高数极限方法范文

第一篇：高数极限方法范文

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致

一、极限分为一般极限 ，还有数列极限，(区别在于数列极限发散，是一般极限的一种)

二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化， (一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2.罗比达法则 (大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近!所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!必须是函数的导数要存在!必须是 0比0 无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况

0比0，无穷比无穷的时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于(指数幂数)方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

3.泰勒公式(含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意 !!!!)

E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则，最大项除分子分母!!!!!!!!!!! 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!! 6.夹逼定理(主要对付数列极限!)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用(对付数列极限，q绝对值符号要小于1) 8.各项的拆分相加(来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9.求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值 。 第二个是趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限)

11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的速度不一样!

x的x次方>x!>指数函数>幂数函数>对数函数(画图也能看出速率的快慢) !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 12. 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13.假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14.还有对付数列极限,走投无路的时候可以考虑转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15.单调有界的性质

对付递推数列时候使用,证明单调性!!!!!! 16直接使用求导数的定义来求极限 ，

(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减个值)加减f(x)的形式，看见了要注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

一，求极限的方法横向总结：

1.带根式的分式或简单根式加减法求极限：

1)根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方(有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上) 2)分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式(常用到

2.分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。 3.等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4.分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5.分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。 6.运用重要极限求极限(基本)。 7.乘除法中用等价无穷小量求极限。

8.函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。 9.常数比0型求极限：先求倒数的极限。 10.根号套根号型：约分，注意别约错了。

11.三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos 二，求极限的方法纵向总结： 1.未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出(x-常数)的形式，然后约分(因为x不等于该常数所以可以约分)最后将该常数带入其他式子。 2.未知数趋近于0或无穷：1)将x放在相同的位置 2)用无穷小量与有界变量的乘积 3)2个重要极限

4)分式解法(上述)

第二篇：高数_第1章_极限计算方法总结

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。 说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10;lim(3x1)5;limqn0,当q1等。 2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可!(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在， 且(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)limf(x)g(x)AB

(3)limf(x)A,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的;同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3.两个重要极限

sinx(11)xe

1 (2) lim(1x)xe ; lim(1) limxxx0x0x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

(2)一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e;等等。

xxx34.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0)，仍有上面的等价 关系成立，例如：当x0时，

定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ;ln(1x2) ～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，

f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。

xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115.连续性

定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内

的一点，则有limxxf(x)f(x0) 。求极限的一个方法。

06.极限存在准则

定理6(准则1) 单调有界数列必有极限。

定理7(准则2) 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

(1) ynxnzn,(n1,2,3,)(2) limyna，limznnan

则极限limxn一定存在，且极限值也是a ，即limxannn。

二、求极限方法举例

1. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 lim3x12x1x1

解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limnn(n2n1)

n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3 lim(1)n3nn2n3n

上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1 (2。 3)n12. 利用函数的连续性(定理6)求极限 1例4 limx2exx2

1解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，

1 所以

原式=22e24e 。

3. 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosxx03x2

。

xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26 。 3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章) 例6

2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6 。

例7 lim(nn2n) n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3 。

4. 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0 (定理2的结果)。

5. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)22x0

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x， 原式=limx3x3 。 2xexesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1 。 解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1 。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0 。

33x0x0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx0sinx2xsin解：当x0时，111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价， xxxx2sin

所以，

原式=limx01xlimxsin10 。

(最后一步用到定理2)

x0xx5. 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界(0

xn存在，limxna。对已知的递推公式 xn12xnn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1(不合题意，舍去)

所以 limxn2。

n例21 lim(n1n1n21n21211nn2)

1nn2解： 易见：nn2n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1 。

上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。

第三篇：高数中求极限的十六种方法

高数中求极限的十六种方法 假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是他的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎。由此可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致。解决极限的方法如下：

1、 等价无穷小的转化

e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等，全部熟记(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2、 LHopital 法则(大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。 必须是 X趋近 而不是N趋近!所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 。还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷。必须是函数的导数要存在!假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死! 必须是 0比0 无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0 。 LHopital 法则分为3中情况： ①0比0

无穷比无穷 时候直接用

② 0乘以无穷

无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，这样就能变成1中的形式了

③ 0的0次方

1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

第四篇：高数极限

极限分为 一般极限 (发散的)， 还有个数列极限(前者的一种)， 解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2洛必达 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X趋近 而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)必须是 函数的导数要存在!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!)必须是 0比0 无穷大比无穷大!;当然还要注意分母不能为0

洛必达 法则分为3种情况

(1) 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 ;(2) 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了;(3)0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0) 3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !) E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 (对题目简化有很好帮助)

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母! 5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。(面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!)

6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!

x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质对付递推数列时候使用 证明单调性!

16直接使用求导数的定义来求极限 ，一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

第五篇：高数(1)极限和连续

第二章 极限和连续 【字体：大 中 小】【打印】

2.1 数列极限

一、概念的引入(割圆术)

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽

正六边形的面积A

1 正十二边形的面积A2

n-1

正6×2形的面积An

A1，A2，A3，„，An，„→„S

二、数列的定义

定义:按自然数1，2，3„编号依次排列的一列数x1，x2，„，xn，„ (1)

称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项(一般项)。数列(1)记为{ xn }。

例如

nn

2，4，8，„，2，„;{ 2}

注意：

(1)数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取

(2)数列是整标函数xn=f(n)

三、数列的极限

1.定义 设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{ xn }收敛，a是数列{ xn }的极限，或者称数列xn收敛于a，记为

。

如果数列没有极限，就说数列是发散的。

例如

nn

2，4，8，„，2，„;{ 2}，发散

，发散

收敛于0

2.数列极限的性质 (1)唯一性

定理 每个收敛的数列只有一个极限。 (2)有界性

定义: 对数列xn， 若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|≤M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。

例如，数列有界，数列无界

数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。

定理 收敛的数列必定有界。

注意：有界性是数列收敛的必要条件。 推论 无界数列必定发散。 (3)保号性

收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，

1)若有正整数N，n>N时，αn>0(或<0)，则α≥0(或α≤0) 2)若α>0(或<0，则有正整数N，使得当n>N时，αn>0(或<0)

2.2 级数

1.级数的定义:

称为数项无穷级数(或简称数项级数)，un为一般项。

2.级数的部分和

3.部分和数列

4.级数的收敛与发散

当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。

如果Sn没有极限，则称无穷级数

数项级数收敛

存在

发散。

例1.讨论等比级数(几何级数)

(a≠0)的收敛性。

【答疑编号11020101：针对该题提问】

解：如果q≠1时，

当|q|<1时,

当|q|>1时

如果|q|=1时

当|q|=1时，

，级数发散

收敛 发散

当q=-1时，级数变为α-α+α-α+„

不存在，级数发散

综上

例2.(56页1(3))判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

【答疑编号11020102：针对该题提问】

解：

由

得级数收敛，其和为。

例3.判断级数的敛散性

【答疑编号11020103：针对该题提问】

例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和

【答疑编号11020104：针对该题提问】

例5.判别无穷级数

的收敛性。

【答疑编号11020105：针对该题提问】

解

∴级数收敛，和为。

2.3 函数极限

两种情形:

(1)x→∞情形：

(2)x→x0情形：

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

定义：设M是任意一个正数，函数f(x)在

上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大(即|x|→∞)时，f(x)无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f(x)在无穷大处的极限，记为

或f(x)→A，当x→∞时。

定理：

例1.(60页例

5、例6)求下列函数的极限

(1)

【答疑编号11020201：针对该题提问】

(2)

【答疑编号11020202：针对该题提问】

解：对于函数

对于函数f(x)=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见

所以，极限

例2.

不存在。

【答疑编号11020203：针对该题提问】

例3.

【答疑编号11020204：针对该题提问】

例4.

【答疑编号11020205：针对该题提问】

二、函数在有限点处的极限(自变量趋于有限值时函数的极限)

1.定义：给定函数y=f(x)在(x∈D)上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f(x)无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记为

或 f(x)→A，当x→x0时。

2.单侧极限

定义：设 f(x)在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当相应的函数值(fx)无限接近于A，则称A为函数f(x)当 时的左极限，记为

定理：

时，或(fx0-0)。

例5.62页2：(5)(6)(7)

求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。

(5) x=2

【答疑编号11020206：针对该题提问】

(6) x=0

【答疑编号11020207：针对该题提问】

(7)，x=0

【答疑编号11020208：针对该题提问】

问题：函数y=f(x)在x→x0的过程中，对应函数值f(x)无限趋近于确定值A。

例6.求

【答疑编号11020209：针对该题提问】

注意：函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关

三、函数极限的性质 1.唯一性

定理 若limf(x)存在，则极限唯一。 2.有界性

定理 (有极限函数的局部有界性)假设中有界，即有常数M>0，使得在x0的某个去心邻域

3.保号性

若

推论

存在，则f(x)在x0点的某个邻域

中，有

，且A>0(或A<0)

若时

f(x)≥0(或f(x)≤0)，则A≥0(或A≤0)

四、小结

函数极限的统一定义

2.4 极限的运算法则

一、极限运算法则

定理

设

(1)

(2)

，则

(3)

例7.【答疑编号11020210：针对该题提问】

推论1

如果lim f(x)存在，而c为常数，则

常数因子可以提到极限记号外面。

推论2

如果lim f(x)存在，而n是正整数，则

二、求极限方法举例

例8.求

【答疑编号11020211：针对该题提问】

解

(直接代入法)

例9.求。

【答疑编号11020212：针对该题提问】

解：x→1时，分子，分母的极限都是零。(型)

(消去零因子法或因式分解法)

例10.求

【答疑编号11020213：针对该题提问】

解：先变形再求极限。

。

例11.求

【答疑编号11020214：针对该题提问】

三、小结

1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.因式分解法消去零因子求极限; c.通分法

d.利用左右极限求分段函数极限。

2.5 无穷小和无穷大

一、无穷小

1.定义：极限为零的变量称为无穷小。

函数f(x)当x→x0 (或x→∞)时为无穷小，记作

例如，

，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。

，∴函数是当x→∞时的无穷小。

，∴数列是当n→∞时的无穷小。

注意：

(1)无穷小是变量，不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数。 2.无穷小与函数极限的关系：

其中α(x)是当x→x0时的无穷小。

定理

3.无穷小的运算性质：

(1)在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 (2)有限个无穷小的乘积也是无穷小。 (3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

例如，当x→0时，

二、无穷大

1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。

函数f(x)当x→x0 (或x→∞)时为无穷大，记作

。

2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。

注意：

(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆; (2)切勿将 认为极限存在。

(3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。

例如，

三、无穷小与无穷大的关系

是无界变量不是无穷大。

1.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。

例1.求。

【答疑编号11020301：针对该题提问】

解：

又

商的法则不能用

由无穷小与无穷大的关系,得

例2.求。

【答疑编号11020302：针对该题提问】

解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大。(

先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限。

型)

(无穷小因子分出法)

例3.求

【答疑编号11020303：针对该题提问】

例4.求

【答疑编号11020304：针对该题提问】

小结：当

，m和n为非负整数时有

无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。

例5.

【答疑编号11020305：针对该题提问】

例6.求

【答疑编号11020306：针对该题提问】

例7.求

【答疑编号11020307：针对该题提问】

例8(2007年10月)

【答疑编号11020308：针对该题提问】

例9(2007年10月)、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在()

A.

B.C.

D.

【答疑编号11020309：针对该题提问】

答案：D

例10(2007年4月)

( )

A.0

B.1 C.-1

D.不存在

【答疑编号11020310：针对该题提问】 答案：B

例11(2007年7月)

【答疑编号11020311：针对该题提问】

计算

例12(2005年)计算

【答疑编号11020312：针对该题提问】

2.6 两个重要极限

2.6.1 关于

例

1、计算

【答疑编号11020401：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号11020402：针对该题提问】

解：

例

3、80页第1题(5)

【答疑编号11020403：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号11020404：针对该题提问】

解：

例

5、

【答疑编号11020405：针对该题提问】

解：

例

6、判断四个极限分别属于哪一种类型：

(1)

【答疑编号11020406：针对该题提问】

(2)

【答疑编号11020407：针对该题提问】

(3)

【答疑编号11020408：针对该题提问】

(4)

【答疑编号11020409：针对该题提问】

解：

解：

例

7、求

【答疑编号11020410：针对该题提问】

解

2.6.2 关于

例

1、求

【答疑编号11020501：针对该题提问】

解：

例

2、

【答疑编号11020502：针对该题提问】

解：

例

3、

【答疑编号11020503：针对该题提问】

解：

例

4、

【答疑编号11020504：针对该题提问】

解：

方法一：

方法二：

例

5、

【答疑编号11020505：针对该题提问】

解：

例

6、

【答疑编号11020506：针对该题提问】

解：

例

7、

【答疑编号11020507：针对该题提问】

解：

例

8、

【答疑编号11020508：针对该题提问】 解： 方法一：

方法二：

例

9、81页4题(8)

【答疑编号11020509：针对该题提问】

解：

小结：

第一类重要极限：

第二类重要极限：

2.5.4 无穷小的比较

例如，当x→0时，

观察各极限

都是无穷小。

，x比3x要快得多; 2 ，sinx与x大致相同;

不存在，不可比。

极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。

定义：

设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0.

(1)如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α);

(2)如果，就说β与α是同阶的无穷小;

特殊地如果

等价无穷小：

，则称β与α是等价的无穷小;记作α～β;

例：

【答疑编号11020601：针对该题提问】

例：

【答疑编号11020602：针对该题提问】

得：当x→0时，

例：

(1)73页8题：

当x→∝时，a，b，c应满足什么条件可使下式成立?

(1)

(2)

等价无穷小代换

等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有

，

由

得：当x→0时，

常用等价无穷小：

当x→0时，

牢记常用的等价无穷小：

当x→0时，

例：

【答疑编号11020603：针对该题提问】

例：

【答疑编号11020604：针对该题提问】

例

求

【答疑编号11020605：针对该题提问】

错解

当x→0时，

解

当x→0时，

例

(1)80页1题(7)

【答疑编号11020606：针对该题提问】

(2)80页1题(9)

【答疑编号11020607：针对该题提问】

(3)80页1题(10)

【答疑编号11020608：针对该题提问】

(4)80页2题：设

【答疑编号11020609：针对该题提问】

，求a，b

例：94页3题(4)：

【答疑编号11020610：针对该题提问】

例：94页4题(1)：证明当时，sin(2cosx)与是同阶无穷小。

【答疑编号11020611：针对该题提问】

例：81页8题：设

【答疑编号11020612：针对该题提问】

，求k。

小结

1.两个重要极限

2.无穷小的比较： 反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小;等价无穷小; 3.等价无穷小的替换：

求极限的又一种方法，注意适用条件.

2.7 函数的连续性和连续函数

一、函数的连续性

1.函数的增量

设函数f(x)在

内有定义，

称为自变量在点

的增量。

2.连续的定义

定义1 设函数f(x)在的函数的增量f(x)在点

定义2 设函数f(x)在也趋向于零，即连续，

称为

内有定义，如果当自变量的增量

或

的连续点.

趋向于零时，对应，那么就称函数

内有定义，如果函数

当

时的极限存在，且