一类半无穷区间问题非负解的存在性

一类半无穷区间问题非负解的存在性（精选2篇）

篇1：一类半无穷区间问题非负解的存在性

一类半无穷区间问题非负解的存在性

把边值问题转化成相应的算子方程,运用拓扑理论、非线性更替定理得出:如果有限区间上带参数λ(其中λ∈[0,1))的.边值问题的解一致有界,那么当λ=1时该问题也存在解.通过考察非线性项f(t,y)的性质,结合Lebesgue控制收敛定理、对角化原理和Arzela-Ascoil定理研究了奇异半无穷区间问题,并给出半无穷区间边值问题非负解存在的充分条件.

作 者：倪小虹 葛渭高  作者单位：北京理工大学,理学院数学系,北京,100081 刊 名：北京理工大学学报  ISTIC EI PKU英文刊名：TRANSACTIONS OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY 年，卷(期)： 23(6) 分类号：O175.12 关键词：边值问题   非负解   不动点理论  

篇2：一类半无穷区间问题非负解的存在性

本文考虑如下Kirchhoff问题

近些年来,有很多文章利用变分方法研究 了Kirchhoff型方程,受文献 [3] 的启发,我们考虑(Pλ)这种形式的Kirchhoff型方程,这里的非线性项|u|q-2替换了文献 [3] 中的u5这一项。也受文献 [1] 的启发,我们用条件(f3)减弱了文献 [1] 中相应的条件

(f'3)存在α∈(0,αλ1) ,τ∈[0,2],使得|t|→∞当时,对x∈Ω一致成 立可以看出我们放宽了α的取值范围。我们的证明方法仍然用文献 [2] 中的山路定理和喷泉定理。

我们的主要结论如下

定理1.1若f满足(f0)-(f3) ,且,则问题(Pλ)至少有一个非平凡解。

定理1.2若f满足(f0)-(f4) , 且,则问题(Pλ)有无穷多个解。

1相关概念及引理

我们考虑Hibert空间其范数和内积分别为

我们用表示中的范数。因为Ω是有界光滑区域,所以有连续嵌入和紧因此,存在Cr>0 ,使得

则称u为问题(Pλ)的弱解。于是找问题(Pλ)的弱解相当于找下面泛函的临界点

对于任给的u ,v∈X

我们考虑如下方程的第一特征值

和

λ1为问题 (2.1) 的第一特征值,

如果满足对某个c∈R ,有就说序列{un}是一个(PS)c序列。

如果I的任(PS)c意序列,都有一个收敛子列,那么就说I满足(PS)c条件。

我们知道,X是一个自 反可分Banach空间,令{ei}为其标准正交基,我们记

接下来,我们将会在下面的引理中证明I有山路结构。

2定理证明

应用文献 [2, p.12] 中的山路定理,存在其中

定理1.1的证明 . 由引理3.1和引理3.2知{un}是有界 的,从而可设在X中存在u,使得弱收 敛到un,于是在不妨设因为

根据Hö lder不等式,

而由(f0)和Sobolev嵌入定理,

由 (f4),引理3.1,引理3.2及喷泉定理 [2, p.58],得出定理1.2成立。

摘要：本文利用山路引理,喷泉定理讨论一类Kirchhoff问题解的存在性与多解性。