高中数学一类函数应用问题解决方法

数学应用题指利用数学知识解决其他领域中的问题, 高考对应用题的考查已逐步成熟, 特别是新课程标准出来之后, 对应用问题考查的力度正在加大, 考试注意分析问题及方法的新颖性, 提高了对学生适应陌生情境的能力的考查。对于一类函数的应用问题, 同学们往往感觉无从下手, 十分困难, 以下仅从常见的一些应用问题进行分析讨论。

一、解应用题的一般程序

(一) 读

读理解文字表达的题意, 分清条件和结论, 理顺数量关系, 这一关是基础。

(二) 建

将文字语言转化为数学语言, 利用数学知识, 建立相应的数学模型, 熟悉基本数学模型, 正确进行建“模”是关键的一关。

(三) 解

求解数学模型, 得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义, 更要注意巧思妙作, 优化过程。

(四) 答

将数学结论还原给实际问题的结果。

二、中学数学中常见应用问题与数学模型

(一) 优化问题

实际问题中的“优选”“控制”等问题, 常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决。

(二) 预测问题

经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决。

(三) 最 (极) 值问题

工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”, 转化为求函数的最值。

(四) 等量关系问题

建立“方程模型”解决。

(五) 测量问题

可设计成“图形模型”利用几何知识解决。

三、典型题例示范讲解

例1为处理含有某种杂质的污水, 要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱 (如图) , 污水从A孔流入, 经沉淀后从B孔流出, 设箱体的长度为a米, 高度为b米, 已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比, 现有制箱材料60平方米, 问当a、b各为多少米时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A、B孔的面积忽略不计) ?

命题意图:本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力。

知识依托:重要不等式、导数的应用、建立函数关系式。

错解分析:不能理解题意而导致关系式列不出来, 或a与b间的等量关系找不到。

技巧与方法:关键在于如何求出函数最小值, 条件最值可应用重要不等式或利用导数解决。

思路一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y, 则由条件 (k>0为比例系数) 其中a、b满足2a+4b+2ab=60 (1)

要求y的最小值, 只须求ab的最大值

由 (1) (a+2) (b+1) =32 (a>0, b>0) 且ab=30– (a+2b)

应用重要不等式

∴ab≤18, 当且仅当a=2b时等号成立

将a=2b代入 (1) 得a=6, b=3

故当且仅当a=6, b=3时, 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

思路二:由2a+4b+2ab=60, 得,

记 (0

由, 令u′=0得a=6

且当00, 当6

在a=6时取最大值, 此时b=3。

从而当且仅当a=6, b=3时, 取最小值。

例2某城市2001年末汽车保有量为30万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%, 并且每年新增汽车数量相等为保护城市环境, 要求该城市汽车保有量不超过60万辆, 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

命题意图:本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力

知识依托:数列极限、等比数列、解不等式

错解分析: (1) 不能读懂题意, 找不到解题的突破口; (2) 写出bn+1与x的关系后, 不能进一步转化为极限问题; (3) 运算出错, 得不到准确结果

技巧与方法:建立第n年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易, 但解题过程中的准确性要求较高。

解:设2001年末的汽车保有量为b1万辆, 以后各年汽车保有量依次为b2万辆, b3万辆, ……每年新增汽车x万辆, 则

对于n>1, bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+ (1+0.94) x, …

所以

当≥0, 即x≤1.8时, bn+1≤bn≤…≤b1=30

当<0, 即x>1.8时,

并且数列{bn}逐项递增, 可以任意靠近

因此如果要求汽车保有量不超过60万辆, 即bn≤60 (n=1, 2, …) 则有所以x≤3.6

综上, 每年新增汽车不应超过3.6万辆。