高数期末考试复习题

第一篇：高数期末考试复习题

高数期末复习题

重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数(注意复合函数链式法)、全微分;会判断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件;会求多元函数的极值(特别是条件极值)、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线(向量)以及方向导数及方向余弦。

一、单项选择题

1.设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)()。

A.limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)B.lim x0x0xx

f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)C.limD.lim xx0xx0xx0xx0yy0

2.函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的()条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的

3.设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().

A.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点

C. f(x,y)在(x0,y0)有定义D. (x0,y0)为连续点

4.设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().

A.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5. 若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续，则()。

A.limf(x, y)必不存在;B.f(x,y)必不存在; xxyy

C.f(x, y)在点(x,y)必不可微;D.fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的()

A.必要非充分条件;B.充分非必要条件;

C.充分且必要条件;D.既非充分又非必要条件。

7.考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质：

①函数f(x, y)在点(x,y)处连续; ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续;③函数f(x, y)在点(x,y)处可微; ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是()。

A.②③①B.③②①C.③④①D.③①④。 8.下列极限存在的为().

x2x11A.limB.limC.limD.limxsin

x0xyx0xyx0xyx0xyy0

y0

y0

y0

x2y

9.二元函数极限lim为()。

(x,y)(0,0)x4y

2A.0B.;C.2D.不存在 10.设f(x,y)xyex，则fx (1,x)()。

A.0B.eC.e(x1)D. 1+ex 11.函数zLn(x3y3)在(1，1)处的全微分dz=()。

A.dxdyB. 2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)

2z

12.设zesin3y，则。()

xy

2x

A.e2xsin3yB.e2xe2xsin3yC.6e2xcos3yD.6e2xsin3y 13.设yxey0,则

dy

()。dx

eyey1xeyxey1A.B.C.D.xey11xeyeyey

14.设函数zfx,y在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx0,03，fy0,01，则有().

A.dz0,03dxdy.

B.曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1.

C.曲线

zfx,y

在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3.

y0

zfx,yD.曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1.

y0

15.设函数 f(x,y)x8y6xy5，则f(x,y) (D)。A.在(0,0)点有极小值B.没有极值

C.在(0,0)点有极大值D.在(1，16.函数fx,y4xyx2y2的极值为()。

)点有极小值2

A.极大值为8B.极小值为0C.极小值为8D.极大值为0 17. 函数z2xy在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为()。A.3B.C. 0D.

5二、填空题

1.函数zln(1x)

yx2xy1的定义域是______________________。

2.极限lim

sinxy

 __ _______。

x2yy0

lim

3.二元函数的极限

(x,y)(0,0)

x2y2cos

 。 2

2xy

4.设ze

x2y

，则dz。

5.设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定，则

z

= ______________ 。x

6.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。 

x0

7.设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线

zf(x,y),

在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。 

x0

8. 若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9.旋转抛物面zxy1在点(2，1，4)处的切平面方程为 10.曲面ze

x2y

2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。

11.曲面 zxy3上点(1,2，2)处的单位切向量为_________________ 12.求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。

13.函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数



u

=。 l

14.uxyz在点M(5,1,2)处沿点(5，1，2)到点(9，4，14)的方向的方向导数为。

三、解答题 1.

计算极限：

。

(x,y)(0,0)lim

(x,y)(0,0)lim

(1,1)

.计算极限：

3.设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定，求dz4.设zeusinv，而uxy，vxy求

。

zz和.xy

zz2zx

5.设函数zz(x,y)由方程ln所确定，求 。 ,

zxxyy

y22z

6.设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。

xxy

7.设函数u(xy)z，求du

(1,2,1)

。

8.设x,y均是z的函数,且

xyz0dxdy

,。 ，求22

2dzdzxyz1

8.已知两点A(2，2，2)和B(1，3，0)，求向量的模、方向余弦和方向角. 9.求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10.求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。 11.求函数fx,yx3y33x23y29x的极值.

12.将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大. 13.求函数zxy1在y1x下的极值。

14.求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。 15.求表面积为a而体积最大的长方体。

17.求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭

2

222

矩形区域D上的最大值和最小值。

19.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式： 。 R(x,y)1514x32y8xy2x210y2，求最优广告策略(利润=收入-成本)

四、证明题

x2y2

1. 证明极限lim不存在。

(x,y)(0,0)x2y2(xy)2

2.证明极限lim(1

xy

1)x

x2xy

不存在。

xy

,x2y2022

3. 设函数f(x,y)xy，证明：函数在(0，0)点不连续。

0,x2y20

4.设zx

y)，求证x

zz1y。 xy2

5.设zxyyF(u)， 而u

xzz，F(u)为可导函数，证明xyzxy yxy

zz

b1。 xy

6.设f为可微函数，且xazf(ybz)，证明：a

2u2u2u

7.函数u(xyz),证明：2220。

xyz

2

8.证明：曲面xyzc3(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.

第二篇：期末高数复习(2)

期末高数复习重点：

一. 求极限

1. 等价无穷小的代换;

2. 洛必达法则;

3. 两个重要极限;lim(1-1/x)^x=1/e

二.求导，求微分

1.复合函数;

2.隐函数;

3.参数函数;

4.求切线，法线方程;

5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x

三.函数连续性质

1.连续的定义;左(右)连续

2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型

3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理

四.求函数的单调性，凹凸区间和拐点

五.中值定理(闭区间开区间连续可导)

课本重点复习章节：

第一章 函数与极限

第五节 极限运算法则

无穷小因子分出法 P47例5-例7; 消去零因子法P46例3;通分化简

第六节 极限存在法则;两个重要极限

P58：例7可用洛必达法则求; 求幂指函数的极限：如例8

第七节 无穷小的比较

几个重要等价无穷小的代换

第八节 函数的连续性

证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点

第九节 闭区间上连续函数的性质

中值定理和介值定理

第二章 导数与微分

第三节 复合函数的求导法则

第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数

对数求导法 P116 例5，例6; 参数求导

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

第二节 洛必达法则

各种未定式类型求极限

第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

单调性和驻点;凹凸性和拐点;不可导点

第三篇：期末考试重点 高数大一

函数比区间连续函数性质

证明:介值

种植定理

极限极限定义(c-N语言)

无穷小代换

导数求导法:基本函数

1对数

2 隐函数

3 复合函数

应用:证明题 (1 罗尔定理

2 拉格朗日中值定理)单调性:

凹凸性:

极限:(洛比达法则)

不定积分一类换元法

二类换元法

分部积分法

定积分变上限积分求导

二类换元法

分部积分法

第四篇：2017-2018-1高数(上)期末总复习

2017-2018-1 高等数学(上)期末复习知识点

一、函数、极限与连续

1. 会求初等函数及复合函数的定义域、函数值; 练习：P10，习题1.1(A)：1(1,3,4);4， P42，复习题1：4;5

2. 会分解复合函数

练习：P10，习题1.1(A)：6

3. 会用极限的四则远算法则求极限

练习：P22，习题1.3(A)：2(7,8); P42，复习题1：11

4. 会用极限存在法则(即左右极限)求极限

练习：P22，习题1.3(A)：1;2(1,2,3)

5. 会利用第二个重要极限求极限; 练习：P27，习题1.4(A)：2(1,3,5)，4; P42，复习题1：7;12(2,4,5，8)

6. 会利用等价无穷小代换及无穷小的性质求极限; 练习：P32，习题1.5(A)：1(2,6,7);

P42，复习题1：12(7)

7. 会比较无穷小的阶; 练习：P32，习题1.5(A)：2，3;

P42，复习题1：6

8. 会判断函数在一点的连续性，求函数的连续区间; 练习：P40，习题1.6(A)：1，3，4;

P42，复习题1：2, 8, 13

9. 会确定函数的间断点并判断类型; 练习：P40，习题1.6(A)：2(4,6)，3，4;

P42，复习题1：9，14(1,3)

10. 会利用零点定理证明方程的根

练习：P40，习题1.6(A)：5，6

二、导数与微分

1. 利用导数的定义求相关的极限

练习：P49，习题2.1(A)：1;

P69，复习题2：1(1)，2(2)

2. 利用导数的定义求分段点处的导数或判断分段点处的可导性

练习：P49，习题2.1(A)：7;

P69，复习题2：1(2，6)，3，4

3. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及法线方程

练习：P49，习题2.1(A)：5，6;

4. 利用导数的四则运算法则及复合函数求导法则求导

练习：P56，习题2.2(A)：1(1,3,5,7)，2，3(1,3,5,7,8)，6;

P69，复习题2：1(3，4)，5(1,3,6)

5. 求隐函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：1(1,2,4); P69，复习题2：9

6. 求参数式函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：3, 4; P69，复习题2：10, 11

7. 了解对数求导法求导

复习题2：5(2, 4)

8. 会求函数的微分

练习：P68，习题2.4(A)：2(1, 3, 5); P69，复习题2：1(5)，2(4)

三、微分中值定理与导数的应用

1. 了解罗尔定理和拉格朗日定理条件的判断并会求相应的

练习：P77，习题3.1(A)：4; P110，复习题3：1(1).

2. 利用洛必达法则求函数的极限

练习：P81，习题3.2(A)：1(2,4,6,8,10,12). 3. 利用函数的一阶导数求函数的单调区间、极值和最值

练习：P94，习题3.4(A)：1(2, 4)，2(2, 4); P101，习题3.5(A)：1(1, 2)

P110，复习题3：1(3, 5),2(1, 2).

4. 利用函数的二阶导数求函数曲线的凹凸区间、拐点

练习：P94，习题3.4(A)：3，4; P110，复习题3：1(4, 6).

5. 利用函数的单调性证明函数的不等式

练习：P94，习题3.4(A)：5，2(2, 4);

四、不定积分

1. 利用导数与不定积分的互逆关系解题

练习：P119，习题4.1(A)：1; P141，复习题4：1(1,3,7,8).

2. 利用积分运算法则求积分

2 练习：P119，习题4.1(A)：2(2, 6, 9, 14, 16). 3. 利用第一换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(1，4，8，12，); P141，复习题4：3(1, 2)

4. 利用第二换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(33，34); P141，复习题4：3(4, 5)

5. 利用分部积分法求积分

练习：P129，习题4.3(A)：1(2，4，6，8); P141，复习题4：3(8, 16)

五、定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义求解定积分

练习：P150，习题5.1(A)：1(1, 4, 5); .

2. 求定积分

练习：P155，习题5.2(A)：3(3, 8, 9, 10).

P160，习题5.3(A)：1(3, 4, 5, 8);2(1, 3, 5, 7) 3. 求积分上限函数的导数

练习：P155，习题5.2(A)：1(2，4);2(1，3)

4. 利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质求定积分

练习：P160，习题5.3(A)：3(2，4, 6);

5. 求反常积分的值或判断反常积分的敛散性

练习：P165，习题5.4(A)：1(1，3，5); P166，复习题5：2(4, 5)

第五篇：高数下期末考试复习大纲

第8章

1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦

2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程

3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程

4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程(例如锥面等)，会求柱面方程

5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。

第9章

1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。

2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。

3.理解二元函数的连续的概念。

4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导(不超过三阶)，会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。

5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系

6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。

7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。

8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点

第10章

1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.

2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.

3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.

4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.

第11章

1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.

2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.

3.理解格林公式的含义.

4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.

6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.

7.了解高斯公式与斯托克斯公式

第12章

1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.

2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.

3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.

4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.

5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.

6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.