高数复习题一范文

第一篇：高数复习题一范文

高数第一学期期末考试复习提纲

第一学期《工科数学》期末考试复习提纲

一、 基本概念要求

(1) 理解并熟练掌握函数的四种特性，即单调性、奇偶性、有界性和周期性;

(2) 熟悉分段定义函数;

(3) 理解极限的εN,εδ,εX定义，理解极限的唯一性、有界性、保号性;

(4) 理解无穷小的概念、等价无穷小的性质;

(5) 理解极限存在的两个准则并会应用这两个准则证明极限的存在性;

(6) 理解并熟练掌握函数的连续性定义、间断点的分类;

(7) 熟悉闭区间上连续函数的性质

(8) 理解导数、左右导数的定义;

(9) 理解函数微分的定义及其近似公式;

(10) 理解微分中值定理并熟悉三个定理的条件、结论;

(11) 熟练掌握函数的单调性与极值、凹凸性与拐点的判定定理和方法;

(12) 理解并掌握原函数与不定积分的概念和性质;

(13) 理解定积分的定义、定积分存在的必要条件和充分条件;

(14) 理解并掌握定积分的性质特别是估值定理和积分中值定理;

(15) 理解并掌握变限积分的定义和性质，理解并掌握牛顿—莱布尼兹公式;

(16) 理解并掌握定积分应用的元素法;

(17) 理解两类广义积分的定义及其敛散性。

二、 基本运算和论证能力要求

价无穷小代换、洛比达法则等; (1) 熟练掌握求极限的基本方法，如四则运算法则、极限存在法则、两个重要极限、等

(2) 熟练掌握求导的基本方法，如复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数的

求导、对数求导法、高阶导数等;

(3) 熟练掌握分段定义函数在分段点可导性的讨论方法;

(4) 能够运用微分中值定理和函数的单调性证明某些不等式，运用微分中值定理证明某

些方程的根的存在性和唯一性;

(5) 能够运用导数的知识对函数的性态进行分析，熟练掌握函数图形的描绘;

(6) 熟练掌握函数的极值、最大值、最小值问题的求解方法;

(7) 熟练掌握不定积分的基本求解方法，特别是第

一、二类换元积分法、分部积分法等;

(8) 熟练掌握定积分的基本求解方法，熟练掌握变限积分有关问题的求解方法;

(9) 熟练掌握定积分的几何应用，特别是在直角坐标系下的面积、体积的计算。

(10) 理解并掌握广义积分的定义、审敛和计算方法。

第二篇：高数期末复习题

重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数(注意复合函数链式法)、全微分;会判断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件;会求多元函数的极值(特别是条件极值)、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线(向量)以及方向导数及方向余弦。

一、单项选择题

1.设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)()。

A.limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)B.lim x0x0xx

f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)C.limD.lim xx0xx0xx0xx0yy0

2.函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的()条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的

3.设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().

A.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点

C. f(x,y)在(x0,y0)有定义D. (x0,y0)为连续点

4.设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().

A.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5. 若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续，则()。

A.limf(x, y)必不存在;B.f(x,y)必不存在; xxyy

C.f(x, y)在点(x,y)必不可微;D.fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的()

A.必要非充分条件;B.充分非必要条件;

C.充分且必要条件;D.既非充分又非必要条件。

7.考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质：

①函数f(x, y)在点(x,y)处连续; ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续;③函数f(x, y)在点(x,y)处可微; ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是()。

A.②③①B.③②①C.③④①D.③①④。 8.下列极限存在的为().

x2x11A.limB.limC.limD.limxsin

x0xyx0xyx0xyx0xyy0

y0

y0

y0

x2y

9.二元函数极限lim为()。

(x,y)(0,0)x4y

2A.0B.;C.2D.不存在 10.设f(x,y)xyex，则fx (1,x)()。

A.0B.eC.e(x1)D. 1+ex 11.函数zLn(x3y3)在(1，1)处的全微分dz=()。

A.dxdyB. 2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)

2z

12.设zesin3y，则。()

xy

2x

A.e2xsin3yB.e2xe2xsin3yC.6e2xcos3yD.6e2xsin3y 13.设yxey0,则

dy

()。dx

eyey1xeyxey1A.B.C.D.xey11xeyeyey

14.设函数zfx,y在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx0,03，fy0,01，则有().

A.dz0,03dxdy.

B.曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1.

C.曲线

zfx,y

在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3.

y0

zfx,yD.曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1.

y0

15.设函数 f(x,y)x8y6xy5，则f(x,y) (D)。A.在(0,0)点有极小值B.没有极值

C.在(0,0)点有极大值D.在(1，16.函数fx,y4xyx2y2的极值为()。

)点有极小值2

A.极大值为8B.极小值为0C.极小值为8D.极大值为0 17. 函数z2xy在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为()。A.3B.C. 0D.

5二、填空题

1.函数zln(1x)

yx2xy1的定义域是______________________。

2.极限lim

sinxy

 __ _______。

x2yy0

lim

3.二元函数的极限

(x,y)(0,0)

x2y2cos

 。 2

2xy

4.设ze

x2y

，则dz。

5.设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定，则

z

= ______________ 。x

6.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。 

x0

7.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线

zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。 

x0

8. 若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9.旋转抛物面zxy1在点(2，1，4)处的切平面方程为 10.曲面ze

x2y

2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。

11.曲面 zxy3上点(1,2，2)处的单位切向量为_________________ 12.求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。

13.函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数



u

=。 l

14.uxyz在点M(5,1,2)处沿点(5，1，2)到点(9，4，14)的方向的方向导数为。

三、解答题 1.

计算极限：

。

(x,y)(0,0)lim

(x,y)(0,0)lim

(1,1)

.计算极限：

3.设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定，求dz4.设zeusinv，而uxy，vxy求

。

zz和.xy

zz2zx

5.设函数zz(x,y)由方程ln所确定，求 。 ,

zxxyy

y22z

6.设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。

xxy

7.设函数u(xy)z，求du

(1,2,1)

。

8.设x,y均是z的函数,且

xyz0dxdy

,。 ，求22

2dzdzxyz1

8.已知两点A(2，2，2)和B(1，3，0)，求向量的模、方向余弦和方向角. 9.求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10.求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。 11.求函数fx,yx3y33x23y29x的极值.

12.将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大. 13.求函数zxy1在y1x下的极值。

14.求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。 15.求表面积为a而体积最大的长方体。

17.求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭

2

222

矩形区域D上的最大值和最小值。

19.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式： 。 R(x,y)1514x32y8xy2x210y2，求最优广告策略(利润=收入-成本)

四、证明题

x2y2

1. 证明极限lim不存在。

(x,y)(0,0)x2y2(xy)2

2.证明极限lim(1

xy

1)x

x2xy

不存在。

xy

,x2y2022

3. 设函数f(x,y)xy，证明：函数在(0，0)点不连续。

0,x2y20

4.设zx

y)，求证x

zz1y。 xy2

5.设zxyyF(u)， 而u

xzz，F(u)为可导函数，证明xyzxy yxy

zz

b1。 xy

6.设f为可微函数，且xazf(ybz)，证明：a

2u2u2u

7.函数u(xyz),证明：2220。

xyz

2

8.证明：曲面xyzc3(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.

第三篇：高数(上)(复习提纲)

《高等数学I》复习提纲

一、基本概念、公式、法则：

“极限，连续，导数，微分，积分”的定义、性质--------基础

1、导数(微分)部分：无穷小之间的比较(高阶、同阶、等价、k阶)，常见的等价无穷小(x→0),两个重要极限，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的介值定理，基本初等函数的求导公式，复合函数求导的链式法则，求极限的洛必达法则，微分中值定理(Rolle、Lagrange、Cauchy)，泰勒公式(特别地，麦克劳林公式)，函数的单调性与凹凸性，极值存在的必要条件与充分条件，曲线的水平(竖直)渐近线，平面曲线(直角坐标系、极坐标系、参数方程)的曲率公式、弧微分公式;求极限夹逼准则，可导与连续的关系，可导与可微的关系。

2、积分部分：微积分基本定理(积分上限函数的导数、牛顿-莱布尼茨公式)，积分基本性质，基本积分表，换元积分法和分部积分法，弧长公式，一阶线性非齐次微分方程的常数变易法，二阶常系数线性非齐次微分方程特解形式。

二、重要知识点：

1、求函数(可能含有变上、下限的积分)的极限;

2、判断函数在某点的连续性、可导性(注意分段函数);

3、利用介值定理证明函数存在(唯一)零点或者方程有(唯一)根;

4、求函数的一阶、二阶导数以及两个特殊函数积的高阶导数;

5、隐函数以及由参数方程所确定的函数的导数(一阶、二阶);

6、求函数的微分;

7、函数在某点的泰勒展式(一般由已知函数的泰勒展式间接求出);(熟记常见几个函数的麦克劳林公式：ex,ln(1x),(1x),sinx,cosx)

8、利用导数判定函数的单调性，求极值与最值、拐点，证明恒等式或不等式;

9、利用微分中值定理证明恒等式、不等式或者一阶导数有零点;

10、求不定积分与定积分;

11、判定反常积分的敛散性;

12、应用定积分求平面图形的面积、立体的体积，简单的物理应用;(熟悉常见的几种曲线图形：圆、心形线、星形线、摆线)

13、求解一阶微分方程(可分离变量的、齐次的、线性齐次的、线性非齐次的);

14、求解可降阶的二阶微分方程(形如yfx,y,yfy,y);

15、求解二阶常系数线性齐次(非齐次)微分方程的通解与特解。 各知识点的复习请参考练习册上的题型，认真作练习册上每一道题!!

第四篇：高数复习范围

1.高等数学(微积分)。这部分我用的同济大学的高等数学，一共两册，是很不错的教材。一章 函数与极限。

这一章前面要熟悉几个常见初等函数的图形。反双曲正弦等我没看，个人觉得看不看无所谓。用定义证明极限大纲是不要求的，但是这部分例题应该看看，对理解极限的定义有好处，而极限的定义是选择题爱考的知识点。一致连续性这节大纲不要求。

二章 导数与微分

这章相对简单。由参数方程所确定的函数导数，相关变化率不考，微分近似计算不考。三章 中值定理与导数应用

这一章比较难，但也是考试重点，主要是证明题。几个中值定理理解起来并不困难，但是运用起来会有困难，所以得多做题目练练，这几个定理要学会证明。泰勒公式可能开始看起来比较抓狂，其实这个证明考试应该不会考，太复杂。但是这个公式十分重要，要学会应用，而且应用起来并不困难，所以一定要掌握。后面的曲率，方程近似解都不考。(另外书中凡是有关工程应用的例题和习题都不用看)

四章 不定积分

这部分书上给的习题并不难，要好好做，全书上的一些题目到很让人抓狂。有理函数的积分好像大纲已经不要求了，10年全书上还留着，可以看看，对计算一些积分有好处。积分表大纲是不要求的。

五章 定积分

这章很重要，变限积分经常考。要搞清楚变限积分，不定积分，定积分的区别。什么样的条件下有原函数，什么条件下可积，可积和原函数存在是没有关系的。可能刚开始看的时候会有些混，仔细看书不要慌，后面的复习也会复习到的。第五节 反常积分的审敛法 Γ函数大纲是不要求的。但是我要说说Γ函数，当时我没有认真看真有点悔，这个函数在概率统计里很有用。

六章 定积分的应用

数三考的内容只有：平面图形面积计算 旋转体体积计算 平行截面面积为已知立体体积计算(这部分经济数学教材给的例子比较好)

七章 向量代数与空间解析几何 (数三不要求)

八章 多元函数微分学

这一章我开始时看的十分抓狂，特别是复合和隐函数的情形。但是弄懂后这章出的题目并不难，所以要多做几个题目找点感觉，才能知道自己的理解错在哪里。不考的主要内容有：全微分近似计算 多元函数几何应用 方向导数与梯度 二元函数泰勒公式 最小二乘法。

九章 重积分

这部分只考二重积分，重点就是计算二重积分，基本上每年都有一个大题，一定得学会算各种二重积分，会用计算技巧(奇偶性，对称性。计算很重要)

十章 曲线 曲面积分(数学不要求)

十一章 无穷级数

这章近两年都没考大题，可能主要是数三四合并的原因，但这章仍然很重要。开始看可能也有些难度，求和函数要自己动手多做做题。不考的内容有：柯西审敛原理; 正项级数中的根值法09大纲删了，但我想这个是可以用的 ;求和函数中数项级数求和09删了; 函数幂级数展开式应用 ;函数项级数一致收敛性…; 傅立叶级数。

十二章 微分方程与差分方程

工程数学没有差分方程，但是这整章内容都比较简单，个人觉得直接看复习全书就可以了。

2.线性代数。这部分的教材我依旧用的同济大学的工程数学，和经济类的数学差别并不大。只有向量空间和线性空间与线性变换不用考。线性代数内容比较抽象，逻辑性比较强。但是它是三门中学起来最简单的一门课，要注意前后知识点的联系，永乐大帝就是这么教我们的。

3.概率论与数理统计。这部分的书我都没认真看，开始总觉得时间还多就晃晃悠悠的看，后来觉得该快点看完就赶着看了，其实也有学数学学疲了的原因。概率论这部分学刚开始学起来应该比较困难，可能觉得比微积分难，因为这是数学中一种全新的研究方法。但是书一定得好好看，这部分内容看明白它的研究方法和明白它的各种模型后就觉得不是那么难了。经济数学教材中主要有区间估计和假设检验不考，09年删除的;线性回归分析…不考。 阶段二 听了一个数学基础班

当时有个朋友帮我搞到了不少辅导班的视频，当时心中甚喜。可是这个班听完并未给我太大的帮助，数学主要是靠自我思考和动笔做题的。我承认当时有思维上的惰性，听课比想破脑袋搞那些自己不会的题要安逸的多。我想告诉大家的是不要被那些什么导学班，基础班乱七八糟的弄混头脑。他们不可能想高中老师那样手把手的教你，然后给你布置相应的题目，再给你讲解还要搞考试，所以也不会有高中那样的效果。

阶段三 做了基础过关660题

我觉得这是个失误。当时我并没有看复习全书，看到书上的基础过关，想必在全书前做就可以了。其实这个“基础”并不是那个“基础”，大概是题型是填空选择的意思，或者主要是对考研基础知识点的考查吧。总之这个难度是不亚于真题的，所以不建议看完书后直接就做这个。

阶段四 李永乐复习全书

我的全部数学资料都是李永乐的，因为我觉得这个老师十分认真耐心和负责。关于复习全书，我觉得我的做法也值得商榷，我一上来就拿笔做了起来。虽然还是有一部分题目我会做，但这无疑是个耗时而痛苦的过程。我搞了差不多三个月才搞完，而且概率论部分实在是做不下去了就直接看完了。最终不少东西我还是不会的，但时间消耗了不少。所以我认为对于数学基础不好的，看全书时大抵是可以先认真看一遍的(当然也要适当动动笔)，第二遍再把大部分掌握不太好的题目做做。其实全书的难度还是比真题难不少的，题目不会做很正常。但是后面给的习题一定要好好做，很接近真题难度。

阶段五 听了强化班翻了翻复习全书

开始听强化班是想把知识快速过一遍，但看完全书后真是有点脑袋不想想问题了的感觉。后来花了整整三天听了高数的一个强化班，开始感觉还好，后来又不想听课又不想看别的就茫然的撑着把课听完了，没有多大收获，除了做了点笔记。后来我就主要看别的科目，减少的数学的时间。后来在论坛上看到别人发帖子说某某老师的高数讲的不错，正好我有他的视频就试听了一下，结果还真是觉得有帮助，但由于时间有限我只把自己比较差的章节听了听。线代当然是听的李永乐的，这个毋庸置疑，讲的特别不错，概率课还行吧。总之对于辅导班吧，我觉得数学强化班还是有一定的帮助，前提是你复习的还行了但是还觉得有些混。另外对于不同的人选择是不同的，听不听都行，如果你自己可以学的很投入可以想清楚那些问题，那应该比老师讲的效果更好。总之辅导班不是提高数学的充分条件，自己思考同样可以达到目的。

阶段六 做真题

我做真题比较散漫，好多都没按3个小时的时间来做。这很不好，我觉得。我后来没什么时间做模拟题，只做了真题。总之我觉得大家应该早点把真题做了，然后再结合不懂的翻翻全书，这样比较好吧。关于模拟题，我觉得也是应该做的，模拟题一般比真题难，也要制造一种考试的氛围去模拟。对大多数人来说考试时时间真的是挺紧的。

总结一句就是：多思考，多动笔，重计算，重速度。

希望我的这些经验教训能给基础薄弱的同学一些帮助，一些警示。不要怕数学，一定要坚持下去!

第五篇：高数(下)复习要点

高等数学(下)复习要点

(对经管及文科类学生不要求带“*”的内容)

第七章

1、空间曲线在坐标面的投影，P8，例5，P9,9

2、向量的模、方向角、方向余弦、单位化，P19，例7，P20,10.。

3、数量积、向量积。P27,8

4、平面方程、平面夹角，点到平面的距离。P35,3..

5、空间直线及方程。P41,10

*

6、旋转曲面P43，例2.

第八章

*

1、二元函数极限不存在的证明P54，例7.

2、求二元函数的极限P58, 5 (2)，(4)， P56，例9

3、偏导计算。P80，例9，P82,14(2)，P88,2(4)，P89,7,8*(4)

4、全微分。P74,2 。4(2)。

*5熟悉可微，可导，连续和极限存在之间的关系。P74(B)1

6、几何应用。P94例3.

7、方向导数与梯度P100例4.

8、条件极值P111,7.

第九章

1、二重积分计算。P124例3，P133 4(4)，8(2)， P134,13(1)

2、曲面面积。P141,3.

*

3、三重积分。P151,4(2)。

4、曲线积分。P166，1(6)，3(2)。

5、格林公式,，与路径无关的条件。P176,3(4)，5(2)。 *

6、曲面积分。P188,1(1)，5(1)。

*

7、高斯公式。P194 ，1(4)。

第十章

1、收敛级数性质。

2、正项级数敛散性的判别。P211,2(8)，3(6)。

3、交错级数敛散性的判别。P211,5(4)

4、幂级数的收敛半径和收敛域。P221,1(5)，2(3)

*

5、求和函数。P222,3(1)，(3)。

*

6、展开为幂级数。P236，2(6)

*

7、傅里叶级数。P250,4