浅谈高等数学中的极限教学

2022-09-10

1 要重视高等数学极限理论的发展历史

高等数学中极限理论的发展经历了一个很长的时期。无限分割的思想早在公元前5世纪就有了,以后西方的穷竭法与中国的割园术相继出现,从牛顿、莱布尼兹,直到波尔查诺、柯西与维尔斯特拉斯,极限理论经历了逐步发展直至最后完善的过程。

1.1 最早的无限分割思想

在我国古代,战国时代的《庄子》中,有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的名言,其意是所余部分总可一分为二,永远取不完。这是公元前三世纪以前的事。

还较早一点,古希腊的安提丰(Antiphon,公元前五世纪)提出了通过边数不断加倍的方法,用圆的内接正多边形面积去接近圆的面积.但当时仅仅是一种设想,并未付诸计算。显然,这归结于圆可以无限分割.应当注意“无限分割”是一种数学抽象,是一个哲学概念,它被排斥于感觉经验王国之外,因为感官能力为感觉下限所限.这表示:远在两千多年以前,人类智慧已意识到连续量无最小区间可言。

1.2 西方的穷竭法与中国的割圆术

对安提丰的思想作出重大发展的是欧多克斯(Eudoxus,公元前408-前355),他提出如下著名原理:“对于两个不等的量,若从较大量减去大于其半的量,再从所余量减去大于其半的量,重复这一步骤,则所余量必小于原来较小的量”,这就是现代所谓“阿基米德”公设的前身,此公设的现代表述是:已知任二正数ab,可证这两种表述是等价的。

1.3 斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化

在欧几里德后的漫长岁月中,穷竭法几乎原地踏步。至少在两个方面,人们对穷竭法望而生畏:一是每次务必使用的双重归谬法;二是其方法是几何的,直观性强,但不便于计算,穷竭法在逻辑上无懈可击,但用起来十分繁琐。问题在于最后使用的双重归谬法可否除去,荷兰的西蒙斯杰文(StevinSimon,1548-1620)在这方面做了大胆的设想。他注重实际,不甚注重数学上的严格性.他接受阿基米德典型证明的直接部分,而不在每个情况下都加上形式归谬法。斯杰文大胆断言:如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量,则二者必无差异。

1.4 极限概念的逐步形成

牛顿和莱布尼兹创立了微积分学,尽管他们在微积分基本公式的建立及计算方法上表现出成绩斐然,但关于极限理论及方法相当粗浅,几乎停留在前一辈的水平上。自从瓦里斯用变量观点给出极限的定义以后对无穷小本质的认识逐渐明确了,李昂纳德欧拉(Euler,Leonhard1707-1783)认为无限小或消逝的量只不过是一个趋于零的量。法国的达朗贝尔(Dc Alembert,JeanLeRond,1717-1783)指出:无限大和无限小,表示无限制地大和无限制地小(应理解为量的绝对值)。他认为微分学的基础应建立在极限概念上,不幸的是,他的解释大部分还是几何形式的。综上所述,从牛顿莱布尼兹到欧拉,到达朗贝尔,他们的极限理论并不比瓦里斯前进多少,基本上停留在描述性的定义上,这样又延续了近两个世纪之久。

2 极限思想的简单介绍

极限的思想在我国古代就已产生,早在公元三世纪,我国著名的数学家刘徽计算圆周率时创立了割圆术,这在前面的历史中已经提到,其就运用了朴素而典型的极限方法。按照刘徽割圆术的思想,圆的周长就是圆内接正边形的周长6×2n-1,在n不断增大的变化过程中所无限接近的数值。具体做法是:设圆的周长为S,作圆内接6×2n-1正边形,其周长记为Si(i=1,2,n)。这样S1,S2,…Sn构成一数列{Sn},当n越大,圆内接正多边形的周长作为圆周长近似值的误差就越小,用Sn表达S近似值也越精确。但是无论n取多大,只要n取定了,Sn仍只是正多边形的周长。只有对圆周细分的过程无限地进行下去,则边数越来越多的圆内接正多边形的终极位置将终于和圆等同起来。即当边数无限增大时,正多边形的周长Sn无限接近于圆的周长Sn,这是极限思想的雏型,是极限思想在几何学上的应用。

实践给人们的启示是:在已知(如圆内接正边形6×2n-1的周长Sn)与未知(如圆的周长S),近似与精确之间虽有差异,但又有十分密切的联系。在一定的条件下(如上述的边数n无限增大过程中)可以实现它们的统一,从而能够用已知认识未知,从量变(近似值精确度不断提高)产生飞跃到质变(近似值无限接近精确值)。这种已被实践反复证明的科学的辩证思想——极限的思想是微积分概念产生的基础。

3 数列极限与函数极限的概念

我们用数学语言简明而又准确地描述某个数列{Xn}的一种变化趋势的特征。

首先,用一个字母ε代表任意小的正数,那么,如果对于任意预先给定的正数ε,恒有|Xn-A|<ε成立,就可以精确刻划|Xn-A|“要多小就会有多小的内涵”。

其次,数列Xn从某项开始起,|Xn-A|<ε恒成立,即代表任意小的正数ε,一旦给定(比如它代表0.00001或更小的某正数),数列Xn就应该从相应的某一项以后的一切Xn都满足|Xn-A|<ε,用数学语言准确表述为总存在着一个正数N,使得当n>N时,|Xn-A|<ε恒成立0。

由于数列{Xn}-{f(n)}为整标函数,是函数y=f(x)自变量x取自然数n的特例,若把n不断增大过程看着是函数y=f(x)自变量的一种变化趋势,我们就可以用已知认识未知,从量变产生飞跃到质变的科学的辩证思想,把函数极限与数列极限的实现过程统一起来。

定性描述:设y=f(x)(f(n)),当X→X0(n→∞)时,f(x)(f(n))的值无限接近一常数A;

定量分析:设y=f(x)(f(n))及常数A,预先给定任意小正数ε,总存在某一时刻δ>0(正整数N),当0<|X-X0|<δ(n>N)时,恒有|f(x)-A|<δ成立。

4 极限不易掌握的原因及学习方法

4.1 极限不易掌握的原因

首先,ε具有任意小的性质,这样才能有效地刻划函数值f(x)与定常数A充分接近的状况;而ε又具有确定性,以便寻找相应的δ,这种定量定义,既能刻划f(x)与极限A的任意接近的动态变化,又能进行静态的定量分析,它完全精确反映变量与其极限间的动与静的辨证关系;其次,定义中的f(x)事实上代表潜无限的过程,即把f(x)视为一种变化着、被不断产生出来的东西,它永远没有完成,而A则是这一过程的结果,它是已经构造完成了的东西。因此,所谓极限概念的ε-δ定义,实质上是过程和结果联系的反映,这种动态过程是通过静态的有限量来刻划的。人们可以通过对过程的分析来把握相应的结果,这样,极限中的ε-δ定义,同时又充分地反映出有限与无限、潜无限与实无限的辨证关系。

摘要：本文首先就极限理论的历史发展进行介绍，然后提出极限的思想以及极限在数列与函数中的概念，最后提出极限不易掌握的原因以及在极限学习中注意的方法。

关键词：极限历史,极限思想,极限概念,学习方法