一类时滞Duffing方程周期解问题

文献[1]研究了如下时滞微分方程 (1) 周期解的存在性问题, 文献[2]在文献[1]的基础上, 研究了较广泛的一类时滞微分方程 (2) 存在T (T>0) 周期解, 式中g, τ, p都是定义在R上的实连续函数, τ和p以T为周期, 且。其结论如下:

如果下列条件成立: (i) 存在正常数M, 使得, 则方程 (2) 至少存在一个T (T>0) 周期解。

一般来说, 时滞的影响不仅存在于过去某一时刻或某些时刻, 也可能分布在过去的某段时间内, 本文讨论如下更广泛的一类时滞微分方程 (3) 周期解的存在性。式中f, g, h, p都是定义在R上的实连续函数, p以T为周期, 单调不减, , T, τ是正常数, 且。本文采用重合度理论, 获得了 (3) 至少存在一个T (T>0) 周期解的充分性定理。

定理如果下列条件成立:

证明:考察方程

(4) 这里, 设x (t) 是 (4) 的任一T周期解, 将 (4) 两边同时从0到T积分得。

其中, 因此由条件 (ii) 及上式知, 存在与λ无关的数R1>0,

则即L是指标为零的Fredholm算子, 且可证明N在上L-紧, 方程 (4) 即为算子方程 (13) 。

即, 于是 (2) 成立;作变换:

摘要：利用重合度理论研究一类时滞微分方程ax'' (t) +f[x' (t) ]+h[x (t) ]+g[integral from n= (-t) to 0 x (t+s) dm (s) ]=p (t) 周期解的存在性, 得到了该方程存在T (T>0) 周期解的充分性定理。

关键词：Duffing方程,周期解,存在性