数学勾股定理教案优秀

数学勾股定理教案优秀（精选14篇）

篇1：数学勾股定理教案优秀

教学目标

知识与技能：

了解勾股定理的一些证明方法，会简单应用勾股定理解决问题

过程与方法：

在充分观察、归纳、猜想的基础上，探究勾股定理，在探究的过程中，发展合情推理，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想。

情感态度价值观：

通过对我国古代研究勾股定理的成就介绍，培养学生的民族自豪感。

教学过程

1、创设情境

问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。在北京召开了第24届国际数学家大会。下图就是大会会徽的图案。你见过这个图案吗?它由哪些我们学习过的基本图形组成?这个图案有什么特别的含义?

师生活动：教师引导学生寻找图形中的直角三角形和正方形等，并引导学生发现直角三角形的全等关系，指出通过今天的学习，就能理解会徽图案的含义。

设计意图：本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

2、探究勾股定理

观看洋葱数学中关于勾股定理引入的视频，让我们一起走进神奇的数学世界

问题2相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用转铺成的地面图案反应了直角三角形三边的某种数量关系，请你观察下图，你从中发现了什么数量关系?

师生活动：学生先独立观察思考一分钟后，小组交流合作分析图形中两个蓝色正方形与橙色正方形有哪些数量关系，教师参与学生的讨论

追问：由这三个正方形的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间又有怎么样的关系?

师生活动：教师引导学生发现正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：从最特殊的等腰直角三角形入手，便于学生观察得到结论

问题3：数学研究遵循从特殊到一般的数学思想，既然我们得到了等腰直角三角形三边的这种特殊的数量关系，那我们不妨大胆猜测在一般的直角三角形(在下图的方格纸中，每个方格的面积是1)中，这种特殊的数量关系也同样成立。

师生活动：学生独立思考后小组讨论，难点是如何证明求以斜边为边长的正方形的面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法，求出其面积。

篇2：数学勾股定理教案优秀

1、知识与技能目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，通过探究能够发现直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方和。

2、过程与方法目标：经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理能力。

3、情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，培养主动探究的习惯，并进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学重点

了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点

勾股定理的探究以及推导过程。

教学过程

一、创设问题情景、导入新课

首先出示：投影1(章前的图文)并介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，结合课本第六页谈一谈我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。

出示课件观察后回答：

1、观察图1—2，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。

正方形B中有_______个小方格，即B的面积为______个单位。

正方形C中有_______个小方格，即C的面积为______个单位。

2、你是怎样得出上面的结果的?

3、在学生交流回答的基础上教师进一步设问：图1—2中，A，B，C面积之间有什么关系?学生交流后得到结论：A+B=C。

二、层层深入、探究新知

1、做一做

出示投影3(书中P3图1—3)

提问：(1)图1—3中，A，B，C之间有什么关系?(2)从图1—2，1—3中你发现什么?

学生讨论、交流后，得出结论：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

2、议一议

图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗?

(1)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗?在同学交流的基础上，共同探讨得出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

(2)分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边长为13)请大家想一想(2)中的规律，对这个三角形仍然成立吗?

3、想一想

我们常见的电视的尺寸：29英寸(74厘米)的电视机，指的是屏幕的长吗?还是指的是屏幕的宽?那他指什么呢?能否运用刚才所学的知识，检验一下电视剧的尺寸是否合格?

三、巩固练习。

1、在图1—1的问题中，折断之前旗杆有多高?

2、错例辨析：△ABC的两边为3和4，求第三边

解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足

=25即：c=5辨析：(1)要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题三角形ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。(2)若告诉△ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足，题目中并未交待C是斜边。

综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得

四、课堂小结

鼓励学生自己总结、谈谈自己本节课的收获，以及自己对勾股定理的理解，老师加以纠正和补充。

篇3：勾股定理中隐含的数学思想

一、方程思想

把数学问题通过适当的方式, 转化为一个求解方程的方法称为方程思想.用方程思想解题的关键是利用己知条件构造方程.

例1是否存在三边长为连续整数的直角三角形, 若存在请求出三边的长;若不存在, 请说明理由.

解析:解答若用常规的方法很难下手.如果巧妙地运用方程思想求解, 那就游刃有余了.

设三边长为分别x-1, x, x+1,

则由勾股定理, 可得 (x-1) 2+x2= (x+1) 2,

所以x2=4x, 由于x≠0, 所以可得x=4, 从而有x-1=3, x+1=5, 因此存在满足条件的三边长为3, 4, 5.

【点评】此题运用方程思想, 恰当地设出未知数, 进而分析问题的数量关系, 通过勾股定理构建方程, 从而达到轻松解题的目的.

二、整体思想

对于数学问题, 从大处着眼, 从整体入手, 可使问题变难为易, 更能培养思维的灵活性.

例2我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形 (如图1所示) .如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1, 直角三角形的两直角边长分别为a, b, 那么 (a+b) 2的值是____.

解析:由题意可知a2+b2=13, (a-b) 2=1.

根据完全平方公式 (a-b) 2=a2-2ab+b2可得13-2ab=1,

所以2ab=12.

所以 (a+b) 2=a2+2ab+b2=13+12=25.

【点评】此题中把 (a+b) 2做为一个整体, 通过完全平方公式直接求其值, 真可谓是:众里寻它千百度, 蓦然回首, “答案却在灯火栅栏处”.在数学解题中把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的、有意识的整体处理, 往往能够起到事半功倍的效果.

三、转化思想

把新问题转化为己知的问题上, 把复杂的问题转化为简单的问题来求解的方法.

例3如图2所示, 已知△ABC中, AB=10, BC=21, AC=17, 求BC边上的高.

解析:要求BC边上的高, 可过A作AD⊥BC于D, 可得AD是Rt△ABD、Rt△ADC的直角边, 可先设出BD的长为x, 再由勾股定理利用AD边过渡列出方程可得到解答.

过A作AD⊥BC于D,

设BD的边长为x, 则CD的长为21-x.

在Rt△ABD中, 根据勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-x2.

同理可得AD2=AC2-CD2=172- (21-x) 2.

所以102-x2=172- (21-x) 2, 解得x=6.

所以AD2=102-62=64, 所以AD=8.

【点评】当已知的图形不是直角三角形时, 可以利用转化思想, 构造直角三角形, 再利用勾股定理求解.任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化, 化归为一个比较熟悉、比较容易的问题, 通过对新问题的解决, 达到解决原问题的目的.

四、分类思想

对数学问题进行分情况讨论求解, 可使解题准确, 从而避免产生漏解现象出现.

例4下面是数学课堂的一个学习片断, 阅读后, 请回答下面的问题.

学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“己知直角三角形ABC的两边长分别为3、4, 请求出第三边长的平方.”

同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手讲:第三边长的平方为25;王华同学说:第三边的长为7;还有一些同学也提出了不同的看法….

(1) 如你也在课堂中, 你的意见如何?为什么?

(2) 通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)

解析:本例首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后, 对两名同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼“直角三角形ABC的两边长分别为3、4”这个不确定条件进行分析研究.

设第三边长为x, 则当x为斜边时,

由勾股定理得x2=32+42, 解得x2=25;

当x为直角边时, 由勾股定理得42=32+x2, 解得x2=7.

所以, 第三边长的平方为25或7.

由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.

对于第 (2) 问, 应在第 (1) 问的解答的基础上, 可总结出“根据图形位置关系, 实施分类讨论思想方法解多解型问题”, “考虑问题要全面”等体会.

【点评】求解本题时往往会受勾3股4弦5影响造成思维定势, 而误认为3和4就是直角三角形的两条直角边, 斜边为5, 从而漏掉一解导致错误.当题目条件具有不确定性时, 就要把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论, 从而获得对问题完整的解答.

篇4：勾股定理中的数学思想

一、方程思想

在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.

二、化归思想

化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.

例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少？

分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.

说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.

例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长（精确到0.1m，≈1.732）.

（2004年天津市中考题）

分析：图中无直角三角形，怎么办？联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.

说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.

三、数形结合思想

数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.

例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？（2005年福建省龙岩市中考题）

分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = （m），则树高AD = （ +10）m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = （30）m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + （ + 10）2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.

说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.

四、分类讨论思想

在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.

例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.

分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.

例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. （2003年黑龙江省中考题）

分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.

在图8中，S△ABC=10 （20 + 15）米2；

在图9中，S△ABC= 10（2015）米2.

说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.

五、整体思想

对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.

例8已知一个直角三角形的周长为30cm， 斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.

分析：设这个直角三角形的两条直角边长为 ，斜边为 ，则 = 3013 = 17，于是（ + ）2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.

说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.

例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.（2005年浙江省温州市中考题）

分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得 △ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.

说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.

篇5：初二数学勾股定理教案

本节课在教材处理上，先让学生带着三个问题预习完成网上作业，自制4个两条直角边不等的全等的直角三角形，准备一张坐标纸。从而初步了解勾股定理的历史和内容以及证法，并制作成课件或打印资料，为课上活动做了充分的准备。为突破本课重、难点起到了至关重要的作用。勾股定理这部分内容共计两课时，本节课是第一课时。教学重点定位为勾股定理的探索过程及简单应用。教学难点是勾股定理的证明。把勾股定理的应用放在第二课时进行专题训练。

八年级数学勾股定理教案(教法、学法及教学手段)

自主探索、合作交流、引导点拨

篇6：初中数学《勾股定理》教案

1、知识与技能目标

用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2、过程与方法

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

3、情感态度与价值观

在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快 乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久化的思想，激励学生发奋 学习。

教学重点：了结勾股定理的由，并能用它解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的发现

教学准备：多媒体

教学过程：

第一环节：创设情境，引入新（3分钟，学生观察、欣赏）

内容：世界数学家大会在我国北京召开，

投影显示本届世界数学家大会的会标：

会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”

的图作为与“外星人”联系的信号。今天我们就一同探索勾股定理。（板书 题）

第二环节：探索发现勾股定理（15分钟，学生独立观察，自主探究）

1。探究活动一：

内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：

（2）引导学生从面积角度观察图形：

问：你能发现各图中三个正 方形的面 积之间有何关系吗？

学生通过观察，归纳发现：

结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

2。探究 活动二：

由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？

（1）观察下面两幅图：

（2）填表：

A 的面积

（单位面积）B的面积

（单位面积）C的面积

（单位面积）

左图

右图

（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流。（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定。）

（4）分析填表的数据，你发现了什么？

学生通过分析数据，归纳出：

结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。

3。议一议：

内容：（1）你能用直角三角形的边长 、 、 表示上图中正方形的面积吗？

（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？

勾股定理（gou-gu theorem）：

如果直角三角形两直角边长分别为 、 ，斜边长为 ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。

第三环节： 勾股定理的简单应用（7分钟，学生合作探究）

内容：

例 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离

地面10m处折断倒下，

树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？

（教师板演解题过程）

第四环节：巩 固练习（10分钟，学生先独立完成，后全班交流）

1、列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：

2、生活中的应用：

小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

第五环节：堂小结（3分钟，师生对答，共同总结）

内容：教师提问：

1。这一节我们一起学习了哪些知识和思想方法？

2。对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流。

在学生自由发言的基础上，师生共同总结：

1。知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 .

2。方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；

② 面积法；

③ “割、补、拼、接”法.

3。思想：① 特殊—一般—特殊；

② 数形结合思想。

第六 环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）

内容：

作业：1。教科书习题1.1；

2。《读一读》——勾股世界；

3。观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 .

要求：A组（学优生）：1、2、3

B组（中等生）：1、2

C组（后三分之一生）：1

板书设计：见电子屏幕

篇7：数学勾股定理教案优秀

(一)知识目标

1、创设情境引出问题，激起学生探索直角三角形三边的关系的兴趣。

2、让学生带着问题体验勾股定理的探索过程，并正确运用勾股定理解决相关问题。 (二)能力目标

1、培养学生学数学、用数学的意识和能力。

2、能把已有的数学知识运用于勾股定理的探索过程。

3、能熟练掌握勾股定理及其变形公式，并会根据图形找出直角三角形及其三边，从而正确运用勾股定理及其变形公式于图形解决相关问题。 (三)情感目标

1、培养学生的自主探索精神，提高学生合作交流能力和解决问题的能力。

2、让学生感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生的爱国热情，培养学生的民族自豪感，教育学生奋发图强、努力学习。

二、教学重点

通过图形找出直角三角形三边之间的关系，并正确运用勾股定理及其变形公式解决相关问题。

三、教学难点

运用已掌握的相关数学知识探索勾股定理。

四、教学过程

(一)创设情境，引出问题

想一想：

小明妈妈买了一部29英寸(74厘米)的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

要解决这个问题，必须掌握这节课的内容。这节课我们要探讨的是直角三角形的三边有什么关系。

- 1 -

(二) 探索交流，得出新知

探讨之前我们一起来回忆一下直角三角形的三边：

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ∠C 所对的边AB ：斜边c ∠A 所对的边BC ：直角边a ∠B 所对的边AC ：直角边b

问题：在直角三角形中，a 、b 、c 三条边之间到底存在着怎样的关系呢? (1)我们先来探讨等腰直角三角形的三边之间的关系。

这个关系25前已经有数学家发现了，今天我们把当时的情景重现，

A

C

a

B

请同学们也来看一看、找一找。

如图

数学家毕达哥拉斯的发现：S A +SB =SC

即：a 2+b2=c2

也就是说：在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

议一议：如果是一般的直角三角形，两直角边的平方和是否还会等于斜边的平方? 如图

分析： SA +SB =SC 是否成立?

(1)正方形A 中含有 个小方格，即S A = 个单位面积。 (2)正方形B 中含有 个小方格，即S B = 个单位面积。 (3)由上可得：S A +SB = 个单位面积 问题：正方形C 的面积要如何求呢?与同伴进行交流。 方法一：

“补”成一个边长为整数格的大正方形，再减去四个直角边为整数格的三角形 方法二：分割成四个直角边为整数格的三角形，再加上一个小方格。 综上：

我们得出：S A +SB =SC

即：a +b=c

2

2

2

C

- 2 -

a

B

也就是说：在一般的直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

概括：

勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

数学语言描述：

如图，在Rt △ABC 中，a 2+b2=c2

(用多媒体简单介绍勾股定理的名称由来、中国古代的数学成就及勾股定理的“无字证明”) (三)应用新知，解决问题

例1：求出下列直角三角形中未知边x 的长度 5

注意：要根据图表找出未知边是斜边还是直角边，勾股定理要用对。

从上面这两道例题，我们知道了在直角三角形中，任意已知两边，可以求第三边。 即勾股定理的变形公式： 如图，在Rt △ABC 中

(1)若已知a ，b 则求c 的公式为：c =(2)若已知a ，c 则求b 的公式为：b =(3)若已知b ，c 则求a 的公式为：a =

a +b c -a c -b

22

22

2

C

a

B

2

例2： 如图，在直角三角形ABC 中, ∠C=900, A

(1) 已知: a=5, b=12, 求c;

(2) 已知: b=8,•c=10 , 求(3) 已知: a=

3, c=2, 求 请同学们利用这节课学到的勾股定理及推论解决我们课前提出的问题：

电视屏幕：

解：在Rt △ABC 中，AB=46厘米，BC=58厘米

由勾股定理得：AC=

?

D

A

46AB

2

+BC

2

2

=46+58

2

≈74(厘米)

∴不同意小明的想法。

- 3 -

58厘米

C

(四)归纳总结

(1)这节课你学到了什么知识?

①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 ②在直角三角形中，任意已知两边，可以用勾股定理求第三边。 (2) 运用“勾股定理”应注意什么问题? ①要利用图形找到未知边所在的直角三角形; ②看清未知边是所在直角三角形的哪一边; ③勾股定理要用对。

(五)练习巩固

(1)、如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面8米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部6米处，这棵树折断前有多高?

(2)、学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，

于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了______步.

(每两步约为1米) 3 (3)、已知：Rt △ABC 中，AB =4，AC =3, 则BC 的长为___________。 (六)作业

1. A、B 、C 组：课本第69、70页，习题18.1 第1, 2，3题. 2. A、B ：练习册33、34页

篇8：勾股定理与数学思想的联用

一､方程思想

例1 如图1,把长方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边上的点F处.折痕为AE.若AB=12 cm,BC=13 cm,则EC= cm.

解析:根据折纸的特点知,AF=AD=13 cm.

设EC=x cm,则EF=DE=(12-x) cm.

在Rt△ABF中,

BF===5(cm).FC=BC-BF=13-5=8(cm).

在Rt△ECF中,由勾股定理得EF2=EC2+FC2.

故 (12-x)2=x2+82.解得x=.所以EC= cm.

点评:在只知道直角三角形一边长时,可先设出一边长,然后再根据题设条件用未知数表示出另一边长,最后利用勾股定理建立方程求解.折叠问题中有不少相等的线段和角,解题时要充分利用这些条件.

二､分类讨论思想

例2在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,试求BC的长.

解析:三角形中某边上的高既可在三角形内部,也可在三角形外部,故此题应分两种情况来考虑.

当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图2,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,所以BD=9.

CD2=AC2-AD2=202-122=256,所以CD=16.

则BC=BD+CD=25.

当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图3,同样由勾股定理可求得CD=16,BD=9,此时,BC=CD-BD=16-9=7.

故BC的长为25或7.

点评:涉及高的问题,通常需要考虑三角形的各种可能情况:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形.

三､转换思想

例3 如图4,圆柱形玻璃容器高18 cm,底面周长为60 cm.在容器外侧距下底1 cm的点A处有一只蜘蛛,与蜘蛛正对的容器外侧距开口处1 cm的点B处有一只苍蝇.蜘蛛要想捉到苍蝇,至少要爬多远?

解析:如图5,将圆柱侧面展开得到矩形MNQP,过点B作BC⊥MN于点C,连接AB,则线段AB的长度即为蜘蛛要爬的最短路程.

在Rt△ABC中,AC = MN-AN-CM =18-1-1= 16(cm).BC是底面的圆周周长的一半,即BC = 30 cm.

由勾股定理,得

AB2 =AC2+BC2=162+302=1 156,AB= 34 cm.

故蜘蛛至少要爬34 cm才能捉到苍蝇.

点评:本题是求圆柱侧面上两点间最短路线的问题,解题的关键是将曲线变为直线,构造直角三角形,为运用勾股定理创造条件.在长方体表面上也有类似的问题.

四､整体思想

例4 如图6,D是Rt△ABC斜边AB上的一点.DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E､F,且DE=DF.若AD=3,DB=4,则S△ADE+S△BDF= .

解析:要求S△ADE与S△BDF的和,由于只知道AD和DB的长,按照常规的方法,运用面积公式求面积条件不足,于是考虑从整体上求解.

设BF=m,AE=n,DE=DF=FC=EC=a.由勾股定理,得

n2+a2=32,①

m2+a2=42, ②

(n+a)2+(m+a)2=(3+4)2.③

由③得n2+2na+a2+m2+2ma+a2=49.将①､②代入有2na+2ma=24.na+ma=12.故S△ADE+S△BDF=(na+ma)=6.

点评:考虑整体思想的应用,所求问题即可明朗.事实上,本题并不需要分别求出m､n､a,而且由①､②､③求出m､n､a也很不容易.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

篇9：数学勾股定理教案优秀

课题：勾股定理 课型：新授课 课时安排：1课时 教学目的：

一、知识与技能目标

理解和掌握勾股定理的内容，能够灵活运用勾股定理进行计算，并解决一些简单的实际问题。

二、过程与方法目标

通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。

三、情感、态度与价值观目标

了解中国古代的数学成就，激发学生爱国热情;学生通过自己的努力探索出结论获得成就感，培养探索热情和钻研精神;同时体验数学的美感，从而了解数学，喜欢几何。

教学重点：引导学生经历探索及验证勾股定理的过程，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题

教学难点：用面积法方法证明勾股定理 课前准备：多媒体ppt，相关图片 教学过程：(一)情境导入

1、多媒体课件放映图片欣赏：勾股定理数形图，1955年希腊发行的一枚纪念邮票，美丽的勾股树，2002年国际数学大会会标等。通过图形欣赏，感受数学之美，感受勾股定理的文化价值。

2、多媒体课件演示FLASH小动画片：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火? 已知一直角三角形的两边，如何求第三边? 学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了(二)学习新课

问题一是等腰直角三角形的情形(通过多媒体给出图形)，判断外围三个正方形面积有何关系?相传2500年前,毕达哥拉斯(古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家)有一次在朋友家做客时，发现朋友家里用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。你能观察图中的地面，看看能发现什么?

对于等腰直角三角形有这样的性质：两直边的平方和等于斜边的平方 那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢? 请大家画一个任意的直角三角形，量一量，算一算。

问题二是一般直角的情形，判断这时外围三个正方形的面积是否也存在这种关系?

通过前面对两个问题的验证，可以得到勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

通过这个观察和验算这个直角三角形外围的三个正方形面积之间的关系，同学们发现了什么规律吗?(三)巩固练习

1、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米?

2、解决课程开始时提出的情境问题。(四)小结

1、背景知识介绍

①《周髀算径》中，西周的商高在公元一千多年前发现了“勾三股四弦五”这一规律;②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法，积求勾股法是他的独创。

2、通过这节课的学习，你会写方程了吗?你有什么收获和体会?(五)作业

练习18.1中的1、2、3题。板书设计：

篇10：正弦定理优秀教案设计

(三)证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：那么，在斜三角形中也成立吗?

用几何画板演示，用多媒体的手段对结论加以验证!

但特殊不能代替一般，具体不能代替抽象，这个结果还需要严格的证明才能成立，如何证明哪?前面探索过程对我们有没有启发?

学生分组讨论，每组派一个代表总结。(以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述)

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

师：我们在前面学习了平面向量，向量是解决数学问题的有力工具，而且和向量的联系紧密，那么同学们能否用向量的知识证明正弦定理?

学生要思考一下。

师：观察式子结构，里面有边及其边的夹角，与向量的哪一部分知识有关?

生7： 向量的数量积

篇11：数学勾股定理教案优秀

教学目标

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点

1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习

1、若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32，42，52⑷9，40，41；

⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ）

A．2个 B．3个?????C．4个??????D．5个

2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=，c=4；

二、交流展示

例1（P33例2）某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，并相距30海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求PR，PQ，QR；

⑷根据勾股定理 的`逆定理，求∠QPR；⑸求∠RPN。

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；

⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。

三、合作探究

例3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、达标测试

1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

3．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，

则电线杆和地面是否垂直，为什么？

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？

篇12：勾股定理中的数学思想

通过适当的方式,把数学问题转化为一个求解方程的方法,这称为方程思想。用方程思想解题的关键是利用已知条件构造方程。

例1 是否存在三边长为连续整数的直角三角形,若存在,请求出三边的长;若不存在,请说明理由。

解析 先假设存在,再利用勾股定理建立方程,若方程有解,则说明存在并可求出其解;若方程没有满足题意的解,则说明了不存在的理由。

设三边长为x-1、x、x+1,则由勾股定理,可得(x-1)2+x2=(x+1)2,所以x2=4x,由于x≠0,所以可得x=4,从而有x-1=3,x+1=5,因此存在满足条件的三边长为3、4、5。

点评 本题运用方程的数学思想,使问题得到解决。

二、整体思想

对于数学问题,从大处着眼,从整体入手,可使问题由难变易,更能培养思维的灵活性。

例2 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图1所示)。如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a、b,那么(a+b)2的值是_______。

解析 由题意可知a2+b2=13,(a-b)2=1。

根据完全平方公式(a-b)2=a2-2ab+b2可得13-2ab=1,所以2ab=12。

所以(a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25。

点评 本题若通过已知条件求出两直角边的长来求(a+b)2,则很难办到,这里把两直角边长的积、平方和、和的平方、差的平方分别视为整体而得到简单的解法。

三、转化思想

把新问题转化为已知的问题,把复杂的问题转化为简单的问题来求解的方法。

例3 如图2所示,已知△ABC中,AB=10,BC=21,AC=17,求BC边上的高。

解析 要求BC边上的高,过A作AD⊥BC于D,得AD是Rt△ABD、Rt△ADC的直角边,可先设出BD的长为x,再由勾股定理利用AD边过渡列出方程可得到解答。

过A作AD⊥BC于D,设BD的边长为x,则CD的长为21-x。

在Rt△ABD中,根据勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-x2。

同理可得AD2=AC2-CD2=172-(21-x)2。

所以102-x2=172-(21-x)2,解得x=6。

所以AD2=102-62=64,即AD=8。

点评 当已知的图形不是直角三角形时,可以利用转化思想,构造直角三角形,再利用勾股定理求解。

四、分类思想

例4 下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题。

学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:“已知直角三角形ABC的两边长分别为3、4,请求出第三边长的平方”。

经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲:第三边长的平方为25;王华同学说:第三边的长为7;另一些同学则提出了不同的看法……

如果你也在该课堂中,你的意见如何?为什么?

解析 本例首先要求在阅读数学课堂的一个学习片段后,对两名同学的说法提出自己的看法。这时应注意题眼:“直角三角形ABC的两边长分别为3、4”,并对这个不确定条件进行分析研究。设第三边长为x,则当x为斜边时,由勾股定理得x2=32+42,解得x2=25;当x为直角边时,由勾股定理得42=32+x2,解得x2=7。所以,第三边长的平方为25或7。

由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误。

篇13：数学勾股定理教案优秀

和其它定理一样，勾股定理也有逆命题，但能否成为逆定理呢?下面就此问题加以研究，看能否证出逆命题是正确的.

(二)讲解新课

1.先让学生写出逆命题，并结合图形，用几何语言写出已知，求证.

2.其次，要向学生进行讲解，指出直接证明这个三角形中有一个角为直角很困难，所以我们采用先做一个“两个直角边分别等于已知三角中较短的两边的直角三角形”，然后证明所作的直角三角形与已知三角形全等，即可知已知三角形是直角三角形.

作三角形时，注意所用条件，不可用已知三角形的三边.

具体证明全等方法是用计算方法证的.此后可把逆命题，改写成逆定理.因此得出勾股定理与其逆定理关系又是一对互逆定理.前者是rt△的性质定理，后者是rt△的判定定理，特别是判定定理又给我们提供了除定义外的又一个判定直角三角形的方法.应该提醒学生，注意随时总结，以使新旧知识互相结合，扩大证明有关问题的思路.另外，先要把任意三角形中最长的边c的平方，与其它两边a、b的平方和作比较就可直接得出下列结论：

最后要再次强调勾股定理与逆定理在以后的学习中的重要地位，不可忽视.

例 已知在rt△abc中，三条边长分别为a、b、c，是a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1).

求证：∠c=90°.

分析：由于是已知三边求证是直角三角形，所以很快想到勾股定理的过定理.但要注意，用两个较短边的平方和与最长边的平方作比较，否则不会得到正确结论，直角三角形斜边永远大于直角边.具体计算证明可由学生自己完成.

勾股数的定义：

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数叫做勾股数.

找勾股数可用试验的方法.历史上人们已经找到许多符合勾股定理的公式，用这些公式找勾股数很容易，如上面例题就是其中一种.只要用大于1的自然数代入公式即可.下面两个公式也可以用来找勾股数，此处不防先作为课后练习，可让学生证后再用.

①2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n是自然数)是直角三角形的三条边长.

②m2-n2，m2+n2，2mn(m>n，m、n是自然数)是直角三角形的三条边长.

可以让学生记住一些常见的勾股数，如：3、4、5;8、6、10;15、18、17…

(三)练习

教材p.105中1、2、3.

(四)作业

篇14：数学勾股定理教案优秀

一、全章要点

1、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明 常见方法如下：

方法一： ， ，化简可证.

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为 所以

方法三： ， ，化简得证

4、勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ; ; ; ;8,15,17;9,40,41等

二、经典训练

(一)选择题：

1. 下列说法正确的是( )

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2;

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2;

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2+b2=c2;

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a2+b2=c2.

2. △ABC的三条边长分别是 、、，则下列各式成立的是( )

A. B. C. D.

3.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )

A.121 B.120 C.90 D.不能确定

4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为( )

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

(二)填空题：

5.斜边的边长为 ，一条直角边长为 的直角三角形的面积是 .

6.假如有一个三角形是直角三角形，那么三边 、、之间应满足 ，其中 边是直角所对的边;如果一个三角形的三边 、、满足 ，那么这个三角形是 三角形，其中 边是 边， 边所对的角是 .

7.一个三角形三边之比是 ，则按角分类它是 三角形.

8. 若三角形的`三个内角的比是 ，最短边长为 ，最长边长为 ，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 .

9.如图，已知 中， ， ， ，以直角边 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 .

10. 一长方形的一边长为 ，面积为 ，那么它的一条对角线长是 .

三、综合发展:

11.如图，一个高 、宽 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.

12.一个三角形三条边的长分别为 ， ， ，这个三角形最长边上的高是多少?

13.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

14.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?

15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是多少?