求极限的方法小结

求极限的方法小结（精选8篇）

篇1：求极限的方法小结

求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外）须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内，E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

为 0/0, ∞/∞型)利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。（对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在极限中很少用，但可以解决一些特殊的高数上有哈）在极限中很少用，在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈）11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______

解:

=

12.利用柯西准则来求！12.利用柯西准则来求！利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N，使 得当 n>N 时，对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝。。。）存在极限 存在极限，证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在极限，并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值，然后再证明。求数列极限时，16.求数列极限时，可以先算出其极限值，然后再证明。17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限

篇2：求极限的方法小结

求极限方法大概归结为：一 利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二 转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。三 转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim，（型）；（型）1elim1ex0nxx0nx

一 利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习x1，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。n

二 转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!，nnn



例limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3(1)lim(2)xxx0

x

3).x

（二）初等变形

2n1)13

例1（1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112)2：lim(12)(12)(12)n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

x2

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3（换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

n

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

n2

n

例6（两个重要极限的应用）

nsin（1）lim

n

xn

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

x

m

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

kx

ln1x1

cosx

x4

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0

e



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

1x

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

xa

1x

0,n为自然数

例2（型）lim（11)x0x2xtanx

11111)2：lim(x)3：lim(xx2ln(1))练习1：lim（x1lnxx0xxx1e1x

x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1)练习1：lim

x0

x1

x（2）lim1x例4（01型）（1）limx



1x

cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2）33x0sin2xsinxcostanxcossinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

x

1x1x

x

三 转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四 考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五 关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1）x0

求出a,b。

（2）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

x

x

lim)

xx得

lim)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

b2

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

篇3：求极限的方法

一、“变换代入法”

有的函数可通过初等代数变换 (如因式分解或分子.分母有理化, 或分子和分母同除以代数式, 化简去掉零子或无穷大因式, 再利用极限运算法则和连续函数定义undefined代入即可.

例1 求f (x) =|x-2|, 求undefined

解undefined

例2 (0801) 求undefined

解undefined

例undefined.

解undefined

二、“公式法”

利用两个重要极限公式:undefined和代数函数当x→∞极限:

undefined

利用上述公式关键是认清它们的标准形式和蕴涵的条件, 并能熟悉它们的扩充和变形形式, 如:

undefined

对于不符合条件不能使用, 例如undefined不能用上述公式, 可利用无穷小量的性质求得undefined.考题一般需要通过代数、三角变换或变量替换后, 化为符合公式条件下才应用.两个重要公式几乎每次都考到.有时单独使用, 更常与其他方法 (如利用函数的连续性质等) 综合使用, 特别是对于连续的复合函数, 极限符号可以先与函数符号交换, undefined, 再根据函数的形式选择相应的方法.

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例6 (1001) 求undefined

undefined

例undefined

解undefined

三、“求导法”

对于未定式极限undefined, 常直接利用洛必达法则 (先分别求出分子和分母的导数再求极限) .其他未定式极限:0·∞, ∞-∞, ∞0, 0∞, 1∞, 可通过通分、对数数恒变形等手段化为undefined.利用洛必达法则是求未定式极限的常用有效的办法.但必须注意只有undefined, 且undefined存在方可直接利用, 而且只要条件符合可多次使用.用法则失败时, 要考虑用其他办法解决.用洛必达法则时常常结合使用其他方法 (如用无穷小替换定理) .此方法每年必考.

例8 (0901) 求极限undefined

解undefined

例undefined

undefined

例10 (0907) 求极限undefined

undefined

例undefined

解 原式undefined

例undefined

undefined

另解undefined

∴原式undefined

四、“无穷小法”

利用无穷小的性质 (如无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量) 及无穷小替换定理也是常用的方法.无穷小替代, 注意不能进行和差分别代换, 只能整体代换.常用的无穷小替换有:undefined

此方法常和其他方法结合使用.

例13 (0807) 求极限undefined

解 原式undefined

例14 (1001) 求限极undefined

解undefined原式=0.

例15 (0904) 求极限undefined

undefined

又undefined原式=0.

例undefined

解 此题属1∞型.设undefined

undefined

五、“求单侧极限法”

对于分段函数分段点两侧表达式不同的分段点极限要分别求出左右极限, 然后才能判断函数在该点的极限是否存在.

例17 (1001) 已知

undefined

在x=1处连续, 则k=____.

解 此题关键是求undefined是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

A.2 B.1 C.4 D.∞

解 x=2是分段点但两侧表达式相同.

undefined

例19 (1004) 已知

解 x=1是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

六、其他方法

另外对于一些特殊复杂的数列, 要采取相应的特殊方法, 如用夹逼准则、单调有界数列必有极限法则或用等比和等差求和公式先求和再求极限等方法.

例undefined

A.0 B.1 C.不存在D.∞

undefined

又undefined原式=1.

例undefined

A.6 B.3 C.2 D.∞

解 根据等比数列前n项和公式得undefined

∴原式undefined

极限是高数最基本的概念.导数、定积分定义式是极限形式, 级数也与极限密切相关.因此, 利用这些导数、积分、级数知识可丰富求极限的方法.如利用导数、定积分定义、中值定理、泰勒公式、级数也可求极限.对于有些特殊极限还可利用定义和柯西准则.解答题中求极限一般需诸法并用.

例22 (0807) 设f′ (1) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例23 (0810) 设f′ (0) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例24 (1004) 设函数

undefined

试确定常数a和b的值, 使得在x=0处连续.

解 此题是综合题, 关键是求undefined,

因为x=0是分段点且两侧表达式不同,

所以要分别求出左右极限.

undefined (变换代入法) .

undefined (用公式法) .

undefined

摘要：极限运算是高等数学中的最基本运算, 本文结合近年来的全国自考高数 (一) 题目谈谈求极限常用方法.

篇4：求极限方法的研究

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

篇5：函数求极限的方法总结

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

篇6：高数：总结求极限的常用方法

极限定义法 泰勒展开法。洛必达法则。

等价无穷小和等价无穷大。

极限的求法 1.直接代入法

适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例 1.求

极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！必须是 函数的导数要存在！！！！必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

篇7：常用求极限方法的探索与总结

学院：——————————

专业班级：—————————— 姓名：—————————— 学号：——————

常用求极限方法的探究与总结

摘要：求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。

关键词：极限夹逼定理等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理 正文：

一.用极限定义证明某一极限的正确性

例1

篇8：求数列极限的若干方法

一、数列极限的概念

定义 (数列极限) :设{an}为数列, a为实数, 若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时, 有

undefined,

则称数列{an}收敛于a, 实数a称为数列{an}的极限, 并记作

undefined或an→a (n→+∞)

由于n限于取正整数, 所以在数列极限的记号中把n→+∞写成n→∞, 即

undefined或an→a (n→∞)

若数列{an}没有极限, 则称{an}不收敛, 或称{an}为发散数列。

二、数列极限的求解方法

1.利用初等变形求极限

对于某些较烦琐的数列{an}, 可用初等数学的方法将其变形, 转化为一个简单的数列, 然后再对之求极限。

例1:求极限undefined

解:由于undefined

故有undefined

2.利用变量替换求极限

有时为了将已知的极限化简, 转化已知的极限, 可根据极限式的特点, 适当引入变量, 以替换原有的变量, 使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

例2:求极限undefined

解:令n=-m, 则

undefined

3.利用单调有界定理求极限

定理 (单调有界定理) :单调有界的数列必有极限。

有上界的递增数列必有极限;有下界的递减数列必有极限。

例3:证明数列undefined收敛, 并求其极限。

证明:令undefined, 有undefined

易见数列{an}是递增的, 用数学归纳法证明{an}有上界。

容易看出, 当n=1时, 有undefined

假设n=k时, ak<2, 则undefined

从而对一切n∈N+有an<2, 即{an}有上界。

由单调有界定理, 知数列{an}收敛。

设undefined。由于aundefined=2+an, 式子两边取极限得a2=2+a

即有 (a+1) (a-2) =0, 解得a=-1, a=2

由数列极限的保不等式性, a=-1舍, 故有undefined

4.利用迫敛性求极限

当数列极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小, 使放大、缩小所得的新数列易于求极限, 且两端的极限值相等, 则原数列的极限值存在, 且等于它们的公共值。

例4:求极限undefined

解:因为undefined

又undefined

则根据迫敛性定理, 有

undefined

三、利用微积分相关理论求数列极限

利用定积分定义求极限。

定义:设函数f (x) 在区间[a, b]上有定义, 用分点a=x0

Δxi=xi-xi-1 (i=1, 2, …, n)

记λ=max{Δx1, Δx2, …, Δxn}, 在每个小区间[xi-1, xi] (i=1, 2, …, n) 上, 任意取一点ξi (xi-1≤ξi≤xi作和

undefined,

称此和为f (x) 在[a, b]上的一个积分和, 现令λ→0, 若积分和σn有极限I, 这个I与分割[a, b]的分法以及ξi的取法无关, 则称此极限值I为函数f (x) 在区间[a, b]上的定积分, 记作

undefined

例5:求极限undefined

解undefined

上式的和是undefined在[0, 1]的特殊积分和。它是把[0, 1]n等分, ξi取为undefined的右端点 (即undefined构成的积分和。因为函数undefined在[0, 1]上可积, 由定积分定义, 有

undefined

利用定积分定义求某些和式的极限, 先要将和式表达成某函数在某区间上的一个积分和, 它的极限就是一个定积分。

四、利用级数理论求数列极限

1.利用级数展开式求极限

级数是一个无穷序列的和的形式, 其部分和就是一个数列。有时为了方便, 可将数列极限看做是某个级数的部分和, 这样能更方便、更简捷地求出数列的极限。

例6:求极限undefined

解:令

undefined

取x=1, 即得

undefined

故undefined

2.利用级数收敛的必要条件求极限

定理:若级数undefined收敛, 则undefined

例7:求极限undefined

解:考察级数undefined

因为undefined

所以级数undefined收敛, 从而undefined

结论:求解极限的方法很多, 而且非常灵活, 因此学会判断极限的类型, 对于找到解决问题的方法是至关重要的。在原有知识体系的基础上加以整理和归纳, 给出了数列极限的基本概念, 详细介绍了数列极限的定理及性质, 并且主要针对数列极限概括出具有代表性的各种求解方法, 以及如何运用这些方法来求解极限问题。

在实际生产、生活中极限的应用十分广泛, 例如, 求解物体的质量, 实际工程的测量都会用到极限方法。考虑到极限与生活中大量现实问题相关, 因此, 对极限的研究必然会引起越来越多的关注。

摘要：极限理论是微积分的基础, 在数学分析中占有重要的地位, 在实际生活中极限也有着很广泛的应用。从数列极限的定义及相关性质出发, 通过归纳和总结, 从不同角度概括出数列极限求解的方法, 这些方法在极限的实际应用中具有广泛的适用性。

关键词：微积分,数列极限,方法

参考文献

[1]陈传璋.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1983:32-57.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001:35-56.

[3]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 2003:83-89.

[4]胡喜和.谈求极限的方法[J].内蒙古电大学刊, 2005, 1 (8) :108-109.