高数一期末复习题

第一篇：高数一期末复习题

高数期末复习题

重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数(注意复合函数链式法)、全微分;会判断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件;会求多元函数的极值(特别是条件极值)、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线(向量)以及方向导数及方向余弦。

一、单项选择题

1.设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)()。

A.limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)B.lim x0x0xx

f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)C.limD.lim xx0xx0xx0xx0yy0

2.函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的()条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的

3.设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().

A.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点

C. f(x,y)在(x0,y0)有定义D. (x0,y0)为连续点

4.设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().

A.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5. 若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续，则()。

A.limf(x, y)必不存在;B.f(x,y)必不存在; xxyy

C.f(x, y)在点(x,y)必不可微;D.fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的()

A.必要非充分条件;B.充分非必要条件;

C.充分且必要条件;D.既非充分又非必要条件。

7.考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质：

①函数f(x, y)在点(x,y)处连续; ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续;③函数f(x, y)在点(x,y)处可微; ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是()。

A.②③①B.③②①C.③④①D.③①④。 8.下列极限存在的为().

x2x11A.limB.limC.limD.limxsin

x0xyx0xyx0xyx0xyy0

y0

y0

y0

x2y

9.二元函数极限lim为()。

(x,y)(0,0)x4y

2A.0B.;C.2D.不存在 10.设f(x,y)xyex，则fx (1,x)()。

A.0B.eC.e(x1)D. 1+ex 11.函数zLn(x3y3)在(1，1)处的全微分dz=()。

A.dxdyB. 2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)

2z

12.设zesin3y，则。()

xy

2x

A.e2xsin3yB.e2xe2xsin3yC.6e2xcos3yD.6e2xsin3y 13.设yxey0,则

dy

()。dx

eyey1xeyxey1A.B.C.D.xey11xeyeyey

14.设函数zfx,y在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx0,03，fy0,01，则有().

A.dz0,03dxdy.

B.曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1.

C.曲线

zfx,y

在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3.

y0

zfx,yD.曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1.

y0

15.设函数 f(x,y)x8y6xy5，则f(x,y) (D)。A.在(0,0)点有极小值B.没有极值

C.在(0,0)点有极大值D.在(1，16.函数fx,y4xyx2y2的极值为()。

)点有极小值2

A.极大值为8B.极小值为0C.极小值为8D.极大值为0 17. 函数z2xy在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为()。A.3B.C. 0D.

5二、填空题

1.函数zln(1x)

yx2xy1的定义域是______________________。

2.极限lim

sinxy

 __ _______。

x2yy0

lim

3.二元函数的极限

(x,y)(0,0)

x2y2cos

 。 2

2xy

4.设ze

x2y

，则dz。

5.设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定，则

z

= ______________ 。x

6.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。 

x0

7.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线

zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。 

x0

8. 若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9.旋转抛物面zxy1在点(2，1，4)处的切平面方程为 10.曲面ze

x2y

2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。

11.曲面 zxy3上点(1,2，2)处的单位切向量为_________________ 12.求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。

13.函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数



u

=。 l

14.uxyz在点M(5,1,2)处沿点(5，1，2)到点(9，4，14)的方向的方向导数为。

三、解答题 1.

计算极限：

。

(x,y)(0,0)lim

(x,y)(0,0)lim

(1,1)

.计算极限：

3.设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定，求dz4.设zeusinv，而uxy，vxy求

。

zz和.xy

zz2zx

5.设函数zz(x,y)由方程ln所确定，求 。 ,

zxxyy

y22z

6.设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。

xxy

7.设函数u(xy)z，求du

(1,2,1)

。

8.设x,y均是z的函数,且

xyz0dxdy

,。 ，求22

2dzdzxyz1

8.已知两点A(2，2，2)和B(1，3，0)，求向量的模、方向余弦和方向角. 9.求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10.求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。 11.求函数fx,yx3y33x23y29x的极值.

12.将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大. 13.求函数zxy1在y1x下的极值。

14.求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。 15.求表面积为a而体积最大的长方体。

17.求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭

2

222

矩形区域D上的最大值和最小值。

19.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式： 。 R(x,y)1514x32y8xy2x210y2，求最优广告策略(利润=收入-成本)

四、证明题

x2y2

1. 证明极限lim不存在。

(x,y)(0,0)x2y2(xy)2

2.证明极限lim(1

xy

1)x

x2xy

不存在。

xy

,x2y2022

3. 设函数f(x,y)xy，证明：函数在(0，0)点不连续。

0,x2y20

4.设zx

y)，求证x

zz1y。 xy2

5.设zxyyF(u)， 而u

xzz，F(u)为可导函数，证明xyzxy yxy

zz

b1。 xy

6.设f为可微函数，且xazf(ybz)，证明：a

2u2u2u

7.函数u(xyz),证明：2220。

xyz

2

8.证明：曲面xyzc3(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.

第二篇：山东交通学院高数一范围重点

2013-2014学年第一学期理工科期末复习要点

第一章

1.等价无穷小的定义，无穷小的比较;

2.利用等价无穷小替换，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，分子分母有理化，两个重要极限求函数的极限;

3.函数在一点处的连续性，及间断点类型的判定。

第二章

1.利用函数在一点处导数的定义求极限，函数在一点处的可导性;

2.显函数的一阶及二阶导数，抽象函数的微分，隐函数的一阶导数及微分，曲线(隐函数，参数方程)在一点处的切线方程及法线方程;

3.连续与可导，可微的关系。

第三章

1.利用罗尔定理证明含的等式;

2.洛必达法则求极限;

3.函数取极值的必要条件，充分条件，求函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间与拐点;

4.利用函数的单调性证明不等式;

5.计算显函数在一点的曲率。

第四章

1.原函数及不定积分的的定义，微分运算与积分运算的关系;

2.利用直接积分法，第一类换元积分法，第二类换元积分法(根式代换)，分部积分法求不定积分。

第五章

1.积分上限函数的导数;

2.利用第一类换元积分法，第二类换元积分法(根式代换)，分部积分法求定积分;

3.利用定积分的对称性求定积分;

4.判断无穷限的反常积分的收敛性。

第六章

1.在直角坐标系下计算平面图形的面积，旋转体的体积。

第七章

1.计算可分离变量的微分方程满足一定初始条件的特解。

第三篇：期末高数复习(2)

期末高数复习重点：

一. 求极限

1. 等价无穷小的代换;

2. 洛必达法则;

3. 两个重要极限;lim(1-1/x)^x=1/e

二.求导，求微分

1.复合函数;

2.隐函数;

3.参数函数;

4.求切线，法线方程;

5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x

三.函数连续性质

1.连续的定义;左(右)连续

2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型

3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理

四.求函数的单调性，凹凸区间和拐点

五.中值定理(闭区间开区间连续可导)

课本重点复习章节：

第一章 函数与极限

第五节 极限运算法则

无穷小因子分出法 P47例5-例7; 消去零因子法P46例3;通分化简

第六节 极限存在法则;两个重要极限

P58：例7可用洛必达法则求; 求幂指函数的极限：如例8

第七节 无穷小的比较

几个重要等价无穷小的代换

第八节 函数的连续性

证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点

第九节 闭区间上连续函数的性质

中值定理和介值定理

第二章 导数与微分

第三节 复合函数的求导法则

第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数

对数求导法 P116 例5，例6; 参数求导

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

第二节 洛必达法则

各种未定式类型求极限

第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

单调性和驻点;凹凸性和拐点;不可导点

第四篇：2017-2018-1高数(上)期末总复习

2017-2018-1 高等数学(上)期末复习知识点

一、函数、极限与连续

1. 会求初等函数及复合函数的定义域、函数值; 练习：P10，习题1.1(A)：1(1,3,4);4， P42，复习题1：4;5

2. 会分解复合函数

练习：P10，习题1.1(A)：6

3. 会用极限的四则远算法则求极限

练习：P22，习题1.3(A)：2(7,8); P42，复习题1：11

4. 会用极限存在法则(即左右极限)求极限

练习：P22，习题1.3(A)：1;2(1,2,3)

5. 会利用第二个重要极限求极限; 练习：P27，习题1.4(A)：2(1,3,5)，4; P42，复习题1：7;12(2,4,5，8)

6. 会利用等价无穷小代换及无穷小的性质求极限; 练习：P32，习题1.5(A)：1(2,6,7);

P42，复习题1：12(7)

7. 会比较无穷小的阶; 练习：P32，习题1.5(A)：2，3;

P42，复习题1：6

8. 会判断函数在一点的连续性，求函数的连续区间; 练习：P40，习题1.6(A)：1，3，4;

P42，复习题1：2, 8, 13

9. 会确定函数的间断点并判断类型; 练习：P40，习题1.6(A)：2(4,6)，3，4;

P42，复习题1：9，14(1,3)

10. 会利用零点定理证明方程的根

练习：P40，习题1.6(A)：5，6

二、导数与微分

1. 利用导数的定义求相关的极限

练习：P49，习题2.1(A)：1;

P69，复习题2：1(1)，2(2)

2. 利用导数的定义求分段点处的导数或判断分段点处的可导性

练习：P49，习题2.1(A)：7;

P69，复习题2：1(2，6)，3，4

3. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及法线方程

练习：P49，习题2.1(A)：5，6;

4. 利用导数的四则运算法则及复合函数求导法则求导

练习：P56，习题2.2(A)：1(1,3,5,7)，2，3(1,3,5,7,8)，6;

P69，复习题2：1(3，4)，5(1,3,6)

5. 求隐函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：1(1,2,4); P69，复习题2：9

6. 求参数式函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：3, 4; P69，复习题2：10, 11

7. 了解对数求导法求导

复习题2：5(2, 4)

8. 会求函数的微分

练习：P68，习题2.4(A)：2(1, 3, 5); P69，复习题2：1(5)，2(4)

三、微分中值定理与导数的应用

1. 了解罗尔定理和拉格朗日定理条件的判断并会求相应的

练习：P77，习题3.1(A)：4; P110，复习题3：1(1).

2. 利用洛必达法则求函数的极限

练习：P81，习题3.2(A)：1(2,4,6,8,10,12). 3. 利用函数的一阶导数求函数的单调区间、极值和最值

练习：P94，习题3.4(A)：1(2, 4)，2(2, 4); P101，习题3.5(A)：1(1, 2)

P110，复习题3：1(3, 5),2(1, 2).

4. 利用函数的二阶导数求函数曲线的凹凸区间、拐点

练习：P94，习题3.4(A)：3，4; P110，复习题3：1(4, 6).

5. 利用函数的单调性证明函数的不等式

练习：P94，习题3.4(A)：5，2(2, 4);

四、不定积分

1. 利用导数与不定积分的互逆关系解题

练习：P119，习题4.1(A)：1; P141，复习题4：1(1,3,7,8).

2. 利用积分运算法则求积分

2 练习：P119，习题4.1(A)：2(2, 6, 9, 14, 16). 3. 利用第一换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(1，4，8，12，); P141，复习题4：3(1, 2)

4. 利用第二换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(33，34); P141，复习题4：3(4, 5)

5. 利用分部积分法求积分

练习：P129，习题4.3(A)：1(2，4，6，8); P141，复习题4：3(8, 16)

五、定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义求解定积分

练习：P150，习题5.1(A)：1(1, 4, 5); .

2. 求定积分

练习：P155，习题5.2(A)：3(3, 8, 9, 10).

P160，习题5.3(A)：1(3, 4, 5, 8);2(1, 3, 5, 7) 3. 求积分上限函数的导数

练习：P155，习题5.2(A)：1(2，4);2(1，3)

4. 利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质求定积分

练习：P160，习题5.3(A)：3(2，4, 6);

5. 求反常积分的值或判断反常积分的敛散性

练习：P165，习题5.4(A)：1(1，3，5); P166，复习题5：2(4, 5)

第五篇：2018考研数一高数常考4大重要知识点总结（推荐）

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

2018考研数一高数常考4大重要知识点

总结

常数项级数的敛散性的判别、幂级数的收敛域及和函数、幂级数的展开式及傅里叶的展开式是考研数学一中常考的知识点，需要考生复习时多重视，下面凯程考研就具体和大家来谈谈，且针对这几个难点给大家的复习提点建议。

一、常数项级数的敛散性的判别

十年中2009和2014年考过两次常数项级数的敛散性的判别， 2014年的这个题很多考生基本上得了零分，常数项级数的敛散性的判别是一个难点：这个题考了三角函数的和差化积和比较审敛法。其实若从历年考研数学一的考题中，我们可以归纳总结出对常数项级数的考查，考研考查的方法重点是比较审敛法，而作为基准级数的是P-级数。

二、幂级数的收敛域及和函数

考生可以看到，对级数这一章，数一的同学要将幂级数的和函数作为重点知识来复习，十年中幂级数的和函数的考题最多。幂级数的和函数又分为先导后积、先积后导。两种方法大家都要掌握。

三、幂级数的展开式

考生可以将高数上册的泰勒展开式做一个拓展就是高数下册的幂级数的展开式，考研考查的主要是几何级数展开式。

四、傅里叶的展开式

2008年数学一考了一个傅里叶的展开式，傅里叶的展开式一般对数一的同学来说以小题的形式考的，但2008年出了黑马，这个题提醒考生在数学的学习过程中要复习全面，不可以有所偏颇，但在复习过程中要把握复习深度，对傅里叶级数的掌握只需掌握基础知识即可。

针对高数中的这一难点，2018年的考生在未来的学习过程中应该制定详细的复习规划：

1)、基础过关 Now-6 月，高数：同济六版;线代：同济五版;概率：浙大四版。系统复习，夯实基础：熟练掌握基本概念、基本理论和基本方法

2)、专题训练 7月---9月，针对常考的题型进行大量的练习，归纳题型，总结方法，突破重难点题型、方法和技巧

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3)、综合突破 10月---11月，对综合题进行窜讲，形成对考研的整体认识，将知识体系结构搭建起来。

4)、全真模拟 11月---12月，转化为得分，现场模拟考研是什么样子，查漏补缺，实战演练

5)、考前攻坚 12月(考前两周)，回归基础、攻克难点

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