x－2(k+1)x－k+2k－1=0的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定

4.（2013广东广州）若5k200，则关于x的一元二次方程x24xk0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断

5.(2013兰州）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）

A．（x+1）2=0B．（x﹣1）2=0C．（x+1）2=2D．（x﹣1）2=2

6.（2013兰州）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）

A．7600（1+x%）2=8200B．7600（1﹣x%）2=8200C．7600（1+x）2=8200D．7600（1﹣x）2=8200

7．（2013·潍坊）已知关于x的方程kx1kx10，下列说法正确的是（）2

A．当k0时，方程无解B．当k1时，方程有一个实数解

C．当k1时，方程有两个相等的实数解D．当k0时，方程总有两个不相等的实数解 28.（2013·鞍山）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）＝b的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根

9.（2013·泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

10.（2013四川乐山）已知关于x的一元二次方程x22k1xk2k0。

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用,第1页

篇2：一元二次方程及其应用

所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。

一、微分方程数学原理解析

在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。

要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。

这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的`有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。

随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。

而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解(近似解)和定性理论方法。

而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型;其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。

三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析

从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型。

战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型;人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型。

疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型;自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。

尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：

比如弱肉强食微分方程模型。

生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。

设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖;兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。

就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。

那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢?在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：

其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度;-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比;dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。

四、结语

微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。

参考文献：

[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，.

[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，.

[3]李艳霞. 基于变分偏微分方程的图像分解研究与应用[D].中国海洋大学，.

篇3：浅析函数与方程思想及其应用

函数与方程思想体现出的是数学知识、能力、及其本质,同时它也体现了数学的学科特点。函数与方程思想在中学数学解题中是最基本的思想,所以对于中学数学的学习,十分有必要加强这种思想方法的训练,不断地提高学生思维的灵活性。

函数思想即为把问题中的量分化为变量和常量,并把这些量用字母表示出其相互关系,再利用函数的性质解决问题;而方程思想是把问题中的量分化为已知量和未知量,并把这些量用字母表示出其关系,利用方程、不等式的性质解决问题。总之一句话,函数与方程思想就是把数学问题都利用函数与方程去解决问题。

二、函数与方程思想的应用

在本文,我们将通过四种方法具体阐述函数与方程思想在解决数学问题中的重要应用。

(一)交轨法

交轨法也是方程组法的几何解释,在列成的方程组中每一个方程均表示一条轨迹,要求这些轨迹的“交”也就是求方程组的解。利用交轨法的解题步骤一般为先把问题化归为求一个“点”;再把已知条件分成几部分,使得每一个条件都形成一个轨迹;最后利用几何法或代数法求得轨迹的“交点”。

例1:A1,A2是椭圆的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1,A2的弦的两个端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程。

解:设交点P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0)A1,P1,P共线,则有

A2,P2,P共线,则有

(1)(2)联立,解得

代入(1)得到轨迹方程

评论:本例题是交轨法在解析几何中的典型应用,动点的约束分为两部分,即得到(1)(2)构成的方程组,解开得到的即为交点的轨迹方程。此题也是典型的条件组问题,是高考的重点。

(二)判别式法

判别式法就是利用方程的系数来判断根的情况,在解决问题时,将问题转化为二次方程,再利用判别式法和方程的性质解决问题。

例2:(1979年高考题)若(z-x)-4(x-y)(y-z)=0,

求证:x,y,z成等差数列。

解析:分两种情况

(1)当x=y时,由张定条件易得z=x,因此x=y=z,所以x,y,z成等差数列。

(2)当x≠y时,构造判别式为Δ=(z-x)2-4(x-y)(y-z)的一元二次方程:

∵方程(3)有相等的实根t1=t2

又直接观察可知方程(3)有根t=1

∴t1=t2=1由违达定理得

∴x-y=y-z,即x,y,z成等差数列。

评论:此题虽是早年的高考题,但其体现出判别式法的本质。本题也是构造方程的例子,利用Δ构造方程,然后解决问题。需要注意的是二次方程的二次系数不能为零,故本题应分类别解答。

(三)构造函数与方程

构造函数与方程的思想就是根据问题给出的条件和结论所具有的特点,构造出条件和结论的函数与方程,借助函数或方程去解决问题。

例3:(上海高考)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点。

已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2)若对于任意实数b,函数f(x)恒有一个不动点,求a的值。

解析:(1)依题意得x02-x0-3=x0,

∴x02-2x0-3=0,∴x0=-1或x0=3

∴函数的不动点为-1或-3。

(2)由函数f(x)恒有一个不动点可知ax2+(b+1)x+b-1=x

即ax2+bx+b-1=0,

于是Δ=b2-4a(b-1)=0

b2-4ab+4a=0恒成立,

评论:本题中的新情境———不动点,其实质是方程f(x)=x的根。构造函数ax2+(b+1)x+b-1=x这是利用变量相对的观点来构造辅助函数,从中也可以看到数学的自由思考特点。

(四)换元法

在问题解决过程中,引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”,这样便使关于新元的问题能够得到解决;再将新元的结果带回原题,即可得出旧元问题的结果,这种方法叫做换元法。

常用的三角代换:

(1)二次根式的三角代换(a>0)

(2)二次曲线的三角代换:

(3)万能置换:

例4:求函数的值域

∴,即函数值域是

评论:此题为典型的圆代换,这类换元是根号里面的整体换元,代换时要注意换元后的取值范围,确保前后一致。

总之,函数与方程思想所涉及的知识点多面广。它不仅是中学数学学习中十分重要的思想,也是各地高考的重点。学生如能熟练地利用一些函数与方程思想去解题,将会起到事半功倍的效果,也会常有“柳暗花明又一村”“一览众山小”的情况出现。因此,我们要掌握函数与方程思想在解题中的各种方法和要点,要重视和学会运用各种方法去分析问题、转化问题达到最后的解决问题。

参考文献

[1]张同君.中学数学解题研究[M].长春:东北师范大学出版社,2002.

[2]燕培雄.一元二次方程的根的判别式及其应用[J].中学生数理化(教与学),2011,(9):59.

[3]于江洪.点击函数与方程思想[J].中学生数理化(高中版),2011,(5):9-10.

[4]曹庆.浅谈换元法在求解某高中数学问题中的应用[J].都是家教:上半月,2011,(12):226-227.

篇4：一元二次方程及其应用

【关键字】一元二次方程 判别式 应用

一元二次方程是一个等式,是一个只含有一个未知数且最高项次数是2次的整式方程。其根的判别式及其应用是一元二次方程考题中出现较多也是较难的一部分,常出现在填空选择题和综合型的解答题中,是初中数学的重要内容。对一元二次方程根的判别式的知识点及其应用的分析,不仅锻炼了学生的思维,同时体现了以提高学生综合素质为重点的基础教育改革的最终目标,有利于培养学生主动探索的精神。

一、一元二次方程根的判别式基本概念

一元二次方程的基本形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),

由于可以将这个方程配方成为(x+b2a)2=b2-4ac,因此,根据平方根的意义,

将Δ=b2-4ac记为这个一元二次方程根的判别式,利用根的判别式Δ的代数值可以判断一元二次方程根的情况,在ax2+bx+c=0(a≠0)中,

若Δ>0,则原方程有两个不相等的实数根;

若Δ=0,则原方程有两个相等的实数根;

若Δ<0,则原方程没有实数根.

并且这个推断是充要条件,即从根的分布情况可以相应的推导出判别式Δ的代数值是大于、小于还是等于0。

此处应该说明的是:

(1)在使用根的判别式进行判断时,必须将方程化为标准形式ax2+bx+c=0,同时注意a≠0;

(2)若题中指定为方程有实数根,即表示根的判别式Δ=b2-4ac≥0。

二、根的判别式的具体应用

一元二次方程根的判别式主要用来判断方程根的分布情况,在题目中的应用也非常广泛,以下从几个方面具体分析它的应用:

(1)不通过解方程,判断根的分布情况

例1 不解方程,判断方程3x2+5x+2=0根的情况

分析:题目规定不需要求解方程的准确根,只对根的情况进行大致判断,由此知必是通过根的判别式Δ的代数值进行判断,由知识点即得。

解答:由3x2+5x+2=0知,Δ=b2-4ac=1>0,因此知道方程必有两个不相等的实数根。

总结:此类题目较为简单,即对知识点的考查,属于基础题型。

(2)含参数的方程中参数取值范围以及参数方程根的分布

例2已知关于x的方程14x2-(m-3)x+m2=0 有两个不相等的实根, 则m能够取得的最大整数是( )

A.2B.-1C.0D.l

分析:由题意可知,含参数m的方程有两个不相等的实根,因而由充要条件知方程根的判别式Δ>0,由此得到关于m的不等式,通过解不等式得到m的取值范围,在范围中取得最大整数。

解答:由于方程含有兩个不相等的实根,因而Δ=b2-4ac>0,即

由(m-3)2-4×14×m2>0, 知m<32

因而m的最大取值为1,选D.

总结:给定方程根的分布情况,求解参数的取值范围是一种常见的题型,若二次项系数为参数时通常是个陷阱,应首先在假定二次项系数不为0这种情况下运用根的判别式判断,再分析二次系数为0时的情况。

例3已知关于x的二次三项式9x2+mx+49是一个完全平方式,求其中m的值

分析:本题涉及到一个二次三项式是完全平方式,该题目可以通过配方的方式来解答,也可以令这个二次三项是等于0,由于完全平方式代表有两个相同的实数根,通过根的判别式为0来解出其中参数的值。

解答:令9x2+mx+49=0,由Δ=m2-4×9×49=0知,m=42

总结:这是一类较为简单的题型,运用的是转化的思想,把二次三项式转化为一元二次方程,由有两个相同的实数根再通过根的判别式带数值为0来解出其中的参数。

(3)几何情境包装的代数题

例4 已知a,b,c为ΔABC的三边,当m>0时,关于x的方程

c(x2+m)+b(x2-m)-2max=0有两个相等的实数根,求证ΔABC为直角三角形。 

分析:根据题设条件由根的判别定理可以得出一个关于参数的等式,化简等式,得到一个关系式,根据题设m>0,经过运算即可得出ΔABC为直角三角形的结论。

解答:将原方程化为标准式,为(c+b)x2-2max+cm-bm=0

根据题设条件方程有两个相等的实数根,知

Δ=4ma2-4(c+b)(cm-bm)=0 即

m(a2+b2-c2)=0 

由 m>0,知道a2+b2=c2 又因为a,b,c为ΔABC的三边,所以ΔABC为直角三角形。

总结:本题看似是几何题,证明ΔABC三角形是直角三角形,实际上是几何情境下的一元二次方程题,解决此类问题需要透过几何外包来把握住题目实际考察的知识点,通过判别式的基本知识点解答。

例5 已知含参数m的抛物线方程为y=x2+2x+m,直线方程为y=x+3m,问m取何值时两线相切?

分析:抛物线和直线的相交是解析几何中的问题,解决此类问题,首先应当知道抛物线和直线相切即为两个方程联立得到的一元二次方程只有一个解,根据根的判别式的定义知道,根的判别式代数值为0可解出m的值。

解答:联立方程y=x2+2x+m和y=x+3m得到x2+2x+m=x+3m

由相切得Δ=1-4(-2m)=0 从而知道m=-18

总结:在解析几何的题目当中经常会遇到交点的问题如有无交点,交点的个数,随着交点个数的不同,联立后得到的一元二次方程判别式代数值也不同。根据不同的条件用不同的关系解决问题。另外利用根的判别式还可以引申解决有关抛物线和x轴交点以及交点之间距离的问题,这类问题的解决不单单运用根的判别式,还要用到韦达定理的内容,在此不做过多的举例。

以上是笔者结合多年的教学经验,总结课本和习题以及学生容易犯的错误得到的关于一元二次方程根的判别式的应用,一元二次方程根的判别的应用远远不止这些,只有通过不断的练习才能熟练的掌握。

结论:

一元二次方程作为初中数学一块重要内容,包含着许许多多的东西,其中根的判别式的运用是教学当中的一个重点,也是一个难点,它的应用非常的广泛,并且它在进一步的数学学习中也占据着重要的地位,只有学好这一块的内容,才能学好代数,学好数学。

参考文献:

[1] 苏德周,浅谈一元二次方程根的判别式的应用,保山师专学报2000年

[2] 陈发国,浅谈根的判别式“△”的巧用 , 广西右江民族师专学报,2001年

篇5：一元二次方程及其应用

第二单元第8课时 一元二次方程及其应用

知识回顾：

知识点一：一元二次方程的定义及解法

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是________，这样的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的常见解法

（1）__________；（2）__________；（3）；（4）.例1：（2009·新疆建设兵团）解方程：(x3)4x(x3)0． 【解析】可以用因式分解法或公式法解一元二次方程.解法一：(x3)4x(x3)0

(x3)(x34x)0(x3)(5x3)0 22x30或5x30

x13，x23522解法二：x6x94x12x0

5x18x90x218(18)459252

181210

35x13，x2

2【答案】解法一：(x3)4x(x3)0

(x3)(x34x)0(x3)(5x3)0

x30或5x30

x13，x23522解法二：x6x94x12x0

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则k的取值范围是（）

A.k＞-1 B.k＞-1且k≠0 C.k＜1 D.k＜1且k≠0 【解析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以必须满足两个条件，之得，k＞-1且k≠0，故选B.【答案】B 同步测试：

1．（2009 芜湖）当m满足 时，关于x的方程x24xm的实数根．

2．（2009·山东省泰安市）关于x的一元二次方程x(2k1)x2k则k的取值范围是。知识点四：一元二次方程的应用：

步骤是：设 列 解 验 答

例4：(2009·辽宁省本溪市）由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为 ． 【解析】第二下降表示为16(1x),然后再列方程.【答案】16(1x)9 同步测试：

1．（2009 安徽）某市2008年国内生产总值（GDP）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系式是（）

A．12%7%x% B．112%17%21x% C．12%7%2·x% D．112%17%1x%

2．（2009·浙江省宁波市）2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资

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8．（2009·安徽省庆阳市）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：

（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

9．（2009·广西省玉林市）某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．（注：宾馆客房是以整间出租的）

（1）若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是___________元；（2）设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是_____________；

（3）在（2）中，如果某天宾馆客房收入y17600元，试求这天每间客房的价格是多少元? 10.（2009·广东省泉州市）如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米.(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S米.①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=933时x的值；

②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

【答案】 知识点一： 同步测试：

1.C 2.D 知识点二： 同步测试：

1.1 2.A 知识点三：

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b4ac48120x=22232, x113,x213

7．（1）2x2kx10，k42(1)k8，22无论k取何值，k2≥0，所以k280，即0，方程2xkx10有两个不相等的实数根．

2（2）设2xkx10的另一个根为x，2则x1解得：x2k212，(1)x，k1，12，2xkx10的另一个根为

12，k的值为1.8．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，得1500(1x)22160．

解得x10.2，x22.2（不合题意，舍去）．

1500(1x)1500(10.2)1800．

答：2007年该企业盈利1800万元．（2）2160(10.2)2592． 答：预计2009年该企业盈利2592万元 9．(1）18000（2）y＝（180＋x）（100－10x）＝（180＋x）（100－2x）（3）依题意，得

（180＋x）（100－2x）＝17600．

解之，得x＝40或x＝-20（不合题意舍去）． ∴180＋x＝180＋40＝220．

答：这天宾馆客房每间价格为220元． 10．解：（1）∵AB=CD=x米，∴BC=40-AB-CD=（40-2x）

篇6：一元二次方程及其应用

二维多重调和方程的BEM(法)及其应用

对二维多重非齐次调和方程应用BEM求解时将会出现域内积分项,在假定非齐次项为m次调和的情况下,将域内积分转化为边界积分,从而给出了相应的.不含域内积分项的边界和积分方程,从而可化为二维齐次问题讨论.

作 者：邱利琼 作者单位：重庆工学院,重庆,400050刊 名：重庆大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF CHONGQING UNIVERSITY(NATURAL SCIECNE EDITION)年，卷(期)：25(6)分类号：O175.2关键词：二维 多重调和方程 非齐次 BEM(法)

篇7：一元二次方程及其应用

基于Gassmann方程的鲕滩储层流体替换模拟技术及其应用

基于单井资料的`储层地震响应模拟和流体识别大多采用褶积模型,但对于复杂地质模型,采用褶积模型模拟的波场动力学特征不明显.提出了基于Gassmann方程的流体替换波动方程模拟技术,从波动方程角度刻画了复杂鲕滩储层模型的地震响应.该方法利用Gassmann等效介质理论,对鲕滩储层实现由干岩石到有效孔隙饱和岩石的替换,由已知预测未知;之后通过建立鲕滩薄互层模型和薄互层楔形体模型,正演模拟了鲕滩储层含气后的地震响应,地震响应表现为“亮点”特征.

作 者：林凯 贺振华 熊晓军 黄德济 Lin Kai He Zhenhua Xiong Xiaojun Huang Deji  作者单位：成都理工大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室,四川成都,610059 刊 名：石油物探  ISTIC PKU英文刊名：GEOPHYSICAL PROSPECTING FOR PETROLEUM 年，卷(期)： 48(5) 分类号：P631.4 关键词：鲕滩储层   Gassmann等效理论   流体替换   数值模拟   oolitic shoal reservoir   Gassmann?s equivalent medium theory   fluid substitution   numerical simulation  

篇8：一元函数的泰勒公式及其应用

1泰勒公式的概述

若函数f ( x) 在x = a处n阶可导, 则函数f ( x) 可以表示成:

注:1. 若, 称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

2. 若, 称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式.

3. 当a = 0时称为麦克劳林公式.

2泰勒公式的应用

2. 1用泰勒公式求未定式的极限

现设, 并已求得f ( x) 与g ( x) 的泰勒公式:

其中A≠0, B≠0, 则:

∞当f ( x) , g ( x) 的泰勒公式易求, 而f ( x) , g ( x) 的导数计算较复杂时, 可考虑用泰勒公式求此极限. 在应用此方法时, 必须熟记某些基本初等函数的泰勒公式.

例1. 求

解: 因

又, 所以

2. 2用泰勒公式确定无穷小量的阶

设, 如何用泰勒公式确定f ( x) 是x - a的几阶无穷小? 我们知道:

若, 则:

因此, f ( x) 是x - a的n阶无穷小.

例2. 确定常数a与b的值, 使当x→0时是x的5阶无穷小.

解:利用, 则:

不难看出, 应当设1 - a - b = 0与同时成立, 才能满足题设条件。由此可解得常数, 并且得到

2. 3用泰勒公式证明不等式

设f ( x) 有带拉格朗日余项的泰勒公式, 如三阶泰勒公式:

其中θ∈ (0, 1) 。若对余项能给出估计就可得到相应的不等式.

例3. 设0 < x <π/2, 证明:

证明:由带拉格朗日余项的泰勒公式:

则:

注意0 < x <π/2, , 则:

2. 4用泰勒公式的系数求f ( n) ( x0)

若利用间接求得泰勒公式:

则由此可求得:

例4. 求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式, 并求

解

则

2.5用泰勒公式证明函数或导数存在某种特征点

当要证存在某些点使得它们的函数值或高阶导数值满足等式 ( 不等式) 或具有其他特性时, 也常用到泰勒公式, 所求的点常常是公式中的中间值。

例5. 设f ( x) 在[a, b]三次可微, 证明: ξ∈ ( a, b) , 使得:

证明:从要证明的结论来看, 可考虑在处展开泰勒公式,

其中. 两式相减得:

注意:届于之间, 由导函数取中间值定理, 可得:

, 使得, 因此结论得证.

本文就以上五个方面讨论了泰勒公式的应用, 使之内涵更加具体化, 利用其展开式及余项解决一些复杂的问题, 体现了泰勒公式在数学计算中的重要地位。

摘要：一元函数泰勒公式是研究数学应用问题的重要工具, 它建立了函数增量、自变量增量与高阶导数的关系。通过具体实例, 分析并探讨了泰勒公式的若干应用。

关键词：泰勒公式,极限,余项,无穷小量,不等式

参考文献

[1]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社, 2008.208-211.

[2]孙贺琦.泰勒公式的一种推广[J].数学通报, 1994, (1) .

[3]余力, 刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究, 2003, (6) :15-17.

篇9：动点的轨迹方程及其应用

一、 求动点轨迹方程的基本方法

求动点的轨迹方程的基本方法是：通过建立适当的坐标系，依据动点的特点，确定动点坐标所满足的等量关系，最终通过化简求出动点的轨迹方程．其解题的基本步骤为：建系、设点、找动点所满足的限制条件、将动点坐标代入限制条件、化简方程，可以简记为：建、设、现（限）、代、化．

例1 （2005年高考江苏卷试题）如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点），使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

图1

分析：（1） 欲求点P的轨迹方程，首先需要做什么？（建立坐标系．）

（2） 如何建立坐标系？（应考虑条件中两圆的对称性，以直线O1O2为x轴、线段O1O2的中点为原点建立直角坐标系，如图2所示．）

图2

（3） 如何建立等量关系？(利用条件PM＝2PN．)

（4） 怎样对等式PM＝2PN进行变形？

（将PM＝PO21-O1M2，PN＝PO22-O2N2代入到PM＝2PN，化简，就得到点P的轨迹方程为(x—6)2＋y2＝33．）

例2 已知动点P(x，y)到坐标原点O的距离的平方与它到直线l：x＝m（m为常数）的距离相等．

（1） 求动点P的轨迹方程C；

（2） 就m的不同取值讨论方程C的图形．

解：（1） 因为动点P(x，y)到原点的距离为PO＝x2+y2，所以(x2+y2)2＝|m－x|，

即x2＋y2＝|m－x|，所以，动点P的轨迹方程C为x2＋y2＝|m－x|．

（2） 由x2＋y2＝|m－x|两边平方，移项并分解因式，得(x2＋y2－m＋x)(x2＋y2＋m－x)＝0，

∴x＋122＋y2＝14＋m或x－122＋y2＝14－m，

① 当14＋m＞0且14－m＞0，即－14＜m＜14时，点P的轨迹方程C表示的图形是两个圆．

② 当m＝14或m＝－14时，点P的轨迹是一个圆和一个点；

③ 当m＜－14或m＞14时，点P的轨迹是一个圆．

例3 （2010年江苏高考试题）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29＋y25＝1的右顶点为B，右焦点为F．设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹．

图3

分析：本题以椭圆为背景，给出两个定点F，B，一是椭圆的右焦点，另一个是椭圆的右顶点．而动点P满足关系PF2－PB2＝4，于是，可利用求轨迹方程的基本方法来解决．

解：（1） 设点P (x，y)，由已知，得F(2，0)，B(3，0)．

由PF2－PB2＝4，得［(x—2)2＋y2］－［(x－3)2＋y2］＝4，

化简，得x＝92．故所求点P的轨迹为直线x＝92．

说明：要注意区分轨迹和轨迹方程这两个概念．轨迹是指动点运动所留下的痕迹，是一种几何表示；而轨迹方程，则是研究动点坐标所满足的代数方程，是一种代数表示．

二、 动点轨迹方程的应用

对于研究动点的轨迹问题，在高考命题时，不仅会命制像例1、3这类直接求动点轨迹方程的试题，还会出现一些较为“隐蔽”的求轨迹问题，请看下面的例题．

例4 （2008年江苏高考题）满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值．

分析1：本例的基本解法是：直接构造三角形ABC面积的目标函数S△ABC＝12AB•BC•sinB．即首先设出BC的边长（不妨设为x），就可以得到AC＝2x，并通过三角形中“两边之和大于第三边”确定自变量x的函数；然后，将sinB转化成cosB，由余弦定理用x表示cosB，从而用x的函数f(x)表示三角形ABC面积关于，最终求出函数f(x)最大值．

解法一：设BC＝x，则AC＝2x，由三角形三边关系，得2x+x＞2x+2＞2x,解得22－2＜x＜22＋2．

根据面积公式得S△ABC＝12AB•BC•sinB＝x1-cos2x，

根据余弦定理，得cosB＝AB2+BC2-AC22AB•BC＝4+x2-2x24x＝4-x24x，代入上式，得

S△ABC＝x1-4-x24x2＝-x4+24x2-1616＝-(x2-12)2+12816，

故当x＝23∈(22－2，22＋2)时，S△ABC取最大值22．

问题：上面的这一种解法，比较多地利用“形”来研究问题，通过构造三角形面积目标函数来解决问题．除了这种解法之外，还有其他的解法吗？

分析2：我们知道：在研究解决具体的数学问题时，我们通常可以通过“数”与“形”这两个角度来研究问题．我们还可以通过研究动点C的特点——直接求出动点C的轨迹方程，从而通过求出动点C到AB距离的最大值，来求出三角形面积的最大值．

解法二：以线段AB的中点为原点、建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC=2BC，得(x＋1)2＋y2＝2［(x－1)2＋y2］,整理得(x－3)2＋y2＝8(y≠0)，所以，点C的轨迹为：以M(3，0)为圆心、22为半径的圆（除去x轴上的点）．所以当C在(3，±2)处时，△ABC面积最大，为22．

图4

总结：2008年高考这道题的正确率很低，得分率仅为0.2左右．究其原因，是很多考生直接利用“解法一”求解、未能把所求的问题转化成求点C的轨迹方程问题，因而未能求解出正确答案．可见，巧妙地应用轨迹方程可以简化解题过程．

篇10：一元一次方程及其解法教案

§3.1 一元一次方程及其解法（第一课时）

合肥市五十五中学蔡新莲

一． 教材分析：

学生在小学已经学过列方程解简单应用题，但所学方程形式较简单，仅限于axbc,axbxc的形式，(a,b,c,x都是非负数)。本节教科书在描述一元一次方程的概念后，利用等式性质来解一元一次方程（比小学更为广泛），一元一次方程的解法是应用一元一次方程解决实际问题，解二元一次方程组及一元二次方程等内容的基础，是代数中的重要内容。

二． 教学目标：

1． 通过对多个实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型体会学习方程的意义

在于解决实际问题。

2． 通过观察，归纳一元一次方程的概念。

3． 理解等式的基本性质，会根据等式的基本性质解方程。

三． 教学重难点：

重点：一元一次方程的概念，运用等式的性质解方程

难点：运用等式的性质解方程。

四． 教学流程：

1.通过一些具体问题，引出一元一次方程概念。

2.复习等式的基本性质。

3.利用等式的基本性质，解一元一次方程。

五． 教具准备：

教师：多媒体课件，投影仪

学生：练习本

六． 教学过程：

（一）。创设情境，引出概念

问题1：在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共获得了多少枚金牌？

设澳大利亚共获得了x枚金牌，引导学生列出等量关系式：

3x951

问题2：

王玲今年12岁,她爸爸今年36岁, 问再过几年,他爸爸的年龄是她年龄的2倍？

设再过x年，他爸爸的年龄是她的2倍，引导学生列出等量关系式：

36x2(12x)

观察思考：上面的两个式子有什么共同点？

【设计意图】用学生感兴趣的身边的例子引入，唤起同学的注意力，同时也为下面得到一

元一次方程的概念埋下伏笔。

师生互动：得到一元一次方程的概念，同时教师明确方程的解的概念，指出一元方程的解也叫做根。

考考你：1.判断下列式子是不是一元一次方程：

(1)2x45x3

(4)x3

2.判断对错:

(1)x=2是方程x-10=4x的解.(2)xy1(5)3x1(3)3a211(6)x1x

(2)x=3和x=-3都是方程 x290的解.【设计意图】加深对一元一次方程及根的理解。

（二）互动探究等式的性质

多媒体演示：在一架已调为平衡的天平的两边，同时加入相同数量的小球，再同时减去相同数量的小球，学生观察结果。

思考：(1)如果将天平看成等式，从上面的两个演示中可以得到什么结论？

(2)如果天平两边的小球个数同时扩大相同的倍数，或缩小为原来的几分之几，那么天平还平衡吗？能得到等式的什么性质呢？

(3)如果小明和小文身高一样,那么小文和小明身高一样吗?你能得到等式还具有什么性质吗？

(4)如果小明和小文身高一样,同时小文又和晓婷身高一样,那么小明和晓婷的身高有什么关系?你又能得到等式的什么性质呢?

【设计意图】使同学们认识到生活中处处有数学，逐渐熟悉用数学语言来描述一些数学概念。

（三）巩固提高

1.将等式的四条性质整体回顾一下，变零散为整合，体现知识的系统性

2.想一想：说明下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的:

(1).如果5x+3=7,那么5x=4；

(2).如果5x=4，那么x=0.8;

(3).如果-8x=4,那么x=-0.5;

(4).如果3x=2x+1,那么x=1;

(5).如果－0.25=x,那么x=－0.25;

(6).如果111111x，那么x.236263

【设计意图】熟悉等式基本性质的应用，1，2其实就是解方程的过程。承上启下的作用。例1 解方程 3x951

变式: 513x9

露一手: 解方程

(四)自主评价(1)5x78111(2)x236

1.今天这节课我们学到了哪些知识？

(1)一元一次方程的概念；

(2)如何运用等式的性质解一元一次方程;

2.把你的收获与不足与同伴分享.(五)分层作业：

必做：课本92页第1，2两题

选做：见大屏幕。

[设计意图]:使学生在掌握基础知识的同时,根据实际自身情况,得到不同的发展.（六）板书设计（略）

篇11：椭圆及其标准方程教案

教学目标:

(一)知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程，会由标准方程求出椭圆的交点和焦距；

(二)能力目标：通过对椭圆概念的引入和标准方程的推导，培养学生分析、探索的能力，增强学生运用代数法解决几何问题的能力；

(三)情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神。

教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程的推导。教学难点:椭圆标准方程的推导。

教学方法:探究式教学法（教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力。）

教具准备:自制教具(圆柱体、细绳)。

教学过程:(一)启发诱导，推陈出新

1、复习旧知识：拉直一根细线，一端固定，作一个圆，由此回忆圆的定义（到一点的距离等于定长的点的轨迹），圆的标准方程；

2、提出新问题：到两点的距离等于定长的点是什么轨迹呢？ 尝试作图；

3、创设情境，引出课题：“椭圆及其标准方程”。(二)小组合作，形成概念

下面请同学们思考下面的问题：

1、在作图时,视笔尖为动点，线的两个固定的端点为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2、改变两端点之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗？

3、当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：椭圆、线段、不存在。

归纳出椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

(三)椭圆标准方程的推导

1、建立适当坐标系（让学生根据自己的经验来确定）

原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；主要应使曲线对于坐标轴具有较多的对称性。

2、标准方程推导过程如下：

①建立直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建

立如图所示的坐标系；

②确定点的坐标：设F1F22c，则F1c，0，F2c，0，设Px，y是椭圆上的任意一点；

③设定长为2a，由条件PF1PF22a得

xc2y2xc2y22a；

x2y2④化简：得到椭圆方程为221。

ab（通过学生自己动手推导方程是学生构建知识的一个过程。）

3、归纳方程特点，巩固上述知识。

4、延伸：①焦点在y轴上：F10，c，F20，c

y2x2②方程：221

ab③a，b，c的关系：b2a2c2，ab0，ac0

(四)例题讲解

例1：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

解：这个轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示。

取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴。2a10，2c8

a5，c4，b2a2c252429，即b3

x2y2x2y2这个椭圆的标准方程是221，即1

25953（例1是巩固椭圆的定义及标准方程）

x2y2x2y21与椭圆c2:1的焦点。

例2：分别求椭圆c1:433解：43

椭圆c1的焦点在x轴上，椭圆c2的焦点在y 轴上

a24，b23，ca2b21

1，椭圆c1的两个焦点分别是0和1，0 0，是1和0，1。

椭圆c2的两个焦点分别（例2会由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和焦距）

(五)课堂练习

课本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)课堂小结

1、椭圆定义

2、焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程（结合图形，表述焦点坐标，焦距，系数的关系等）

3、考虑一下将椭圆平移到坐标轴任意位置时的坐标，留给同学们课后思考