高数考研积分总复习

第一篇：高数考研积分总复习

考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研

历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员!

考研数学：高数重要公式总结(基本积

分表)

考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。

其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研，考研机构，10年高质量辅导，值得信赖! 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。

凯程考研

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凯程考研：

凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯; 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里; 信念：让每个学员都有好最好的归宿;

使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构; 激情：永不言弃，乐观向上;

敬业：以专业的态度做非凡的事业;

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。

特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。

如何选择考研辅导班：

在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

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验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由

一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。

对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌，成就显著!

在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的张博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布，随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。

考研路上，拼搏和坚持，是我们成功的必备要素。

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凯程考研

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王少棠

本科学校：南开大学法学

录取学校：北大法学国际经济法方向第一名 总分：380+ 在来到凯程辅导之前，王少棠已经决定了要拼搏北大法学院，他有自己的理想，对法学的痴迷的追求，决定到最高学府北大进行深造，他的北大的梦想一直激励着他前进，在凯程辅导班的每一刻，他都认真听课、与老师沟通，每一个重点知识点都不放过，对于少棠来说，无疑是无比高兴的是，圆梦北大法学院。在复试之后，王少棠与凯程老师进行了深入沟通，讲解了自己的考研经验，与广大考北大法学，人大法学、贸大法学等同学们进行了交流，录制为经验谈，在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班，回忆自己的辅导班的经历，他说：“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方，我有明确的复习目标，有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理，每天6点半就起床了，然后是吃早餐，进教室里早读，8点开始单词与长难句测试，9点开始上课，中午半小时吃饭，然后又回到教室里学习了，夏天比较困了就在桌子上睡一会，下午接着上课，晚上自习、测试、答疑之类，晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活，贯穿了我在辅导班的整个过程，王少棠对他的北大梦想是如此的坚持，无疑，让他忘记了在考研路上的辛苦，只有坚持的信念，只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部) 作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班，虽然学习很辛苦，但是每天他都能感觉到自己在进步，改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态，进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大，例如公司理财老师，推理演算，非常纯熟到位，也是每个学生学习的榜样，公司理财老师带过很多学生，考的非常好。在学习过程中，拿下了这块知识，去食堂午餐时候加一块鸡翅，经常用小小的奖励激励自己，寻找学习的乐趣。在辅导班里，学习成绩显著上升。

在暑期，辅导班的课程排得非常满，公共课、专业课、晚自习、答疑、测试，一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真，在这个没有任何干扰的考研氛围里，充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后，龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后，最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择，决定之后，让他更加发奋努力。

五道口成绩公布，龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训，优秀的学习氛围，让他感觉有

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质的飞跃，成功的喜悦四处飞扬。

另外，在去年，石继华，本科安徽大学，成功考入五道口金融学院，也就是说，我们只要努力，方向正确，就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油，五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生) 本科院校：中国青年政治学院 报考院校：中国人民大学金融硕士 总分：跨专业380+ 初试成绩非常理想，离不开老师的辛勤辅导，离不开班主任的鼓励，离不开她的努力，离不开所有关心她的人，圆梦人大金融硕士，实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子，英语基础算是中等，专业课是0基础开始复习，刚刚开始有点吃力，但是随着课程的展开，完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来，虽然考的不错，班主任老师没有放松对复试的辅导，确保万无一失，拿到录取通知书才是最终的尘埃落地，开始了紧张的复试指导，反复的模拟训练，常见问题、礼仪训练，专业知识训练，每一个细节都训练好之后，班主任终于放心地让她去复试，果然，她以高分顺利通过复试，拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博，从山东理工大学考入北京大学法律硕士，我复习的比较晚，很庆幸选择了凯程，法硕老师讲的很到位，我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功，也祝愿凯程越办越好。

张亚婷，海南师范大学小学数学专业，考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向，成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川，西南大学考入中国传媒大学艺术硕士，播音主持专业。在考研辅导班，进步飞快，不受其他打扰，能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责，真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班，他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说：考取人大，是我的梦想，我一直努力，肯定能够成功的，只要我们不放弃，不抛弃，并且一直在努力前进创造成功的条件，每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信，每个人都能够成功。

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第二篇：高数总复习题一

1总习题一

1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.

(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件. xx0

xx0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.

xx0(3) f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)的________条件.

xx0limf(x)是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件. 

xx0(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是limf(x)存

在的________条件.

解(1) 必要, 充分.

(2) 必要, 充分.

(3) 必要, 充分.

(4) 充分必要.

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设f(x)2x3x2. 则当x0时, 有().

(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;

(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.

xxxxf(x)232213limlimlim1解 因为limx0x0x0x0xxxx

tln3limuln2ln3ln2lim(令2x1t, 3x1u)  t0ln(1t)u0ln(1u)

所以f(x)与x同阶但非等价无穷小. 故应选B.

3. 设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:

(1) f(ex);

(2) f(ln x);

(3) f(arctan x);

(4) f(cos x).

解(1)由0ex1得x0, 即函数f(ex)的定义域为(, 0].

(2) 由0 ln x1得1xe , 即函数f(ln x)的定义域为[1, e].

(3) 由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为[0, tan 1].

(4) 由0 cos x1得2nx2n(n0, 1, 2, ),22

即函数f(cos x)的定义域为[2n,n], (n0, 1, 2, ).

22

4. 设

x00x 00

f(x), g(x)2,xx 0xx0

求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].

0x0解 因为f(x)0, 所以f[f(x)]f(x)xx0;



因为g(x)0, 所以g[g(x)]0;因为g(x)0, 所以f[g(x)]0;

x00

因为f(x)0, 所以g[f(x)]f 2(x)2.

xx0

5. 利用ysin x的图形作出下列函数的图形: 

(1)y|sin x|;(2)ysin|x|;(3)y2sinx.

6. 把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为的函数. 

解 设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有

R(2)

R(2)2r , r

22R2(2)2RhRrR.242

圆锥的体积为

R2(2)2142 RV

3242

3R(2)2a2 (02).224

2x7. 根据函数极限的定义证明limx65. x3x3

2x证明对于任意给定的0, 要使|x65|, 只需|x3|, 取, 当x3

22

0|x3|时, 就有|x3|, 即|xx65|, 所以limxx65.

x3x3x3

8. 求下列极限: 

1;(1)limxx

x1(x1)2

(2)limx(x21x);

x

(3)lim(2x3x1;

x2x1

sinx;(4)limtanx3x0xxxx1abc(5)lim)(a0, b0, c0);x03

(6)lim(sinx)tanx.

x

2(x1)2x1.0, 所以limx解 (1)因为lim2

2x1xx1x1(x1)

x(x21xx21x)

(2)limx(x1x)lim 2xx(x1x)

lim

x

x11.lim

x21xx112

x2

2x11

2x322x1x1

(3) lim)lim(1lim(1)22

x2x1xx2x12x1

2x12x111

lim(12(12)lim(12)lim(12)e.

xxx2x12x12x12x1

sinx(11)sinx(1cosx)sinxlimlim(4)limtanx

x0x0x0x3x3x3cosx

sinx2sin2x2x(x2

lim1(提示: 用等价无穷小换).lim33x0x0xcosxx2

xxx1xxx

abcabc3axbxcx3lim(1(5)lim(x0x033xxx

abc3axbxcx3e,lim(1x03

axbxcx3

3x

, 因为

xxxxxx

limabc31lim(a1b1c1

x03x3x0xxx

1[lnalim1lnblim1lnclim1]

t0ln(1t)u0ln(1u)v0ln13(v)

1(lnalnblnc)ln,3

xxx13

所以limabc)eln.

x03

提示: 求极限过程中作了变换ax1t, bx1u, cx1v.(6)lim(sinx)

x2

tanx

lim[1(sinx1x21sixn1

1(sinx1)tanx

sinx1

, 因为

lim[1(sinx1x

e,

lim(sinx1)tanxlim

x

sinx(sixn1)

coxsx

sinx(sin2x1)xcoxs0,limlimsin

)x1xcosx(sinx1xsin所以lim(sixn)taxne01.

x2

xsin1x0

9. 设f(x), 要使f(x)在(, )内连续, 应怎样选择数a ? x

axx0

解 要使函数连续, 必须使函数在x0处连续. 

10 2

f(x)lim(ax)a因为f(0)a, lim, limf(x)limxsinx0x0x0x0x

所以当a0时, f(x)在x0处连续. 因此选取a0时, f(x)在(, )内连续.

x1

x0, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.10. 设f(x)e

1x)1x0ln(

解 因为函数f(x)在x1处无定义, 所以x1是函数的一个间断点.

1),0(提示lim

x1x1x1x1

1), x1

f(x)limelim(提示limx1x1x1x1

所以x1是函数的第二类间断点.

f(x)lime因为lim

x1

f(x)limln(x1)0, limf(x)lime又因为lim

x0

x0

x1

x0x0

1, e

所以x0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.

1    11. 11. 证明lim1222n12n

n11    1n证明 因为2, 且 n21222n21nlim11, limnlim11,lim2

nnnn21n112

nn

1    11.所以lim1222n1n2n

12. 证明方程sin xx10在开区间(, 内至少有一个根.

22

证明 设f(x)sin xx1, 则函数f(x)在[ ,上连续.

22

因为f( 11, f( 112, f( )f 0,

22222222

所以由零点定理, 在区间( ,)内至少存在一点, 使f()0. 这说明方程sin

22

xx10在开区间( ,内至少有一个根.

22

13. 如果存在直线L: ykxb, 使得当x(或x, x)时, 曲线yf(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)0, 则称L为曲线yf(x)的渐近线. 当直线L的斜率k0时, 称L为斜渐近线.

(1)证明: 直线L: ykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是k

x

(x,x)

lim

f(x)

, blim[f(x)kx].

xx(x,x)

x

(2)求曲线y(2x1)e的斜渐近线.

证明 (1) 仅就x的情况进行证明

按渐近线的定义 ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是lim[f(x)(kxb)]0

x

必要性 设ykxb是曲线yf(x)的渐近线 则lim[f(x)(kxb)]0

x

于是有limxx

f(x)f(x)f(x)

kb]0limk0klim

xxxxxx

[f(x)kxb]0blim[f(x)kx]同时有lim

x

x

充分性 如果klim

x

x

f(x)

 blim[f(x)kx], 则

xx

x

x

lim[f(x)(kxb)]lim[f(x)kxb]lim[f(x)kx]bbb0

因此ykxb是曲线yf(x)的渐近线

y2x1(2)因为klimlimex2xxxx

blim[y2x]lim[(2x1)e2x]2limx(e1)12lim

x

x

x

x1x

t11t0ln1(t)

所以曲线y(2x1)e的斜渐近线为y2x1

x

第三篇：2017-2018-1高数(上)期末总复习

2017-2018-1 高等数学(上)期末复习知识点

一、函数、极限与连续

1. 会求初等函数及复合函数的定义域、函数值; 练习：P10，习题1.1(A)：1(1,3,4);4， P42，复习题1：4;5

2. 会分解复合函数

练习：P10，习题1.1(A)：6

3. 会用极限的四则远算法则求极限

练习：P22，习题1.3(A)：2(7,8); P42，复习题1：11

4. 会用极限存在法则(即左右极限)求极限

练习：P22，习题1.3(A)：1;2(1,2,3)

5. 会利用第二个重要极限求极限; 练习：P27，习题1.4(A)：2(1,3,5)，4; P42，复习题1：7;12(2,4,5，8)

6. 会利用等价无穷小代换及无穷小的性质求极限; 练习：P32，习题1.5(A)：1(2,6,7);

P42，复习题1：12(7)

7. 会比较无穷小的阶; 练习：P32，习题1.5(A)：2，3;

P42，复习题1：6

8. 会判断函数在一点的连续性，求函数的连续区间; 练习：P40，习题1.6(A)：1，3，4;

P42，复习题1：2, 8, 13

9. 会确定函数的间断点并判断类型; 练习：P40，习题1.6(A)：2(4,6)，3，4;

P42，复习题1：9，14(1,3)

10. 会利用零点定理证明方程的根

练习：P40，习题1.6(A)：5，6

二、导数与微分

1. 利用导数的定义求相关的极限

练习：P49，习题2.1(A)：1;

P69，复习题2：1(1)，2(2)

2. 利用导数的定义求分段点处的导数或判断分段点处的可导性

练习：P49，习题2.1(A)：7;

P69，复习题2：1(2，6)，3，4

3. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及法线方程

练习：P49，习题2.1(A)：5，6;

4. 利用导数的四则运算法则及复合函数求导法则求导

练习：P56，习题2.2(A)：1(1,3,5,7)，2，3(1,3,5,7,8)，6;

P69，复习题2：1(3，4)，5(1,3,6)

5. 求隐函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：1(1,2,4); P69，复习题2：9

6. 求参数式函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：3, 4; P69，复习题2：10, 11

7. 了解对数求导法求导

复习题2：5(2, 4)

8. 会求函数的微分

练习：P68，习题2.4(A)：2(1, 3, 5); P69，复习题2：1(5)，2(4)

三、微分中值定理与导数的应用

1. 了解罗尔定理和拉格朗日定理条件的判断并会求相应的

练习：P77，习题3.1(A)：4; P110，复习题3：1(1).

2. 利用洛必达法则求函数的极限

练习：P81，习题3.2(A)：1(2,4,6,8,10,12). 3. 利用函数的一阶导数求函数的单调区间、极值和最值

练习：P94，习题3.4(A)：1(2, 4)，2(2, 4); P101，习题3.5(A)：1(1, 2)

P110，复习题3：1(3, 5),2(1, 2).

4. 利用函数的二阶导数求函数曲线的凹凸区间、拐点

练习：P94，习题3.4(A)：3，4; P110，复习题3：1(4, 6).

5. 利用函数的单调性证明函数的不等式

练习：P94，习题3.4(A)：5，2(2, 4);

四、不定积分

1. 利用导数与不定积分的互逆关系解题

练习：P119，习题4.1(A)：1; P141，复习题4：1(1,3,7,8).

2. 利用积分运算法则求积分

2 练习：P119，习题4.1(A)：2(2, 6, 9, 14, 16). 3. 利用第一换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(1，4，8，12，); P141，复习题4：3(1, 2)

4. 利用第二换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(33，34); P141，复习题4：3(4, 5)

5. 利用分部积分法求积分

练习：P129，习题4.3(A)：1(2，4，6，8); P141，复习题4：3(8, 16)

五、定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义求解定积分

练习：P150，习题5.1(A)：1(1, 4, 5); .

2. 求定积分

练习：P155，习题5.2(A)：3(3, 8, 9, 10).

P160，习题5.3(A)：1(3, 4, 5, 8);2(1, 3, 5, 7) 3. 求积分上限函数的导数

练习：P155，习题5.2(A)：1(2，4);2(1，3)

4. 利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质求定积分

练习：P160，习题5.3(A)：3(2，4, 6);

5. 求反常积分的值或判断反常积分的敛散性

练习：P165，习题5.4(A)：1(1，3，5); P166，复习题5：2(4, 5)

第四篇：2012考研讲座(1—8)高数线代复习导引

讲座(1)考好数学的基点

“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。

非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。各向齐茂，形成一棵参天大树。

在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。

在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。

非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。

大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。

考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“与大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。

做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。

按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你的大脑要饱受交混回想的检验。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。

从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，掌握计算方法，学会简单推理。首先是要记得住。

你要玩好游戏，你也得先了解游戏规则，把它记得滚瓜烂熟啊。 你要考得满意吗?基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。

数学专业的学生面壁苦修的一个方式是画“联络图”。每学完一章，抽一定时间复习小结，静心地用笔理线索。

先默写出各个定义，中心定理，辅助定理，简单结论，思考其相互关系。再回顾主要定理证明 —— 关键步骤是哪步，有无特色细节，可否模仿。哪些可以收编为练习。条件能否削弱，有无相应反例。在主要参考书上，有没有更细化的评注或说明或应用。

有没有重要算法与公式。如果有，是否有前提条件，是否要判断分类，„„。

这是一个下意识的系统消化手段，也是一个有效的记忆方法。记住了而还没有消化好的内容，则一点一点地成为定向思维的材料。

当然要做题。有了一定的知识准备后，首先做教科书习题。演练简单的题目，体念并熟悉概念与公式。剖析复杂的题目，了解如何综合考查自己，学习分步逻辑推理。把典型题目与相关概念或定理或典型方法归纳记忆在一起。进一步做参考书及资料上的题，感受了解考研题目如何考查自己。逐渐形成用“猎奇”的眼光去挑选典型题目的能力

数学专业的学生面壁苦修的又一个方式是积累一个“材料库”。尽可能熟悉课程讨论的基本对象。就如我将在讲解时(微积分部分)推荐的， “三个典型的(极限)不存在”，“x 趋于+∞ 时，指数函数，幂函数，对数函数的无穷大阶数比较。”“三个典型的不可导”，“四个典型的不可积”，„„，等等。

概念记得越准确，观察判断的眼光越犀利。基本定理，基本方法记得越清晰，分析题目时方向越明白。

当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 „„”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。

讲座(2)笔下生花花自红

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。

也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案，或看题想解翻答案。动笔的时间很少。

数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。

科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。

或“依据已知条件，我首先能得到什么?”(分析法);

或 “要证明这个结论，就是要证明什么?”(综合法)。

在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。

“连续函数与不连续函数的和会怎样?”

写 成 “连续A + 不连续B = ?”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。(穷尽法)。

如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则 “ 连续C -连续A = 不连续B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。

有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，

题面上有已知条件 f ′(1) > 0 ，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于0 时 ， lim( f(1+h)-，0，n，0，--，0，n，0，-∞” 是未定式。)

对于一个集合，我们既要考虑能否定义线性运算，又还要进一步考虑，这个集合对于线性运算是不是“封闭”的。即集合中的任意有限个元素的线性组合，是否还属于这个集合。是!我们就说“集合对于线性运算是封闭的。”高一个层次的理论中，这是集合能否被称为“线性空间”首要条件。

显然，m × n阶矩阵集合，n 维向量集合，C[a，b] 函数集合，C k(a，b)函数集合，对于线性运算都是封闭的。

2.向量内积与矩阵乘法

由于理论或应用的需要，人们经常需要考虑在集合上定义更特殊的“运算”。这些“运算”在观念上要比四则运算高一个层次。本质上是人为规定的，集合中任意两个元与唯一的“第三者”的特殊对应规律。 高级语言称之为集合上的 一个“二元关系” 。

内积是n维向量集合上的一个“二元关系”—— 两个n维向量对应唯一确定的一个数。即

对任意两个n 维行向量 α = (α1, α2, „ ，αn) , β = (β1,β2 ,„ ，βn) , 规定

内积 α?β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + „ + αnβn ( = β?α)

(画外音：喜欢口诀吗?左行右列作内积。对应分量积相加。)

内积又叫数量积。定义内积是深化讨论的常用手段，理论背景深远，应用范围广阔。比如，更高层次的讨论中，在C[a，b] 函数集合上定义内积为 内积 (f，g)= 积函数f(x)g(x)在[a，b]上的定积分

《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。借助于列向量可以把m×n阶矩阵A表示为

A = (a1，a2，„，a n ) ，称为矩阵 A 的 列分块式 。

其中，列向量 a1 = ( a 11，„，a n 1 ) ˊ，„„ ， a n = ( a 1n ，„ ，a n n ) ˊ

如果把每个列块视为一个元素，可以说 A = (a1，a2，„ ，a n) 是一个“形式向量”。这个观念对学习《线性代数》大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0 改写为

(a1，a2，„ ，a n) (x1，x 2，„ ，x n)ˊ= 0 即 x1 a1+ x 2 a2 +„„+ x n a n = 0 后面将会利用这个形式转换，把“(列)向量组的线性相关性”与“齐次线性方程组有无非零解”相连系。

矩阵乘法是矩阵集合上的一个“二元关系” 。它的计算基础是向量内积。具体规定为 ——

m×n 阶矩阵A(a i j)与n×s 阶矩阵B(b i j)可以有乘积矩阵AB =(c i j)，

AB是m×s阶矩阵，它的元素c i j 具体为 c i j = A的第i 行与B的第 j 列的内积。

即 c i j = a i 1b j1 + a i2 b j 2 + „ + a i n b j n ，1≤ i ≤ m ， 1 ≤ j ≤ s 阶数规则 (m×n)(n×s)=(m×s)， 保证“左行右列作内积”可行。

最特殊的两种情形是 (m×1)(1×s)=(m×s) 与 (1×n)(n×1)=(1×1)

后一情形就是两个向量作内积。

进一步有分块矩阵乘法。

按照应用需要，《线性代数》常常会将矩阵变化为某种分快形式。并实施矩阵乘法。较常见的是变化矩阵为 列分块式 或 行分块式。

要分块矩阵乘法可行，必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。 宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则。

微观可乘：所有要相乘的子块，全都满足阶数规则。

乘法变形1. (m×n)(n×s)=(m×s)—→(1×1)(1×s)=(1×s) AB = A(b1，b 2，„，b s)=(A b 1，A b 2，„，A b s)

宏观可乘：各分块看成一个元素，满足阶数规则 (1×1)(1×s)=(1×s)

微观可乘：对应相乘的子块 A b j 都满足： (m×n)(n×1)=(m×1)

乘法变形2. (m×n)(n×s)=(m×s)—→(m×1)(1×s)=(m×s) AB =(A的行分块式)(B的列分块式)

这个分块乘积式显式了矩阵乘法与内积的关系。积矩阵AB 的每一个元都是内积形式。

乘法变形3. (m×n)(n×s)=(m×s)—→(1×n)(n×s)=(1×s) AB =(a1，a 2，„，a n)(b i j)

=(a 1 b 11 + a 2 b 21 + „ + a n b n1 ，„，a 1 b 1n + a 2 b 2 n + „ + a n b n n)

乘积AB具列分块式。且它的各列都是A的列向量的线性组合。

乘法变形3 的特殊情形就是“形式内积”。 (1×n)(n×1)=(1×1)，考研数学题要求你会逆向还原：

c1 a1+ c 2 a2 +„„+ c n a n = (a1，a2，„ ，a n) (c1，c 2，„ ，c n)ˊ

例 设有列向量组 a1 ，a2 ，a3 ，它们排成矩阵 A =(a1，a2，a3) ，如果它们的三个线性组合分别是 a1 + a2 + a3 ，a1 + 2a2 +4a3 ，a1 + 3a2 + 9a 3 ，试写出新的三向量排成的矩阵B与A的关系。

分析 关键在于反写形式内积 a1 + a2 + a3 =(a1，a2，a3)(1，1，1)ˊ a1 + 2a2 +4a3 =(a1，a2，a3)(1，2，4)ˊ a1 + 3a2 + 9a3 =(a1，a2，a3)(1，3，9)ˊ

于是 ，这三个线性组合为列排成的矩阵 ，等于A乘以 “三个系数列排成的矩阵” 。

乘法变形4. (m×n)(n×s)=(m×s)—→(m×n)(n×1)=(m ×1) AB =(a i j)(B的行分块式)

乘积AB具行分块式。且它的各行都是B的行向量的线性组合。

分块矩阵乘法形式多样，内函丰富。每一类形式变换都带来理论新意。充分体现出《线性代数》的特点，也是重点难点。对学生来说又相当陌生，史无前遇。考研复习《线性代数》的第一任务，就是熟悉矩阵乘法，熟悉分块矩阵乘法变换的各种形式及其新含义。

第五篇：2014福州大学考研冲刺阶段高数复习计划

思远福大考研网

2014福州大学考研冲刺阶段高数复习计划

考研数学每年都是文科类考研的难点也是薄弱环节，那么针对冲刺阶段如何做好强化复习从以下几点给大家分享分享：

1.确立目标。高等数学部分的主体由函数、极限和连续、一元函数的微积分、多元函数的微积分、微分方程和级数五大模块构成(数学

一、

二、三在各个模块的要求有一定差异)，从历年的试题中，高等数学的考查重点和难点更多的集中在前两个模块，他们既是考试的重点，也是学好后面模块的基础，因此，建议大家在整个寒假期间把复习高数的重点集中在这两个模块，根据个人实际情况，一步步扎实的复习，切不可囫囵吞枣，盲目图快。

2.资料选择。 考试大纲里有四种要求，分别是：掌握，理解，会，了解。这四个要求程度是不同的，是这么一种关系：掌握>会>理解>了解，所以对于掌握和会的知识点，一定要无比的透彻，往年大题的出题点一般都超不出这两个要求的范围。建议是：拿着大纲先将标有“掌握”和“会”的知识点标出来，然后尽最大努力全面掌握，比如09年考研的拉格朗日定理知识点就属于“会”的范畴，一定全面掌握，不但会用，更要会证明它。这一阶段复习建议以教材为主，数学

一、二的考生建议使用同济版高等数学、数学三同学推荐赵树嫄的《微积分》(第3版)，中国人民大学出版社。当教材习题对你而言没有太大困难的时候，可以参考一本基础阶段的考研辅导讲义，比较推荐的是国家行政学院出版社出版的，李永乐的复习全书，或北京理工大学出版社出版，张宇、蔡燧林主编的辅导讲义。

3.复习任务。课本应该怎样看?课本很重要，其实从小到大老师无数遍强调要重视基础，不要只顾做题。如果你现在还在犹豫要不要再看课本，那就不用犹豫了，要想考到140分，这绝对是一个必不可少的过程。可能会有一些考研的同学来说：课本我也认真看过了，但结果依然很遭。我想说：课本不是用来看的，是用来研究的，课本学的细致了么!我们建议大家第一步先细看教材，以及结合上课内容，逐一突破每个知识点，然后通过习题去巩固检测，需要注意的是，由于考试是以题目是否作对为给分依据的，建议大家从现在开始就养成将每道题做到底的习惯，当然选题很重要，2014福大经济学综合考研模拟五套卷与解析这本书就紧贴专业课本，大眼看去感觉会做就不具体算出来这样完全没什么效果。教材习题解决后，可结合辅导书，适当增加难度。当遇到不懂得知识点，要做上记号，及时解决。

课本应该怎样看?课本很重要，其实从小到大老师无数遍强调要重视基础，不要只顾做题。如果你现在还在犹豫要不要再看课本，那就不用犹豫了，要想考到140分，这绝对是一个必不可少的过程。

可能会有一些考研的同学来说：课本我也认真看过了，但结果依然很遭。我想说：课本不是用来看的，是用来研究的，课本学的细致了么!

那什么样才叫细致呢，当课本研究完之后，上面会标记很多东西，画的比较乱，而不是崭新的像没看过一样。课本上的例题(这些题都是经典中的经典，一定弄透彻)没有不会的，课后题认真做过(哪怕只是在草纸上做，在书上标个答案，也要自己认真做一遍，这一遍就要训练自己合理利用草纸的习惯，做到对完答案发现错误后，都能很顺利找到这道题的过程然后分析为什么会做错，这个习惯很重要，如果你还有拿起草纸找个空就开始演算，就要赶紧改改这个习惯了，因为要改掉这个坏习惯真的需要平时多加练习)，有些人说课本后的题实在太多了，应该挑着做，但我觉得这本2014福大经济学综合考研模拟五套卷与答案解析的习题是都贴近考题的，远远胜过市面上的参考书，它也不像你想象得那么简单，如果你觉得简单，那你能一遍做完，没有一个不会，一个都不错吗?当然了，你也可以选取一部分做，但如果课后题你一个都不做，那真的会吃亏的。定义性质定理公式，一定搞透彻了，弄清楚其中有几个点，而不是硬生生的背下来，而且要多思考下(比如说关于极大值，这个词大家一定都知道，而且高中开始就见过，你知道它的定义吗，你可能会说：定义没用。这你就错了，当你感觉一道题模糊不会做时，定义才是你根本的出发点。