高数下册期末考试题

第一篇：高数下册期末考试题

大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备

河北科技大学2003级

高等数学(下)期末考试试题1

一、填空题(共15分)

1. (5分) 微分方程y3y2y0的通解为2. (5分) 设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.

D

3. (5分) 设zf(exy),其中f可微,则dz

二、选择题(共15分)

1. (5分) 若anxn在x2处收敛，则此级数在x1处().

n1

(A)条件收敛;(B)绝对收敛;

(C)发散;(D)收敛性不确定.



2. (5分) limun0是级数un收敛的(). nn1

(A)充分条件;(B)必要条件;

(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.

3. (5分) 已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元

函数的全微分,则a = ().

(A)0;(B)2;(C)1 ;(D) 2;

三、解答题(共56分)

1.(7分)已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于 平面x2yz4,求P点的坐标.

2.(7分)设zf(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求xy2zxy2.

3.(7分)计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为 xx

由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周yaxx2(a0).

4.(7分)将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数. 5.(7分)判别级数(1)n

n1

lnnn

n

的敛散性.



6.(7分)求幂级数

n1

(x3)n3

n

的收敛域.

7.(7分)计算曲面积分

I



(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy

333

其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.

8.(7分)试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.

四、应用题(8分)

在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.

五、证明题(6分)

证明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，

其中函数g可导.评分标准(A卷)

一、(每小题4分)

1.yC1e

x

C2e

2x

;2.

323

;3.f(exy)exy(ydxxdy).

二、(每小题4分)1.(B);

二、解答题

2.(B);3.(D).

2

1.(7分) 解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分



已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分

1

令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分

于是

111

P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分

3927

解

2.(7分)

zxy

zx

23

3xfxyf1xyf2, ┄┄┄┄3分

34

yf22┄┄┄┄7分 4xf12xf2xyf11

3.(7分) 解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分

C(esinyy)dx(ecos1)dydxdy

D

xx

a212

()a.┄┄┄4分 228

而

OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分 1

a0a.┄┄┄┄7分

88

11x

xx

I

4.(7分) 解 f(x)

(1)x

n0



n2n

(x1),┄┄┄┄3分

f(x)(1)

n0



n

12n1

x

2n1

┄┄┄┄6分

x[1,1].┄┄┄┄7分

n

(1)

5.(7分) 解lim

n

lnnn

limlnn,

n

1n

(或当n3时,



(1)lnn

n



n



lnnn



1n

)┄┄┄┄2分

而

n1

1n

发散, 

n1

(1)

n

lnnn

发散.┄┄┄┄4分

令un

lnnn

,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分

n

由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分 6.(7分) 解lim

an1an

n

lim

n3

nn1

n

(n1)3



,R3, ┄┄┄┄3分

3又当x33,即x0时,级数

n1

(1)n

n

收敛; ┄┄┄┄5分

当x33,即x6时,级数

n1

1n

发散┄┄┄┄6分

故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分 7. (7分)解利用高斯公式及球坐标有

I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分



30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分

2a2

2

12a

5.┄┄┄┄7分

8. (7分) 解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分 特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分

f(x)x

12



12

cos2x,┄┄┄┄3分

12

0 是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分

*

的一个特解形式为

又02i不是特征根, 2y5y

*

12

cos2x的一个特解形式为

y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故 原方程的一个特解形式为

yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分

四、 解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x)，┄┄┄┄1分 点(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx),┄┄┄┄2分 令Y0,得切线在x轴的截距Xx

***

yy

,┄┄┄┄3分 y

梯形的面积为S

12

(xX)y

12

(2x

y

)ya,

即2(xya)yy,┄┄┄┄4分

化为一阶线性方程

dxdy



2y

x

2ay

,┄┄┄┄5分 2a

代入公式或用常数变易法求得通解：x

3y

Cy.┄┄┄┄7分

将初始条件y

xa

a代入通解得C

2a

13a

,

故所求曲线方程为x

3y



y3a

.┄┄┄┄8分



五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分 

取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分

故原结论成立. ┄┄┄┄6分

第二篇：大学高数下册试题及答案

《高等数学》(下册)测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设有直线

及平面，则直线(

A

)

A.平行于平面;

B.在平面上;

C.垂直于平面;

D.与平面斜交.

2.二元函数在点处(

C

)

A.连续、偏导数存在;

B.连续、偏导数不存在;

C.不连续、偏导数存在;

D.不连续、偏导数不存在.

3.设为连续函数，，则=(

B

)

A.;

B.;

C.

D..

4.设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分

=(

D

)

A.7;

B.;

C.;

D..

5.微分方程的一个特解应具有形式(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为;

2.设，则=;

3.设为正向一周，则

0

;

4.设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数

;

5.设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有

1

.

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

解出

从而

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.

解：

，

从而

五、（本题8分）计算累次积分

).

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

从而

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便，

七.(本题8分)计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

解：由对称性

从而

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．

解：

由已知

即

十一、（本题4分）求方程的通解.

解：解：对应齐次方程特征方程为

非齐次项，与标准式

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

代入方程得

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由

推出，的坐标为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.判别级数是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2.求幂级数的收敛区间及和函数.

解：

从而收敛区间为，

3.将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》(下册)测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设，且可导，则为(

D

)

A.;;

B.;

C.;

D..

2.从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

程是(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

3.微分方程的通解是(

D

)

A.;

B.;

C.;

D..

4.设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

5.累次积分=(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

二.填空题(每小题5分，本大题共15分)

1.曲面在点处的切平面方程是;.

2.微分方程的待定特解形式是;

3.设是球面的外测，则曲面积分

=.

三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由

由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

解：

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标，

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

取折线

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

解：由于，故

为上半球面，则

原式

十、求微分方程

的解.(本题8分)

解：

由，得

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线，

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

因此

为非齐次方程的另一个特解，

故，，通解为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数.

解：

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为

看，

则

从而

2.求函数在处的幂级数展开式.

解：

3.将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围.

解：作周期延拓，

从而

《高等数学》(下册)测试题三

一、填空题

1.若函数在点处取得极值，则常数.

2.设，则.

3.设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

3

.

4.设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为.

5.微分方程用待定系数法确定的特解(系数值不求)的形式为.

二、选择题

1.函数在点处(

D

).

(A)无定义;

(B)无极限;

(C)有极限但不连续;

(D)连续.

2.设，则(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

3.两个圆柱体，公共部分的体积为(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

4.若，，则数列有界是级数收敛的(

A

).

(A)充分必要条件;

(B)充分条件，但非必要条件;

(C)必要条件，但非充分条件;

(D)既非充分条件，又非必要条件.

5.函数(为任意常数)是微分方程的(

C

).

(A)通解;

(B)特解;

(C)是解，但既非通解也非特解;

(D)不是解.

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

解：

切平面为

法线为

四、求通过直线

的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线.

解：设过直线的平面束为

即

第一个平面平行于直线，

即有

从而第一个平面为

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即

从而第二个平面为

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

特征方程为

方程通解为，由定解的初值条件

，由定解的初值条件

从而，特解为

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

试求出函数.

解：因为

特征方程为

七、计算曲面积分

，

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦.

解：两表面的交线为

原式，投影域为，

用柱坐标

原式

另解：用球坐标

原式

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

解：

九、判断级数的敛散性．

解：

当，级数收敛;当，级数发散;

当时级数收敛;当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

则

原式

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

取

时，

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。

第三篇：西安工业大学高数期末考试题及答案试题

高等数学(Ⅱ)期末参考答案

一、填空题(每小题3分，共36分)

11

1.limlim11xxxyxyyy

xxy

y

1lim1xxyy

xy

x

y

lim

1y

e0.

1yycoscosFyyzxz . esin0xz2xz2.函数zz(x,y)由方程确定，则

xyFzxexe

3.设函数uln

x2y2z2，则它在点M0(1,1,1)处的方向导数的最大值为

. 3

4.设函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a5.

5.空间曲线

12

)处的切线方程为 y22x,z21x在点(,1,

22

x

12

z

y1 .

111



2

6.改变积分次序：I



20

dx

2xx20

f(x,y)dy

dy

11y2

11y2

f(x,y)dx .

7.设平面曲线L为下半圆周yx2，则8.设为曲面z



L

(x2y2)ds1ds

L

12

1 . 2

x2y2在0z1的部分，则xdS 0 .



ex,x0

,则其以2为周期的傅里叶级数在x处收敛于 9.设f(x)

0x1,1

(1e) . 2

10.设y1,y2,y3是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1y2)C2(y2y3)y1 .

y1y2

常

y2y3



11

11.函数f(x)展开为x的幂级数的形式为n1xn

2xn02

x(2,2) .

12.微分方程y

yxex的通解为Cxxex . x

二、计算下列各题(每小题6分，共18分)

1.设zf(,e)，y(x)，其中f,均为一阶可微函数，求解：

yx

xy

dz. dx

dzyxyxy

f1fe(yxy) 22

dxx

x(x)(x)xy

fe((x)x(x))f122

x

122

2.求曲面z4(xy)与平面z2所围立体的体积.解：所围立体在xoy面的投影域D:x2y24，所围立体的体积V

1212

[4(xy)]2dxdy2dxdy(x2y2)dxdy 22DDD

2122

22drrdr844

020

3.在曲面x22y23z266上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面

xyz1平行.

解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令

F(x,y,z)x22y23z266，

则切平面的法向量

n(Fx,Fy,Fz)M(2x,4y,6z), 已知平面xyz1的法向量

n1(1,1,1) 依题意n//n1，即







2x4y6z令t111

代入曲面方程中解的x6,y3,z2，即切点坐标为M(6,3,2).

三、计算下列各题(每小题6分，共18分) 1.设是由锥面z

x2y2与半球面zx2y2围成的空间区域，是的整个

边界的外侧，求曲面积分

xdydzydzdxzdxdy.



解：已知P(x,y,z)x，Q(x,y,z)y，R(x,y,z)z，由高斯公式有

xdydzydzdxzdxdy(





PQR)dv xyz

3dv3d4dr2sindr



2



32(1

2.写出级数

21

)(22) 23

1357

234的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 2222

2n1

解：该数项级数的通项为un;级数为正项级数，由于 n

lim

un112n11

lim，

nun22n12n

由比值审敛法知该级数收敛.令

s(x)(2n1)x2xnx

n

n1

n1



n1

xn2xs1(x)s2(x)x(1,1)，

n1



则



于是

x

s1(t)dtnt

n

1

x

n1

dtxn

n1



x

， 1x

dx1s1(x)， s(t)dt

01(1x)2dx

又

s2(x)xn

n1



x

， 1x

所以

2xxxx2

s(x)2

1x(1x)(1x)2

于是

x(1,1)，



11xx2

s()(2n1)n3. 222n1(1x)x1

3.求微分方程y3y2y2ex的通解.

解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r3r20的特征根为

r11,r22，f(x)2ex的1为特征方程的单根，则原方程的特解为y*Axex，

代入原方程中得A2,齐次线性微分方程的通解为YC1exC2e2x,所以原方程的通解为

yYy*C1exC2e2x2xex.

四、计算下列各题(每小题6分，共18分) 1.求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值.

fx(x,y)0x2

,得驻点解：由于fx(x,y)42x，fy(x,y)42y，令,

f(x,y)0y2y

又 Afxx(x,y)2，及(BAC)(2,2)4， Bfxy(x,y)0，Cfyy(x,y)2，则点(2,2)位极大值点，极大值为

f(2,2)4[2(2)]22(2)28.

(x1)n

2.求幂级数的收敛半径及收敛域. n

n2n1





(x1)n1n

解：令 tx1，则 t，由于 nn

n2n2n1n1



an1n2n1

， limlim

nan(n1)2n12n



1(1)n

则收敛半径R2.又当t2时，级数收敛，当t2时，级数发散，所以

nn1nn1



t[2,2)，即级数的收敛域为[1,3).

x2z

3.设zsin(xy)(x,)，其中(u,v)具有二阶偏导数，求.

yxy

解：

zx1x

(x,)2(x,)， ycos(xy)1

xyyy

2zxx1x1xx

(x,)(2)22(x,)22(x,)(2)cos(xy)xysin(xy)12

xyyyyyyyy

y2

1}上的最

五、(本题5分)求函数f(x,y)xy2在椭圆域D{(x,y)|x

4大值和最小值.

解：由于fx(x,y)2x，fy(x,y)2y，令在D的边界上，设

fx(x,y)0

,在D内求得驻点(0,0).

fy(x,y)0

y2

F(x,y,)xy2(x1)，

得



Fx(x,y,)2x2x0(1)1

Fy(x,y,)2yy0(2)

22

F(x,y,)x2y10(3)4

当x0，由(1)得1，代入(2)得y0，在代入(3)得

x1

;同理当y0

y0

x0得;由于

y2

f(0,0)2，f(1,0)3，f(0,2)2，

所以最大值为3，最小值为2.

六、(本题5分)设在上半平面D{(x,y)|y0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且

2

对任意的t0都有f(tx,ty)tf(x,y)，证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L，都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.

L

解：由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，

yf(x,y)dxxf(x,y)dy

[f(x,y)xf(x,y)f(x,y)yf

L

x

D1D1

y(x,y)]dxdy

.

[2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y)]dxdy(*)

由于函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y)，即

t2f(x,y)f(tx,ty)

上式两端对t求导有

2tf(x,y)xf1(tx,ty)yf2(tx,ty) 特取t1得

2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y) 由(*)式既有



L

yf(x,y)dxxf(x,y)dy0

第四篇：高数期末复习

定积分

1、 变上限定积分求导数

dxf(t)dtdxa，

2、 定积分的计算牛顿—莱布尼兹公式(用到不定积分主要公式tdt、1dt、edt、tt， sintdt、costdt，凑微分法)

3、 对称区间奇偶函数的定积分，

4、 定积分的几何意义，

5、 a0，a1dxx收敛、发散的充要条件，

6、 定积分应用：求平面曲线所围成图形的面积，已知边际收益，求平均收益。

多元函数

1、 求已知多元函数的偏导数及全微分，

2、 半抽象函数的一阶偏导数，

3、 求一个已知二元函数的极值，

4、 直角坐标系下f(x,y)dxdy的计算及交换

D二次积分的顺序。

微分方程

1、 一阶微分方程，

2、 可分离变量微分方程求解，

3、 一阶线性非齐次微分方程的求解(公式法、常数变易法)。

无穷级数

记住e、sinx、cosx展开式，并理解展开式中的x可以换元。

线性代数部分

1、 计算行列式，

2、 矩阵乘法，

3、 利用行变换求矩阵的秩，

4、 方阵可逆的充要条件，矩阵可逆时求逆矩阵，

5、 非齐次线性方程组AXB无解、有解、有唯一解、有无穷多解的充要条件，一个具体的线性方程组的求解，

6、 求一般二阶方阵和特殊三阶方阵(对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵)的特征值及特征向量。 xmnn1m1

第五篇：期末高数复习(2)

期末高数复习重点：

一. 求极限

1. 等价无穷小的代换;

2. 洛必达法则;

3. 两个重要极限;lim(1-1/x)^x=1/e

二.求导，求微分

1.复合函数;

2.隐函数;

3.参数函数;

4.求切线，法线方程;

5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x

三.函数连续性质

1.连续的定义;左(右)连续

2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型

3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理

四.求函数的单调性，凹凸区间和拐点

五.中值定理(闭区间开区间连续可导)

课本重点复习章节：

第一章 函数与极限

第五节 极限运算法则

无穷小因子分出法 P47例5-例7; 消去零因子法P46例3;通分化简

第六节 极限存在法则;两个重要极限

P58：例7可用洛必达法则求; 求幂指函数的极限：如例8

第七节 无穷小的比较

几个重要等价无穷小的代换

第八节 函数的连续性

证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点

第九节 闭区间上连续函数的性质

中值定理和介值定理

第二章 导数与微分

第三节 复合函数的求导法则

第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数

对数求导法 P116 例5，例6; 参数求导

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

第二节 洛必达法则

各种未定式类型求极限

第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

单调性和驻点;凹凸性和拐点;不可导点