中学数学教学中直觉思维与逻辑思维的结合培养

2022-09-21

逻辑思维与直觉思维, 这两种思维能力的培养一直是初中数学教学的重点, 尤其是中学数学教学大纲 (试验修订本) 将培养“逻辑思维能力”改为“思维能力”, 可见人们认识到数学教学过程中对学生思维培养的注重不应再仅仅局限于逻辑思维能力, 对应于严谨的逻辑思维能力, 形象灵活的直觉思维能力也应得到相应的重视。

1 两种思维的内涵及其关系

逻辑思维, 指在思维过程中严密遵循思维的逻辑规律和规则, 通过逐步推理得出结论的思维方式。它的进行模式是阶梯式的, 步骤明确夕包含着一连串的严谨、连续的归纳和演绎过程。在逻辑思维进行过程中, 主体能充分意识并控制整个过程, 并能用语言将该过程清楚地表迷出来。而直觉思维, 就是人脑对思维对象的本质及其关系的快速直接的理解和断定的一种思维方式。它不是分析性的、按部就班的逻辑推理, 而是从整体上作出的直接把握。在直觉思维中, 不仅运用着概念, 而且还运用形象、模型等进行思维。

不难看出, 逻辑思维方式所要求的一些基本特性是概念把握的明晰性、推理论证的严谨性、语言表达上的明确性, 而直觉思维方式则更多体现了思维过程中的直接性、形象性, 同时相应也有着偶然性。

长久以来, 简单地因为二种思维方式的不同特性, 人们总是有意无意地将二者分离开来, 这其实是一种误解。尽管二者有着不同的侧重, 但认知科学上越来越多的事实证明二者常常是交织在一起不能分开的, 任何直觉思维过程都不可能完全脱离逻辑规则的约束, 而仅仅通过运用逻辑规则不能达到目的的地方直觉思维是我们赖以超越的必要手段。在数学解题过程中, 就普遍存在这样一种情况:在一些题的求解过程的起初阶段, 我们总需要借助一些估摸、猜想得来的特殊数据来对解题方向进行辅助性地探索, 当初这些非演绎的手段并非最终决定性的, 仍然需要逻辑性明确的符号来给出解题过程, 但纵观整个解题思路出现的过程, 显然可以发现这是一种逻辑思维与直觉思维不可分割的一个有机过程。

2 两种思维在例题中的运用

(1) 父子二人都是工人, 从家到工厂父亲行全程要40分钟, 儿子行全程要30分钟。如果父亲先离家5分钟, 儿子再出发要走几分钟才能追上父亲?

一般思路:本题属行程追及问题, 追及距离是父亲先走5分钟所行路程, 5÷40=1/8, 速度差是1/30-1/40=1/120, 所以追及所需时间列式是5÷40÷ (1/30-1/40) =1/81÷1/120=15 (分钟) 。或者设所求为x, 求解思路为, 儿子追及父亲所行距离与父亲自5分钟前开始行的距离相等, 则可列式 (x+5) /4 0=x/3 0。

直觉与逻辑相结合的思维方式:因为父亲先行5分钟, 而总路所需时间比儿子多10分钟, 则比儿子晚到5分钟, 通过考虑对称性原理, 可知追及时两人应该在儿子行途中的中点, 所以列式30÷2=15 (分钟) 。

(2) 如图1, 设P、Q为线段BC上两定点, 且BP=CQ, A为BC外一动点, 当A点运动到使∠BAP=∠CAQ位置时, 三角形ABC是什么三角形?试证明你的结论。

与其他一些直接给出结论只需要给出论证过程的题不同, 这是一个结论未知的题, 但根据题设给出条件, 不难直觉出“三角形A B C是等腰三角形”这一答案。然而与上题不同, 尽管许多学生会通过直觉猜测到本题答案, 但教师更应注重学生对结论的论证过程 (通过证明三角形ABP G与三角形ACQ全等来证明AB=AC) , 这便是将直觉猜想逻辑形式化的过程, 也是训练学生掌握符号语言的必要过程。

3 两种思维方式相互结合的培养策略

通过上面两个简单例题来考察一下思维过程, 应该说逻辑思维仍然占据着基础地位, 没有逻辑思维, 直觉便是无本之源, 而直觉到的东西具有跳跃性, 进一步可以刺激着逻辑思维对整个过程进行完善。

就数学教学而言, 笔者认为注重于以下几个方面有利于对两种思维相结合的培养。

3.1 牢固的基础知识

虽说直觉与个人的天赋有所关联, 但后天的知识、经验的积累对它有着重要影响, 从表面看直觉的来源似乎有些“虚无飘渺”, 实际上它是以相应的知识为根基的, 尤其是某些基础知识、基本概念、原理。逻辑思维则更是需要牢固的基础知识。如果没有这些, 几乎不可以想象一个人如何思维, 如果把思维看作一个动态的过程, 那么整个过程所必须依赖的开始的基点和结束的终点都将必然包含着基础知识。

3.2 形式感与美感

数学中非常强调符号化、形式化, 数学论证过程总是被要求尽可能地用形式化地符号概括, 这个形式化的过程既显得简洁又容易进行逻辑判定。站在哲学的角度来看, 形式化论证这一过程本身就是形式逻辑在数学中的重要表现, 在形式化论证的每一个步骤中都包含了逻辑性, 与逻辑思维本身的演绎性是完全一致的。

关于数学中的美, 古今中外有许多学者都作过论述, 总结起来最终无非都归结为简洁美、对称美等几条, 而这些说的无非都与形式化符号有关, 如方程式的简洁、数形结合的对称等。与逻辑推理步骤的分析性不同, 对数学中美的领悟需要相对更综合的全面直观把握, 但通过强调并努力促使学生对形式美的领悟却无疑能直接刺激学生思考积极性, 让他们感受到严密逻辑性与直觉上的和谐感美感在数学上的交融。

3.3 教学上的因势利导

在教师的教学方法上, 要求教师打破以前那种在数学中“唯逻辑是从”或两种思维相分离的观念。具体到教学行为上, 要鼓励学生积极大胆地进行猜想, 对其合理成分及时给予鼓励, 扶植学生的自发性直觉思维, 同时也还要注重引导学生对其自己的猜想积极地进行论证、推导。作为一名学生, 当他先前的直觉能够得到充分地表达并能发出符合逻辑性的证明过程时, 由此得来的成就感、喜悦感将大大激发学生学习的主动性。

摘要：新版中学数学教学大纲 (将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”改为“思维能力”) 发行以来, 越来越多的人开始对数学教学中的直觉思维能力加以关注, 但在教学过程中仍有许多不能以整体系统的观点看待两种思维方式的地方, 本文将就两种思维不可分割性进行阐述来提出一些两种思维方式结合培养的策略。

关键词：直觉思维,逻辑思维,结合