单级倒立摆在线性系统实验教学中的应用

倒立摆是一种复杂、时变、非线性、强耦合、自然不稳定的高阶系统, 许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来, 是控制理论方面课程的新型教学实验设备, 也是进行控制理论研究的很好的实验平台。Simulink对控制系统进行建模, 层次清晰, 概念明确, 非常有利于对控制结构、控制方法的理解。论文基于Simulink建立了倒立摆控制系统的极点配置控制模型和二次型最优控制模型[1], 研究其镇定问题, 表明二次型最优控制具有较小的震荡和超调量。实验加深对现行系统综合问题的理解。

1 倒立摆系统模型

考虑小车倒立摆系统如图1所示, 小车质量M表示, 摆的质量用m表示, 则倒立摆系统的非线性模型为[2]:

倒立摆系统为四阶系统, 取状态变量为

对该给线性系统进行线性化后系统模型为:

2 伺服控制器的设计

对倒立摆系统设计伺服控制器使小车倒立摆系统稳定, 小车静止, 摆处于平衡位置。伺服控制系统框图如图2所示[3]:

设倒立摆系统的状态方程及控制输入为:

上述系统化为如下的系统:

其中

系统的控制问题若采用极点配置状态反馈控制, 则给一组期望的极点, 求出反馈矩阵。若采用二次型最优控制, 则为通过最小化性能指标

其中, Q和R分别为状态变量和输入变量的加权阵, Q为半正定对称矩阵, R为正定对称常数矩阵。最优控制的目标就是求取u (t) , 使性能指标J达到最小值。u (t) 就是最优输入控制律, 可以导出其形式为:

为控制系统的最优状态反馈增益矩阵, 则得

其中矩阵P (t) 可以通过求解如下Ricatti代数方程

得到。

3 基于Simulink S-函数的小车倒立摆控制系统仿真

在Matlab/Simulink[4]环境下构造小车倒立摆控制系统的Simuin 模型如图3所示, 模型采用子系统技术, 小车倒立摆被控系统利用S-函数建立子系统模型。其中函数mdlDeritive函数程序如下:

式 (1) 中系统参数分别为l=0.5;g=9.8;m=0.1;M=2;取不同的极点及不同的性能指标加权阵Q和R对系统进行仿真, 比较控制效果。极点配置控制, 取极点具有负实部, 以保证系统稳定。二次型最优控制取状态权矩阵Q为对角矩阵, 控制权矩阵R为标量[5]。图4、图5为期望极点[-1+sqrt (3) *i, -1-sqrt (3) *i, -5, -5], 权矩阵为

时的控制效果。

4.1极点配置状态反馈控制模型

通过取不同的极点和不同的权矩阵进行仿真研究, 权矩阵的选取比极点的选取更方便, 因此利用二次型最优控制对倒立摆进行控制是较好的选择。

5 结语

Simulink建立控制系统模型, 采取模块化方法, 设计思路清晰, 便于对控制系统进行仿真研究。论文利用极点配置控制和二次型最优控制对小车倒立摆系统进行控制, 仿真表明二次型最优控制有较小的震荡和超调量, 对系统有更好的控制效果。

摘要：倒立摆控制系统是典型的非线性系统。通过Simulink仿真研究了线性系统二次型最优控制和极点配置控制对倒立摆控制效果, 表明二次型最优控制具有较好的控制效果。

关键词：倒立摆,二次型最优控制,极点配置

参考文献

[1] 刘豹.现代控制理论[M].北京:机械工业出版社, 2007.

[2] D.Angeli.Almost global stabilization of the inverted pendulum via continu-ous state feedback[J].Automatic, 2001, 37:1103～1108.

[3] 于伯英.现代控制工程[M].北京:电子工业出版社, 2003.

[4] 张志涌.精通MATLAB6.5版[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2002.

[5] 丛爽, 张冬军, 魏衡华.单级倒立摆三种控制方法的对比研究[J].系统测量与控制, 2001, 23 (11) :47～49, 99.