含变限积分的极限求法探讨

设函数f (x) 在区间[ɑ, b]上连续, 当x取[ɑ, b]上任一定值时, 有唯一确定值与对x应。因此, 在区间[ɑ, b]上确定了一个x的函数, 称它为变上限定积分所确定的函数, 即变上限定积分。记为准 含变限积分的极限问题是求极限的一个难点, 下面笔者就对含变限积分的极限求法做一探讨。

1 用洛必达法则求之

带有变限积分的0/0型或∞/∞型的极限问题一般用洛必达法则求之。这是求含变限积分的极限的一般方法。

例2:设函数f (x) 可导, 且

解:令u=xn-tn, 则du=-ntn-1dt, 且t=0、x时, u=xn、0。

例3:设f (x) 连续, (A为常数) , 求准′ (x) 并讨论准′ (x) 在x=0处的连续性。

解:令xt=z, 则 。当t=0时, z=0;当t=1时, z=x。

故知准φ (x) 在x=0处连续。

2 用等价无穷小代换求之

变限积分中常用的等价无穷小有下列几对:

由等价无穷小的传递性得到

上述一系列结果可通过对被积函数求极限用相应的等价无穷小代换, 再积分得到。根据这一原则也可求出其它未列出的变限积分中的等价无穷小。

f (x) 与g (x) 是同阶无穷小。

证明:

所以f (x) 与g (x) 是同阶无穷小。

解:因为当x→0时, ɑx-sinx→0, 且极限c≠0

3 使用积分中值定理求之

积分中值定理:设函数f (x) 在[ɑ, b]上连续, 则在[ɑ, b]上至少存在一点ξ, 使ɑ乙bf (x) dx=f (ξ) · (b-ɑ) 。利用该定理可求含变限积分的极限。

例7:若f (x) 连续, 求

解:由积分中值定理知, 存在点ξ∈ (ɑ, x) , 使

例8:设函数f (x) 在 (-∞, +∞) 内有连续导数, 证明

证:由积分中值定理, 存在ξ∈[-x, x], 使

再用拉格朗日中值定理, 得到:

解:由积分中值定理有

摘要：本文主要通过一些典型例题对含变限积分的极限求法进行了探讨。包括:用洛必达法则求之、用等价无穷小代换求之、使用积分中值定理求之等。

关键词：变限积分,极限

参考文献

[1] 朱弘毅.高等数学[M].上海科学技术出版社, 2002.6.

[2] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].华中科技大学出版社, 2001.10.

[3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].东北大学出版社, 2000.3.