换元积分法 高数课件精心整理

换元积分法 高数课件精心整理（共1篇）

篇1：换元积分法 高数课件精心整理

换元积分法换元积分法

二、第二换元积分法11xdx对积分f(x)dx不易计算时,作适当变换x=φ(t),困难有根式于是有2f(x)dxf((t))(t)dt(t)(t)dtt1(x)解决方法消去根式,令t则dx2tdtx,即xt(t0)2tdt1t1112dtdx2dtdt1t1t1x1t化为不定积分f((t))(t)dt计算,积分后再将t=φ-1(x)代入.其中φ-1(x)是x=φ(t)的反函数.t2tdt2t2ln(1t)C2x2ln(1x)C回代4-1-344-1-35 换元积分法换元积分法定理设x=φ(t)是单调可导函数,且φ′(t)≠0,又设f[φ(t)]φ′(t)具有原函数,则有换元公式例求a2x2dx(a0)解令xasintdxacostdtf(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)a2x2dx第二类换元公式（变量替换法）变量替换法a2cos2tdtaa21(tsin2t)C22xxarcsinaat,22a2a2sin2tacostdt辅助三角形21cos2t2dt2a回(tsintcost)C代2a2xx2ax2Carcsin2a24-1-36a2x2aata2x2x4-1-37 换元积分法换元积分法解dx4x291xa22dxln(xx2a2)C相仿地,通过变换xasecx可算出dxdx(2x)2324x29122dxln|xxa|C22xa利用相应的三角变换,还可得到重要公式1d(2x)2(2x)2321ln2x4x29C2x2a2dxxa222xaln|xx2a2|C224-1-394-1-40 换元积分法例求x51x2换元积分法dx.xtant（三角代换很繁琐）2解令t1x,x2t21,xdxtdt,22x4xdx(t1)tdtt1x2x51x2dx1t1dx例求x(x72)11dx2dt解法一令xtt倒代换x12t42t21dtt5t3tC531(84x23x4)1x2C15回代x(xdx72)12t711d(12t)ln|12t7|C7141412t11ln|2x7|ln|x|C回代14271tt1dt2dt12t7t64-1-414-1-42 换元积分法法二xx(x72)dxx7(x72)dxdu1dx7ux71777x(x2)7u(u2)16x(x72)dx1换元积分法法三x(x72)dx12x7x7dx2x(x72)1x(x72)dx111111u2udududu14uu272u(u2)1lnulnu2C14回代11ln|2x7|ln|x|C142还有别的方法吗？4-1-43111x6dx7dx2x2x2111d(x72)ln|x|714x2211ln|x|ln|2x7|C2144-1-44 换元积分法换元积分法1如:倒代换x对如下形式t例求x41dxx21（分母的阶较高）xx2dxa2x2dxx2a2xdx2a2x2xdxx2a2x2a2dxx4解令xa2x2dxx4x411dx2dttt111dx2dt242x1t111tt1t2t3dt2dt221t1t2都适用.ut24-1-454-1-46 换元积分法换元积分法1例求(13x2)dx2解令xt32dx3tdt213t13x2dx(1t)dt例求1dxx(13x)6解令xtdx6t5dt6t56t21x(13x)dxt3(1t2)dt1t2dt13(t1)dt1t13[ttln|1t|]C213[3(x2)23x2ln|13x2|]C24-1-481t21161dt6dt1t21t26[tarctant]C6[6xarctan6x]C4-1-49 换元积分法换元积分法例求11exdx11xadxlnCx2a22axa(16)基(17)本积(18)分表(19)(2)tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxCsecxdxln(secxtanx)C解令t1ex,ext21,xln(t21),dx2tdt.t2112dx2dtlnt1Ct11ext12ln(1ex1)xCcscxdxln(cscxcotx)C11xdxarctanCa2x2aa(20)回代4-1-504-1-51

换元积分法换元积分法11xa(21)2lnC2dx2axaxa11ax(22)2dxlnC2aaxax2(23)(24)(25)x21xdxarcsinC22aax122dxln(xxa)C22xax2a2dx222下列各题求积方法有何不同?xdxd(4x)dx1d(2)(2)(1)4x221(x)24x4x2x1d(4x2)(3)dx4x224x2希望自己添加!x241(4)dx4x2]dx4x2dx111(5)dx24x42x2x(6)dx4xx2axaln|xx2a2|C24-1-52d(x2)4(x2)24-1-53换元积分法换元积分法

三、小结两类换元积分法第一换元积分法:凑微分第二换元积分法:三角代换、倒代换、根式代换熟记基本积分表(2)思考题求积分(xlnx)p(lnx1)dx.解p(xlnx)(lnx1)dxd(xlnx)(1lnx)dx(xlnx)pd(xlnx)(xlnx)p1C,p1p1p1ln(xlnx)C,4-1-544-1-55 定积分的概念与性质换元积分法

五、定积分的性质对定积分的补充规定思考题求积分(xlnx)p(lnx1)dx.解(xlnx)p(lnx1)dxd(xlnx)(1lnx)dx(1)当ab时,(2)当ab时,af(x)dx0b(xlnx)pd(xlnx)af(x)dxbabf(x)dx(xlnx)p1C,p1p1p1说明ln(xlnx)C,在下面的性质中, 假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小．4-1-555-1-16 定积分的概念与性质性质1证[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxaaabbb定积分的概念与性质性质2证a[f(x)g(x)]dxlim[f(i)g(i)]xi0i1nnbakf(x)dxkf(x)dxabb(k为常数)kf()xakf(x)dxlim0ii1nnbnilimf(i)xilimg(i)xinlimkf(i)xiklimf(i)xi0i10i1f(x)dxg(x)dxaa(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)0i1b0i1bkf(x)dxab性质1和性质2称为线性性质.5-1-175-1-18 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质3假设acbbbcaf(x)dxaf(x)dxcf(x)dx补充不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.性质4ab1dxdxbaab性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,则af(x)dx0nb(ab)例若abc则acf(x)dxf(x)dxf(x)dxabcb证f(x)0f(i)0i1i1,2,,nabf(x)dxf(x)dxbf(x)dxf(x)dxf(x)dxacacccxi0nf(i)xi0bbmax{x1,x2,,xn}limf(i)xiaf(x)dx00i15-1-195-1-20(定积分对于积分区间具有可加性)定积分的概念与性质性质5的推论1则性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,b则f(x)dx0(ab)a性质5的推论2b性质5如果在区间[a,b]上f(x)0,b则f(x)dx0(ab)a如果在区间[a,b]上f(x)g(x),abbf(x)dxg(x)dx(ab)abaf(x)dxa|f(x)|dx证bbb(ab)b由推论1证f(x)g(x)g(x)f(x)0a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x)|dxa[g(x)f(x)] dx0g(x)dxf(x)dx0bbaaabf(x)dx|f(x)|dxab说明|f(x)|在[a,b]上的可积性是显然的.于是abf(x)dxg(x)dxa5-1-22b5-1-23 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质6设M和m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值.则m(ba)b性质7(定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一点,使下式成立:af(x)dxM(ba)af(x)dxbbf()(ba)(ab).证mf(x)Mm(ba)f(x)dxM(ba)积分中值公式证abamdxaf(x)dxaMdxbabbm1bf(x)dxMbaam(ba)f(x)dxM(ba)由闭区间上连续函数的介值定理:在[a,b]上至少存在一点ξ,使f()即5-1-241bf(x)dxbaaaf(x)dxbf()(ba)(ab).5-1-25