先秦数学之无穷思想

2022-09-11

有数学家说, 数学是关于无限的科学。这与一般人的感觉不一样, 一般人的感觉是有限的, 生命是有限的;财产是有限的;即使人山人海也是有限的, 全世界人口赫然一个大数字:60亿, 也还是有限的;惊人的天文数字毕竟仍是有限的;人们还测算出地球已存在了多少年, 人类已存在了多少年, 也都是有限数字……所以, 很少有关于无限的真正感觉。

可是, 也有人在有限的世界里感觉到无限。中国古代即有人知道一尺之棰, 日取其半, 万世不竭的道理。古希腊人认为短短的一条线段也是有无穷多个点组成的。无限的东西也并不难把握。

“数学是研究无穷的学科。”数学与无穷确实有着不解之缘。认识论说, 人的认识总是由具体到抽象, 而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进, 而数学是最具抽象性的学科, 这足以说明在向无限的迈进中, 数学达到的层次是最深入的。并且在数学中, 无穷是永远无法回避的。因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。数学与无穷之间的关系是剪不断, 理还乱的。从数学产生之日起, 无穷就如影随形, 伴着数学的发展齐步前进。

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇, 长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而“数学是研究无穷的学科”, 因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。早在远古时代, 无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情, 而且远在两千年前, 人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

1 无穷的空间观

在对空间概念的抽象上, 古人有多种说法。《庄子·庚桑楚》对空间的定义则强调其客观实在性, 说:“有实而无乎处者, 宇也。”即是说, 空间是一种客观实在, 它可以容纳一切, 其本身却不能被别的东西容纳。这一定义同时也涉及到了空间的无限性。

空间的有限与否, 直到今天仍然为现代宇宙学所关注, 也是古代哲人讨论的热点。古人在思考这一问题时, 除了庄子, 还有很多人主张空间无限。《管子·宙合》即说:“宙合之意, 上通于天之上, 下泉于地之下, 外出于四海之外, 合络天地, 以为一衷。散之至于无间, 是大之无外, 小之无内, 故曰有棠天地。”天地囊括万物, 宙合又有棠天地, 大之无外, 这样的空间, 应该说是无限的。引文的最后特别指出, 无限性是表现在宏观和微观两个方面的。这一认识非常深刻。

《列子·汤问》同样从宏观和微观两个方面对空间性质进行探讨, 认为它无极无尽。

空间无限的判断, 合乎逻辑思维。古人常认为, 有形则有极, 无形则无尽, 空间是无形的, 所以它无极无尽。

2 思辨中的无穷思想

在先秦时期, 对无穷概念理解最深的应该是名家了, 其代表人物是惠施和公孙龙。名家在先秦曾是一个很活跃的流派。《庄子·天下》篇说;惠施“其书五车”, 而公孙龙则也有“诡辞数万”。

历物第六事曰:“南方无穷而有穷”。南方式有尽头的, 当然有穷, 这是从路程远近来考虑;每个地方都有这个地方的南方, 由于地点的选取无穷, 所以南方有无穷多个, 这是从方位的相对性来考虑。

历物第二事曰:“无厚不可积也, 其大千里。”这句话可以表示成无穷小量的性质“无限多个无穷小可以不是无穷小, 可以是很大。”

历物第一事曰:“至大无外, 谓之大一;至小无内, 谓之小一”。大到没有外面, 自然是无穷大;小到没有里面, 当是无穷小。

这些都是惠施的无限思想, 有很多现在仍然沿用着, 出现在现在的高等数学中。

名家对有关无限的问题还是非常关心的, 他们不回避无穷概念。他们考虑了无穷大和无穷小概念的界定, 连续分割, 不可分量的积累, 瞬时运动等等与无限有关的问题, 其中很多可以从《墨经》中找到痕迹。两家的观点有同有异。《墨经》中的无限思想带有比较多的直观经验的痕迹, 名家的无限思想相对要抽象些。

应当承认, 把名家对无限的讨论继续深化, 有可能在对无限的认识上获得更深入的认识。不过, 在当时的先秦时期, 能有这样的认识, 已经是数学文化上的顶峰了。

三国时期的数学家刘徽在《九章注》中处理面积, 体积问题时, 就天才地将无限过程成功的运用于数学证明, 特别是他的阳马术注具体的展示了无限分割思想, 我们不能否认这是他从名家和墨经中得到的影响和启示。

然而“无穷既是人类最伟大的朋友, 也是人类心灵宁静的最大敌人 (希尔伯特语) ”, 因为征服无穷的路毕竟是这样的难行。虽说, 古人对无穷已有了较深刻的认识, 但是人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说, 对于只熟悉有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是神秘与陌生的。在数学无穷发展历程中, 悖论是一次次出现:芝诺悖论, 贝克莱悖论, 罗素悖论。虽说, 经历几百年, 数代数学家的艰苦努力, 建立的极限论, 实数论, 公理系统解决了这些悖论及由此导致的危机。然而, 悖论的清除, 矛盾的回避也导致了数学确定性的一步步丧失。第三次数学危机只是表面上解决了, 实质上更深刻地以其它形式延续着。希尔伯特曾试图用形式主义“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性的怀疑。”然而其一揽子解决方案在1930年哥德尔发现了不完备定理后宣告付之东流了。认识无穷, 征服无穷之途是漫漫无际的。然而, 数学中没有不可知!经过一代代人的努力, 人们对无穷的认识必将一次次上升到新的高度!

摘要:先秦时期是中国文化发展的第一个高峰期, 在这个时期, 百家争鸣, 学术思想空前活跃, 数学的发展也达到了第一个高潮。无限思想在此期间开始萌芽, 产生, 并且在很多方面已经有了应用。无穷的空间观, 思辨中的无穷思想等都是具体体现。

关键词:无穷思想,空间,思辨

参考文献

[1] 李志超, 华同旭.论中国古代的大地形状概念[J].自然辩证法通讯, 1986.

[2] 李志超.天人古义——中国科学史论纲[M].河南教育出版社, 1995.

[3] 张楚廷.数学文化[M].高等教育出版社, 2000.

[4] 邹大海.中国数学的兴起与先秦数学[M].河北科学技术出版社, 2001.