等价线性无关组的一个性质

1 引理

引理1设两个向量组等价,则任一组中的每一个向量都可以由另一组的向量线性表示。

引理2两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

引理3如果向量组α1,α2,…,αs线性无关,并且可由β1,β2,…,βt线性表出,则s≤t。

引理4向量组线性相关的充要条件为其中至少有一个向量能用其余向量线性表示。

2 推导过程

下面讨论两个等价的线性无关组A:α1,α2,…,αm与B:β1,β2,…,βm。

(1)B中至少有一个向量βi使向量组α1,α2,L,αj-1,βi,αj+1,L,αm线性无关。

若B中没有这样的向量βi,即对B中的任一向量βi都有α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性相关。由于α1,α2,…,αj-1,αj+1,…,αm这m-1个向量是线性无关的,而B中任一向量均可由α1,α2,L,αj-1,αj+1,L,αm线性表示,由引理3知B组的向量个数m≤m-1。这是不可能的。

可由β1,β2,L,βm线性表出。

对B中每一向量都可由A线性表示,讨论β1和βi,所以有:

且必有kij≠0,否则,若kij=0,βi与α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性相关,与上面推理矛盾。对(2)两边同时除以kij,将整理得到的αj代入(1)得:

即β1可由α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm线性表示。同样可以证β2,β3,…,βm均可用线α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm性表示。因此向量组α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm与向量组B等价。

3 结论

性质设有两个等价的线性无关组。

A:α1,α2,…，αm

B:β1,β2,…,βm。

则对A中任一向量αj,B中至少有一个向量βi可以代替向量αj使向量组α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm仍然线性无关且与向量组B等价。

由引理1知,

推论1若kir=0,(r=1,2,L,m)则βi不能代替rα。此时,

根据引理4得到向量组。

βi,α1,α2,…,αr-1,αr+1,…,αm线性相关。因此βi不能代替rα与A中其它向量一起组成与B组等价的向量组。

推论2若kir≠0,则向量组。

α1,α2,…,αj-1,βi,αj+1,…,αm与向量组B等价。βi用代替rα,并令:

将:

因为α1,α2,…,αr-1,αr,αr+1,…,αm线性无关,所以:

这就证明了α1,α2,…,αr-1,βi,αr+1,…,αm线性无关。再根据定理中的证明,

α1,α2,…,αr-1,βi,αr+1,…,αm与B等价。

由上述两个推论知这种代替不是随意的。

摘要：线性无关向量组以及向量组等价的概念在线性代数中占有重要的地位,对研究矩阵的初等变换和线性方程组的解有重要作用。本文讨论了两个等价的线性无关向量组,其中一组的一个向量能否用另一组的一个向量代替后仍与另一组等价。

关键词：向量组,等价替换

参考文献

[1] 卢刚.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2] 同济大学应用数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.