从函数极限概念的引入谈数学语言化能力培养

极限是高等数学重要的概念, 是研究函数的连续性、可导性、可积性等的基础。现有教材中极限概念的引入基本上是从圆的周长或面积的计算开始的, 理解起来非常困难, 使得刚进入大学的高职高专学生一接触到高等数学就遇到了拦路虎, 直接影响学生们学习高等数学的积极性。基于国际教育家维果茨基的最近发展区理论, 探索适应高职高专学生学习需求的、能培养学生的观察能力、归纳能力、尤其是数学语言化能力等的课程改革—概念教学, 自然引起高等数学教育研究者的重视。

1 函数的敛散性概念的引入

在学习了函数的概念基础上, 研究函数的13条性质中的第一条高等性质—敛散性。

1.1 给出六类具有代表性的函数并观察其图像特征

(1) y=2x (代表总趋势变大)

(2) y=-2 x (代表总趋势变“小”)

(5) (代表的趋势为无序上下波动)

从以上六类函数图像可以观察到, 在时, 函数 (3) (4) (6) 具有渐趋稳定性, 函数 (1) (2) (5) 不具有这种性质。由此, 我们观察、归纳出一个数学上的概念——函数的敛散性与极限。

1.2 函数极限的概念

在时, 若函数f (x) 越来越趋向 (或接近) 于某一个值A, 则函数在这个变化过程中具有收敛性, 该值就是函数在这一变化过程中的极限, 记作

函数极限的定性概念:

若

需要强调的是函数的趋势稳定性, 即收敛性。

在时, 若函数f (x) 不趋向 (或接近) 于某一个值A, 则函数在这个变化过程中不具有收敛性, 或说该函数在这个变化过程中是发散的。

因强调的是函数的趋势稳定性问题, 通过举例:

在, 它

们分别都具有趋势稳定性, 即极限存在。故函数自变量的变化过程自然可拓广到

可相应地写出六种形式的极限, 六种变化过程可相应地写在相应极限符号下面。

1.3 思考

在函数极限的概念中, A是观察出来的, 所以缺乏严密性。如何确定A就是函数的极限, 需要我们给出可以证明A就是函数极限的定量化的方法, 即极限定量化的定义。

2 函数极限概念数学语言化

数学语言化就是将现实生活中的现象、自然规律, 用数学符号来表示。

2.1 什么是接近

举例:当时间t变化时, 我与你A之间距离s (t) 也在变化。

在某一时刻t0, 我与你之间距离为s0, 当时间t变化后, 我到了新的位置s (t) , 若我与你之间距离比原来我与你之间距离小s0, 说明我接近了你。

也就是说, 我与你之间距离为s0时, 一定存在某一时刻t0, 当t>t0时, 我处的位置s (t) 与你之间距离如果小于s0, 就说明我接近了你。

2.2 什么是越来越接近

不管我原来与你之间距离为s0为何值, 总存在某一时刻t0, 使得我与你之间距离为s0, 当t>t0时, 如果总有

2.3 函数极限概念数学化

将2.2中的s0改为ε (距离恒正, 大于0) , t改为x, 存在t0的改为X, 函数s (t) 改为f (x) , 即:, 则A就是f (x) 在时的极限, 即

从而给出函数极限的定量化的定义, 也就给出了可以证明A是函数f (x) 极限的方法。

该证明过程可以形象的描述为:我与你A原有一个任意的距离ε, 如果我越来越接近你A的话, 即<ε, 是否存在我与你A之间距离为ε的某个时刻X, 若存在 (能找到) 这个时刻X, 就说明当时间变化后我越来越接近于你。

举例:求

分析:通过观察, 我们可以看出, 在, 那么, 0就可能是该函数的极限。下面证明0是该函数的极限。

证明:

2.4 拓广

当函数的自变量取值范围限定到正整数集时, 函数极限问题就转化为数列极限问题。

因强调极限是函数的趋势稳定性问题, 所以现实生活中的只要是渐趋稳定性问题都是函数的极限问题。如波的稳定性等。

3 启示

在数学教学中, 积极吸取先进的教育理论, 勇于实践, 进行教学创新, 使学生乐学爱学是我们每一个教师的责任。在教学中积极寻找化解教学中难点的方法的同时, 还要结合教学内容, 不失时机的培养学生的观察能力、归纳能力、尤其是数学语言化能力以及类推拓广能力。

摘要：基于国际教育家维果茨基的最近发展区理论, 通过对高等数学中函数极限概念的教学实践, 积极探索出能适应高职高专学生乃至本科大学生学习需求的、同时能培养学生的观察能力、归纳能力、尤其是数学语言化能力等的途径和方法, 实践效果良好。

关键词：函数极限,数学语言化,观察能力,归纳能力

参考文献

[1] 张曙光.高等数学[M].西安:西北大学出版社, 2007, 8.

[2] 麻彦坤.维果茨基与现代西方心理学[M].哈尔滨:黑龙江人民出版社, 2005, 6.

[3] 钟启泉.现代教学论发展[M].北京:教育科学出版社, 1992, 10.