《高等数学》极限思维的培养

2022-10-14

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容, 对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

1 极限的概念

从概念上来讲的话, 我们首先要掌握逼近的思想, 所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势 (这种变化趋势是具有唯一性) , 那么函数的应变量同时具有一种趋势, 而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲, 函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值, 我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限!

从数学式子上来讲, 逼近是指函数的变化, 表示为xli→mW f (x) -A=0。这个问题不再赘述, 大家可以参考教科书上的介绍。

2 极限的运算技巧

我在上课时, 为了让学生好好参照我的结论, 我夸过这样一个海口, 我说, 只要你认真的记住这些内容, 高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口, 数学再难也是基本的内容, 基本的方法, 关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题, 当时有网友惊呼说太讨巧了!其实不是讨巧, 是有规律可循的!今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!

我们看到一道数学题的时候, 首先是审题, 做极限题, 首先是看它的基本形式, 是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

(1) 连续函数的极限。

这个我不细说, 两句话, 首先看是不是连续函数, 是连续函数的直接带入自变量。

(2) 不定型。

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性, 确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一, 所有的含有无穷小的, 首先要想到等价无穷小代换, 因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个:

x→0时, sinx:x, 1-cosx:21x2, ex-1:x, tanx:x, ln (1+x) :x, (1+x) α-1:αx

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的, 即:在含有加减运算的式子中不能直接代换, 在部分式子的乘除因子也不能直接代换, 那么如果一般方法解决不了问题的话, 必须要等价代换的时候, 必须拆项运算, 不过, 需要说明, 拆项的时候要小心, 必须要保证拆开的每一项极限都存在。

第二, 在含有∞的极限式中, 一般可分为下面几种情况。

(1) “”形式。

如果是幂函数形式的 (包含幂函数四则运算形式) , 可以找高次项, 提出高次项, 这样其他一切项就都是无穷小了, 只有高次项是

常数。比如:这道题中, 可以看到提出最高次x (注意不是x2) 其他项都是“0”, 原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中, 只有分子中含有高次项, 那么该极限式极限不存在 (是无穷大) , 如果只有分母中含有高次项, 那么该极限式极限为0, 如果分子分母都含有高次项, 我们可以直接去看高次项的系数, 基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子, 可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式, 无法用提高次项的方法 (提高次项是优先使用的方法) , 使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决的基本方法, 它的严格限制形式只有这两种, 所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决, 这主要是考虑运算量的问题。

(2) “∞-∞”形式。

“∞-∞”形式不能直接运算, 需要转换形式, 即转换成的形式, 基本解法同上。比如:

这道题是转换形式之后是的形式, 提高次项解。

(3) “0∞”形式。

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系, 所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是的形式。

第三, “1∞”。

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式, 这种形式也是比较直观的。比如:

这道题的基本解题思路是, 检验形式是“1∞”, 然后选用公式, 再凑出公式的形式, 最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说, “1∞”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解, 是这样的:

可以看出尽管思路切入点不一样, 但是这两种方法有异曲同工之妙。