高等数学等价无穷小替换_极限的计算

高等数学等价无穷小替换_极限的计算（精选7篇）

篇1：高等数学等价无穷小替换_极限的计算

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

讲义

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较

用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊.例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小x011lim0, 函数是当x时的无穷小.xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小.nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程xx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0，x®x0x®x0f(x)A(x).西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xx0limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x).3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)nn1110，limxsin0，limsinx0 x0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，观察各极限：

1xx2lim0,x2比3x要快得多;x03xsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在lim.不可比.2x0x0xxlim极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.(1)如果lim3 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3xtanx34lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.解limtanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.x0x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim1,lim0,即o(),于是有o().12例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim存在,则limlim.lim()limlimlimlim.2tan22xex1.；

（2）lim例3（1）求lim x01cosxx0cosx112(2x)2解:（1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x®012x22x2（2）原极限=lim2x0x2例4 求lim=1

2tanxsinx.3x0sin2x错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim4

xx=0

x0(2x)3西南石油大学《高等数学》专升本讲义

正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x, 213x1故原极限=lim23.x®0(2x)16【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 求limtan5xcosx1.x0sin3x12xo(x2).2o(x)1o(x2)1225x5x+o(x)+x+o(x)x2x5.2lim原式=limx®0x0o(x)33x+o(x)3x解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx

三、极限的简单计算

1.代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法

x29limx36。例如，limx3x3x33.分子（分母）有理化法

x253x253x2532x15lim例如，lim

2x22x15x22x152x15x53x2 lim

x22x4

limx2x2 x22x2

2 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

又如，limxx221xlim1x1x2x0

4.化无穷大为无穷小法

13+-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出

7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x242x2a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

1xlimx2x11x（分子分母同除x）。1，21x又如，limx21nn255lim1，再如，limn（分子分母同除5n）。nnn35n315n例如，limxarctanx10，（无穷小量乘以有界量）。x3x2x14x1.又如，求lim2x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x15.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

x22x30又lim(4x1)30,lim0.x1x134x1由无穷小与无穷大的关系,得lim4x1.x1x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例如，设f(x)1x,x0,求limf(x).2x1,x0x0,两个单侧极限为解: x0是函数的分段点

x02limf(x)lim(1x)limf(x)lim(x1)1, 1,x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

y(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，21(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大．

结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.解：不能保证.例f(x)11 x0, f(x)0 limf(x)

xxx1A0.xxlim思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：不能．例如当x时f(x),g(x)1xsinx都是无穷小量 x7 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

但lim较.g(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比xxf(x)【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx1x（2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos【分析】 “”型，拆项。0011223sinxxcosxcos3sinx3xx=lim= 解：原极限=limx0x02x2x22x5x54x43x2（3）lim ；

x2x54x1【分析】“抓大头法”，用于

型 355x55x解：原极限=lim=，或原极限=lim5=

x241252x2xx4x54x3（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx11=

11x12x21)（5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21)=lim2解：lim(2=lim=

x2x2x2x44x2x2x48 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（6）limx0x2x932

【分析】“子。0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0x2x293解：原极限=lim=6 2x0x（7）求lim(n12n).222nnn和解:

n时,是无穷小之先变形再求极限.1n(n1)12n12n1112limlim(222)limlim(1).22nnnnnnnnn2n2【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)

无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.

篇2：高等数学等价无穷小替换_极限的计算

相关学习知识点：

无穷小就是以数零为极限的变量，

然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的.一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是唯一可以作为无穷小的常数。

一、定义

篇3：高等数学等价无穷小替换_极限的计算

在大学高等数学中, 对于幂指函数求极限的问题, 共有两处提到, 包括重要极限和洛必达法则。但是, 关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。一般得, 只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。在教学过程中, 有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题, 就不知道如何计算了。课本中有一道极限求解题目, 具体如下:

这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解, 但此题用重要极限不太容易看出来。如果了解等价无穷小的相关定理, 那么这道题就迎刃而解了。鉴于此种情况, 本文在前人研究的基础上, 总结了幂指函数的求极限的方法, 着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2 幂指函数求极限的其他方法

幂指函数的极限类型很多, 有确定型和不定式之分。对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。而对于不定式型的幂指函数, 通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1 重要极限

对1∞型的幂指函数极限问题, 考虑利用重要极限及其变形公式求极限。

2.2 洛必达法则

另外, 对00型, ∞0型, 1∞型幂指函数的极限, 可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式, 转换为0/0型或∞/∞型不定式, 然后再利用洛必达法则进行求解。

由洛必达法则, 得:

3 用等价无穷小代换求幂指函数的极限

幂指函数00型, ∞0型, 1∞型这三种类型不定式的求极限问题, 除了运用前两种方法外, 还可以使用等价无穷小的代换。这里对这三种类型不定式进行全面探讨, 将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理, 推广到幂指函数求极限问题中去, 从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题。

3.1 00型的等价无穷小代换

引理1设α>0, α′>0为某变化过程中的无穷小。若α~α′, 则

证明:α~α′, 所以

定理1α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

然后就有

此定理1说明, 当时, limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

由定理1, 得:

3.2∞0型的等价无穷小代换

∞0型的极限可写为, 其中α>0和β均为某变化过程中的无穷小。

定理2α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则

由定理1可得定理2。此定理2说明, 当时, α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

解:当x→0时, ln (1+x) ~x, sinx~x

由定理2, 得:

3.3 1∞型的等价无穷小代换

1∞型的极限可写为, 其中α, β均为某变化过程中的无穷小。

引理2设α, β为某变化过程中的无穷小。若, 则有

就有

所以, 刚刚文章一开始的那道求极限的题目, 可以按照等价无穷小代换来求解。

由引理2, 得:

定理3设α, α′, β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

证明:因为

由等价无穷小代换原理, 得:

这说明, 当中的无穷小量α, β可代换为等价无穷小α′, β′。

参考文献

[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京:人民教育出版社, 2011, 9.

[2]同济大学应用数学系, 主编.高等数学 (上册) [M].6版.高等教育出版社, 2007, 4.

[3]刘金林.高等数学 (上册) [M].机械工业出版社, 2013, 6.

[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报, 2002, 6.

篇4：关于等价无穷小替换的一点思考

摘 要： 求两个无穷小之比极限时，分子及分母都可用等价无穷小代替.本文讨论了极限的加法运算中可进行等价无穷小替换的充分条件，用此方法可以使计算简化.

关键词： 无穷小 极限 泰勒公式 高等数学

在《高等数学》课程的学习中，我们知道，求两个无穷小之比的极限时，无穷小量因子可用等价无穷小代替.事实上，在某些极限的加减法运算中，也可进行替换.

我们先看如下两个例子.

此方法在能让学生在学习过程中赋予他们“再造性思维”，在运用数学知识解决实际问题及证明数学定理时，给出简捷、巧妙的方法，从而达到举一反三的目的，也可培养学生的创造性思维能力.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）高等教育出版社，2007.

[2]李晓霞，张志旭，霍金凤.“高等数学”课堂教学改革的研究与实践[J].中国电力教育，2012：69-70.

[3]张素芳，王旦霞，吕士钦.提高《高等数学》课程教学质量的策略[J].教育理论与实践，2012：64-65.

[4]卢伟，程世娟.浅谈高等数学习题课中思想方法的渗透[J].科教文汇，2014（291）：45-46.

篇5：三角函数、极限、等价无穷小公式

两角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB 

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差

sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1.极限的概念

（1）数列的极限：0，N（正整数），当nN时，恒有xnA

nlimxnA 或 xnA(n)

几何意义：在(A,A)之外，xn至多有有限个点x1,x2,,xN

（2）函数的极限

x的极限：0，X0，当xX时，恒有f(x)A

limf(x)A 或 f(x)A(x)

x几何意义：在（XxX)之外，f(x)的值总在(A,A)之间。

xx0的极限：0，0，当0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x)A(xx0)

几何意义：在x(x0,x0)(x0,x0)邻域内，f(x)的值总在(A,A)之间。

（3）左右极限

左极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

右极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

xx0f(x)Alimf(x)极限存在的充要条件：limxx0（4）极限的性质

唯一性：若limf(x)A，则A唯一

xx0保号性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内

xx0A0(A0) f(x)0(f(x)0)；f(x)0(f(x)0) A0(A0)

有界性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内，f(x)有界

xx02.无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当x时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；xx0limf(x)A成立的充要条件是f(x)A（x(x0,x0)，lim0）

（3）无穷小的比较（设 lim0，lim0）： 若lim则称是比高阶的无穷小，记为o()；特别称为o()0，的主部

，则称是比低阶的无穷小； 若limC，则称与是同阶无穷小；

若lim1，则称与是等价无穷小，记为~；

若limkC，（C0,k0）则称为的k阶无穷小；

若lim（4）无穷大的比较： 若limu，limv，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为uvo1(v)v的主部

3.等价无穷小的替换

u，则称u是比v高阶的v若同一极限过程的无穷小量~，~，且lim存在，则 limf(x)f(x)limg(x)g(x)121cos~2111~2 ~ 11(1)n1~na1~lna常用等价无穷小(lim0)sintanarcsinarctanln(1)e111注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；

（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若limf()f(0)，~，则f()~f()

4.极限运算法则（设 limf(x)A，limg(x)B）（1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB（2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

特别地，limCf(x)Climf(x)，limf(x)limf(x)An

nn（3）limf(x)limf(x)A(B0)g(x)limg(x)B5.准则与公式（lim0，lim0）准则1：（夹逼定理）若(x)f(x)(x)，则

lim(x)lim(x)A  limf(x)A

准则2：（单调有界数列必有极限）

若xn单调，且xnM（M0），则limxn存在（xn收敛）

n准则3：（主部原则）

limo()o()o()lim； lim111lim11

2o1(2)o1(2)o()公式1： limsinsinx 11

 limx0x1xlim(1x)x0公式2： e



1lim(1)nnn1lim(1lim(11)e

)公式3： lim(1)elim，一般地，lim(1)felimf

0anxnan1xn1a0anxnan公式4：limlimm1xbxmbxbxmxbmm10mbm6.几个常用极限(a0,a1)（1）limnnmnm nmna1，limnn1；（2）limxx1，limxx；

nx0x（3）limex，limex0；（4）limlnx； x0x0x0110q11limarctanq1x0x2n（5）；（6）limq

篇6：高等数学等价无穷小替换_极限的计算

等价无穷小, 也就是首先设函数f (x) 在x0的某一中心领域内, 或者说x大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε, 不论它多么小, 总存在正数δ (或正数X) , 使得对于适合不等式0<|x-x’|<δ (或|x|>X) 的一切x, 对应的函数值f (x) 都满足不等式|f (x) |<ε, 那么称函数f (x) 当x→x’ (或x→∞) 时为无穷小。记作limx→x’, f (x) =0 (或limx→∞, f (x) =0)

一般情况下, 我们所用的初等函数通常有单脚函数、反三角函数、幂函数、对数函数以及指数函数有五大类, 及时在比较复杂的一些方程式中的求解也都是运用这五种函数进行运算。下面本文将这五类初等函数的无穷小进行代换:

在当x→0时:

三角函数无穷小代换有:sinx~tanx~x;1-cosx~1/2x2

幂函数无穷小代换: (1+x) a-1~ax (a可以取整数也可以取分数) ;

指数函数无穷小代换:ex~x+1, ax~lna×x+1;

对数无穷小代换:ln (1+x) ~x, loga (1+x) ~x/;lna;

差的无穷小代换:1-cosx~x2/2, x-sinx~x3/6, tanx-x~x3/3, x-ln (1+x) ~x2/2, tanx-sinx~x3/3, x-arctanx~x3/3, arcsinx-x~x3/6, arcsinx-arctanx~x3/2;前面两个代换后为二次函数, 后面代换为三次函数。而且从代换的等价无穷小方程式来看, 代换的方程式明显比前面未代换的方程式简单得多。

二、等价无穷小极限在证券估价中的应用

1. 企业筹资决策的假设

各个方面的因素都会影响企业的筹资决策, 这是一个非常复杂的过程。关于这个问题的研究, 我们可以对其进行一下方面的简化:

(1) 从实际的经营情况来看, 企业投资是一项持续长时间甚至永久性的工作, 据此, 我们做一个企业筹资决策的假设, 假设投资所需要的最佳资本为V0, 而将付息前这项投资能够获得的利润的概率分布函数定义为P (X) , 将其函数分布范围定为, 因此, 它的期望付息前利润为:

第二, 一般性的股票融资以及永久性的债券, 都是企业最普遍的融资方式。这两种筹资方式的组合筹资所能够获得的资本量为V0。

第三, 在企业的经营过程中, 是不必保留利润的, 也就是说企业把每年所能够获得的利润都分配给股票投资者;

第四, 我们假设企业是处于一种稳定的经济体系中。在这个体系中, 不存在税收风险、成本风险以及货币的变动风险。企业与企业投资者之间是完全透明的信息公布状态。

第五, 企业股东仅仅指那些持有原始股票的投资者, 而企业的经营, 是为了这些投资者与经营者创造最大的市场收益。

2. 企业的筹资决策过程

通过上文的假设, 企业的筹资过程就可以通过图一、二来进行反应。其中, 只是反应企业股票筹资时希望获得的最佳利润, 它的公式可以表达为:期望付息前利润/股票资本或最佳资本量, 即

上图中的坐标原点主要指的是企业在没有债务融资情况下的经营风险, 两条曲线代表了两个方面的风险:分别是企业破产的风险和股票报酬率的风险。上图中的横坐标d主要反映的是公司筹资过程中的债券成本D0以及股票资本S0之间的比例。公式可表示为D0/S0, 其也被成为债务权益比, 该比例反映的是企业采用永久性债券替代普通股票筹资的程度。见下面公式:

所以, 在图中横坐标上的任意一个点, 皆都呈现了一个问题, 即企业所承担的风险。因为举债筹资模式所带来的企业财务风险, 就是这个点与坐标原点的差额, 包括迅速上升的破产风险, 以及股票报酬率可变性风险的上升。另外, 有曲线r (债务市场利息率) Ke (股票市场利息率) 也代表了企业总风险、单位证劵风险以及资本市场中无风险利息率的某种函数。曲线i表示了企业在举债筹资时期望利润率曲线;在这一曲线上的每一点i都等于期望付息前利润扣除债券利息费用后的差额除以企业筹集的股票资本, 即

上述公式有效的表达了财务杠杆的效应——— (Q-r) D0/S0, 而企业财务杠杆效应的最终结果, 则由曲线i的变化所显示出来。我们将得出一个公式———股票市场价值S, 就等于按照股票的市场利息率资本化后期望息后利润的现值, 即

上式中明确的表现出曲线i、Ke之间的关系, 我们进行分析可知, 要想股东的财富增加到更大, 相应的股票的市场价值与股票资本的差额△S需要取得最大值。据此可知, 以曲线△S取得最大值点所对应的债务权益比d*, 就是企业应该选择的最佳资本结构。

以上的筹资决策推导过程, 我们也可以看出企业债务融资的两种效应, 其一就是在企业增加债务融资的过程中, 企业会相应的多承担很多风险, 这种增加也就是替代效应。这种效应表现在上图一中就是:企业的债务权益比有增加趋势以后, 曲线r和曲线Ke也会按不同的比率增加, 而且其中的任一债务权益比, 都是前者低于后者。第二就是财务杠杆效应, 这主要反映的是企业在进行债务筹资时, 会导致企业的期望利润上升或者下降。图一中的曲线i, 从纵坐标上的Q开始的递减、再上升, 然后走下划线, 这种走向也体现了这种效应。单从这两种情况来看, 当股东的成本低于股东收益时, 股东的财富就会有所上升, 反之就会下降, 当然在股东的成本与股东收益相等时, 那么股东财富便不会增加也不会减少。因此, 以资本市场上的参数为约束条件, 企业筹资决策的目标就是在股东成本低于股东收益的基础上, 实现股东财富的最大化。

3. 企业价值曲线的变化趋势

一般情况下, 我们认为债权的市场机制也就等于债权利息的资本化, 即

上式中D为债券的市场价值, D′0代表的是债券的票面价值, 而r0即为票面利息率, r则表示债券市场利息率。

企业在规划债券的发行时, 债券本身的票面价值可以反应出企业筹集的债券资本, 同样的, 企业债券票面价值的利息率可以反应债券的市场利息。

因此, 企业的债券利息费用 (每年只支付一次) D′0r0就等于前面所述的D0r, 也就是债券的市场价值约等于企业筹集的债券资本, 即

企业价值V, 就等于债券与股票的市场价值相加的和, 即V=S+D。根据式 (2) 、式 (5) 和式 (6) , 得V=S-S0+D+S0=△S+D0+S0=△S+V0。由此推断可知两条信息, 图二曲线V的变化趋势可由曲线△S加上一条表示最佳资本量的直线V0来确定, 也就是说, 企业价值与股票增值之间相差一个由投资决定的最佳资本量。另外, 我们可以看出实际上企业价值最大化等价于股票增值最大化, 这两种数值都可以作为决策标准来衡量企业的最佳资本结构。

摘要：通常情况下, 应用数学在我们的日常生活中都起到一定的重要作用, 而我们做药研究的这些数学镇魂石我们在生活中的总结, 亦是我们生活中智慧的集聚。因此, 应用数学的价值也充分的体现在实际生活当中。如今应用数学已经具备一定的深度, 并普及到环境、经济、信息等多个领域中, 使得这些行业发生了质的改变。本文正是在这样的背景下, 以等价无穷小极限为例, 探讨其在证券估价中的应用。

关键词：等价无穷小,极限,应用推广

参考文献

[1]《高等数学》编写组.高等数学 (工科) [M].苏州:苏州大学出版社, 2007.

[2]陆晶.等价无穷小在求函数极限中的应用与推广[J].硅谷, 2008, (12) :120—121.

篇7：利用等价无穷小量求极限方法评析

一、等价无穷小量替换原理

在求极限问题中, 利用上述原理, 对被求极限函数式中的无穷小量进行相互替换, 达到简化函数式的目的, 是一种行之有效的求极限方法.下面介绍两种类型.

二、方法评析

类型一利用sin (mx) ～mx, tan (mx) ～mx (x→0)

当被求极限的函数式中含有sin (mx) 或tan (mx) 时, 求极限时, 利用等价无穷小量间替换的方法较为简便.

这是通常采用的方法, 利用了重要极限公式或.如果我们能够掌握sin5x～5x, tan2x～2x (x→0) , 利用等价无穷小量间的相互替换, 则有如下解决方案:

解决方案二因x→0时, sin5x～5x, tan2x～2x,

故:原式=.

lim x→02x5x=25

显然, 解决方案二较解决方案一简便得多.再举一例.

实例2求.

解决方案因x→0时, sinmx～mx, sinnx～nx,

故:原式=.

利用等价无穷小量间的相互替换, 还应注意灵活应用.如以下两例.

本例利用了等价关系:x→0时, sin

在利用等价无穷小量替换时, 对代数式中的某一项不能简单地进行替换.如求, 若直接利用sinx～x, tanx～x, 就会得到对本问题的错误结论.究其原因, 是因为当x→0时, tanx-sinx并不等价于x-x, 故应寻求其他方法.

类型二利用ln (1+x) ～x (x→0)

在工程问题中, 经常会遇到含有ln (1+x) 的函数式, 若能正确利用ln (1+x) ～x (x→0) , 对ln (1+x) 用x进行替换, 计算将十分简便.

在实例6中, 巧妙地将因x→0时, ln (1+x) ～x, 延伸到x→0时, ln (1+x2) ～x2, 使得本问题的解决方案简单明了.

三、结语

从以上实例的解决方案看到, 利用等价无穷小量间的替换求极限, 往往较其他方法简便.但在应用时需要注意四点:一是准确掌握基本的等价无穷小量替换式.如:x→0时, sinx～x, tanx～x, ln (1+x) ～x等.二是能对基本的等价无穷小量替换式进行延伸.如:x→0时, sinmx～mx, tanmx～mx, ln (1+x2) ～x2等.三是能应用三角恒等变换或代数恒等变换, 将被求极限的函数式进行变形.如上述实例3、实例4.四是必须满足等价无穷小量替换原理, 不可任意替换被求极限的函数式中的某一项.如上述实例4中的反例.

参考文献