求极限方法小结(实用易懂)

求极限方法小结(实用易懂)（精选15篇）

篇1：求极限方法小结(实用易懂)

求极限的方法小结 要了解极限首先看看的定义哦 A.某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，但在该点周围(数列除外）的必 某点处的极限与该点处有无定义和连续无关，某点处的极限与该点处有无定义和连续无关 但在该点周围(数列除外）须连续 B.了解左右极限的定义 了解左右极限的定义 C.极限的四则和乘方运算 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 D.区别数列极限与函数极限的不同之处 E.注意自变量在趋近值的微小范围内 注意自变量在趋近值的微小范围内，E.注意自变量在趋近值的微小范围内，可以利用它同 B 一起去绝对值

1、代入法——在极限点处利用函数的连续性求极限 ——在极限点处利用函数的连续性求极限、代入法—— Lim(x+1)=2(x->1)2.约分法——分解因式 Lim(x2-1)/(x-1)=2(x->1)约分法—— ——分解因式 这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）（这只是最简单的约分法，同时还有分母，分子有理化。通分后在用约分法）3.利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。利用图象——反比例函数、指数、对数、三角函数。。。——反比例函数 Lim1/x=0(x->∞),limax=0(1-∞)、limarctanx=π/2(x->∞)、4 2 4 3 Lim(4x +x +1)/(x +x +1)=(4+1/x 2 +1/x 4)/(1+1/x+1/x4)=4(x->∞)

4、比值法、Lima n/n!(n->∞,a>0)因为（因为（a n+1 /（n+1）!）/（a n/n!）=a/(n+1)(n->∞,a>0)（）））n+1 n 所以 0<（a /（n+1）!）/（a /n!）=a/(n+1)<1 所以 Lima n/n!=0（（）））n 2(求 limn /n!=_(n->∞)求

5、极限与导数 —— 利用导数的定义 Lim(e x-1)/x=（ex）、（x=0）=1(x->0)——利用导数的定义、极限与导数——（）6.有界函数与无穷小的积仍为无穷小 Limsinx/x=0(x->-∞)7.利用等价无穷小 X~sinx~tanx~arctanx ~ e x-1~ln(x+1),1-cosx~1/2*x 2 ,(1+ax)b-1~abx, a x-1~xlna< x->0> Limtan 2 x/(1-cosx)=2(x->0)（在利用无穷小时注意它不是充分必要的即应用无穷小转化后若极限不存 不能得到原极限不存在）在，不能得到原极限不存在）8.利用重要极限 利用重要极限____lim(1+x)1/x=e(1 ∞)利用重要极限 Lim(1+sin2x)x2=elim sin2x/x2(解释 sin2x/x2)=e(中间的配凑略 中间的配凑略)解释 中间的配凑略 1/f(x)limg(x)/f(x)Lim(1+g(x))=e(g(x),f(x)都是无穷小 都是无穷小)都是无穷小 ∞(1 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的 取对数法是幂指 是很重要的一个极限，它可以用取对数法，还有就是上面的.取对数法是幂指 函数的通法，时上述方法就显得更简单了恩）函数的通法，当看见 1∞时上述方法就显得更简单了恩）9.利用洛比达法则 可转化

为 0/0, ∞/∞型)利用洛比达法则(可转化为 Lim=x/sinx(x->0)利用洛比达法则 型 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。（对于未定式都可用 洛比达法则哈只需稍微的转化哈。同时它同 7 一样都不是 充要的哦)充要的哦)10.利用泰勒公式 利用泰勒公式 Lim(sinx-xcosx)/sinx 3(x->0)=lim(x-x 3 /3!+o(x 3)-x+x 2 /2!-0(x 3))/x 3 =lim(x 3 /3+o(x 3))/ x 3 =1/3(在极限中很少用，但可以解决一些特殊的高数上有哈）在极限中很少用，在极限中很少用 但可以解决一些特殊的高数上有哈）11.极限与积分 ___就是利用积分的定义 极限与积分 就是利用积分的定义 _______

解:

=

12.利用柯西准则来求！12.利用柯西准则来求！利用柯西准则来求 柯西准则： 要使{xn} {xn}有极限的充要条件使任给 ε>0,存在自然数 柯西准则 ： 要使 {xn} 有极限的充要条件使任给 ε>0, 存在自然数 N，使 得当 n>N 时，对于 |xn任意的自然数 m 有 |xn1)/(x^1/n-1)：＝n/m.可令 x=y^mn 得 ：＝ n/m.14.利用单调有界必有极限来求 14.利用单调有界必有极限来求 证明： x1＝。。。）存在极限 存在极限，证明：数列 x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5(n=1,2,。。。）存在极限，并求出极限值 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜ 由归纳法 x1=√2＜2,设 xn＜2,则 x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞ 2,xn 有 界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn 有 界,∴xn 有极限 a,在 x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限 a,在 :a∧2-2=0,a=2,(a=得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1 舍).15.利用夹逼准则求极限 15.利用夹逼准则求极限 16.求数列极限时 可以先算出其极限值，然后再证明。求数列极限时，16.求数列极限时，可以先算出其极限值，然后再证明。17.利用级数收敛的必要条件求极限 17.利用级数收敛的必要条件求极限 18.利用幂级数的和函数求极限 18.利用幂级数的和函数求极限

篇2：求极限方法小结(实用易懂)

求极限方法大概归结为：一 利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。二 转化为已知极限。这里通常利用如下手段进行转化。

（一）夹逼定理

（二）初等变形，如分解因式、有理化、换元等。其依据为极限的运算法则（四则运算法则、复合法则、有界乘无穷小、连续函数极限值等于函数值、将求数列极限有的可转化为求函数极限、泰勒公式）

（三）ana,等价无穷小替换

（四）洛必达法则及中值定理

（五）公式：limn

则limna1a2

ana；a

（六）转化为级数。三 转化nn

为定积分。另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。记

an0住以下极限是有好处的。limn

nxa

1；n1a

0；

1nsinx011lim11；lim，（型）；（型）1elim1ex0nxx0nx

一 利用单调有界数列定理求极限

例 1 x1

3，xn1limxn n

练习x1，xn1limxn n

2x111，xn11xn，求limxn n22

n 例 2 已知0x1，xn1sinxn，求limxn

练习limsinsinsinn n

n例3已知方程xnxn1x1(n2)在0,1内有唯一正根记为xn，证明limxn

存在并求limxn。n

二 转化为已知极限

（一）夹逼定理

例1 lim

n!，nnn



例limn

111

练习1 lim222 nn1n2nn

：n3

：

nx1lim(12例3(1)lim(2)xxx0

x

3).x

（二）初等变形

2n1)13

例1（1）lim(333n

nnn

)(1)(1练习1：lim(1

nx33x2

（2）lim x1x44x3

3161112)2：lim(12)(12)(12)n23nn(n1)

xx2x3xnn31

lim练习1：lim，2： 3

： 3x1x11xxx11x

（3）lim

x

2x1

x2

2exex2exexln(12x)

练习1：xlim，2：xlim 3:lim ex2exex2exxln(13x)例2

（有理化）n

练习1

：x1

：x0x)tanx 例3（换元）lim(1

x1



2sinx

例4（有界乘无穷小）lim xx

arctanx lim练习1：lim 2：xx01cosxln(1x)x

sinxx2sin

11 例5（将求数列极限转化为求函数极限）lim

n1nsin

n

ntan

111cos练习1：lim2：limcos nnnnn

n2

n

例6（两个重要极限的应用）

nsin（1）lim

n

xn

练习1：lim

x0

sinxn

sinx

x

m

2：lim

xa

sinxsina

xa

x2

（2）lim xx1

1

练习1：lim12：limcosx x0x

x

kx

ln1x1

cosx

x4

xsinx2(1cosx)sinxtanx

lim练习1：lim2： 43x0x0xx

（三）等价无穷小替换

例7（泰勒公式）lim

x0

e



x22

x0时，sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx

12x 2

ln(1x)x；ex1x；1x1x 例1 lim

x0



tanxsinx

sinx

练习1：lim

x1

1cosx

x1

：

x0

例2 lim

x0

lnxexxx

1x

3x5x1sinxcosxlimlim练习1

： 2： 3: x0x01sinpxcospxx12

esinx1

例3 lim x0arcsinx2

ecosxe

练习limx0tan2x例4

x0ln1xe1

（四）洛必达法则

0xsinxlncosax

lim例1（，型）（1）lim（2）x0x00xxcosxlncosbx

x0

练习1

：2：

x1sinx32

1

练习1：lim

xa

lnx

4：xlim

xn

(1x)eax12sinx

2：lim 3：lim x0xxxacos3xxn

n0 5：xlim

ex

xa

1x

0,n为自然数

例2（型）lim（11)x0x2xtanx

11111)2：lim(x)3：lim(xx2ln(1))练习1：lim（x1lnxx0xxx1e1x

x

xtan 例3（0型）limx2arcsinxcotx 2：limlnxln(x1)练习1：lim

x0

x1

x（2）lim1x例4（01型）（1）limx



1x

cos

x

x1



x（3）limx1

11x

例5（微分中值定理）（1）lim

x0

tanxtansinxsectanxsecsinx

lim（2）33x0sin2xsinxcostanxcossinx



ab2lim练习1：lim 2：arctanxa0,b0 x0x2aa

an

a；a

（五）公式：limana,则lim12

nnnn

例

（六）转化为级数

x

1x1x

x

三 转化为定积分

1n例 limnni1

1pnp练习1

：limln 2：lim

nnnp1n

p0

四 考察左右极限

x2esinx 例 lim1x0xx

e1

五 关于含参极限及已知极限确定参数

例1（含参极限）

x2(a1)xa1:limxax3a3

(xa)(x1)(x1)

limlim2xa(xa)(x2axa2)xa(xaxa2)a1

2a03aa0

1

练习limxsin

x0x

2（已知极限确定参数）（1）x0

求出a,b。

（2）limx)0求

,

x

并求limxx)（a0)

x

由limx)

0有0lim

x

x

x

x

x

lim)

xx得

lim)=lim

x

x

求limxx

)

x

limx

x

lim

x

lim

b2

(c)x

x

b2c

2

(x21)2ab(x1)c(x1)2

篇3：求极限的方法

一、“变换代入法”

有的函数可通过初等代数变换 (如因式分解或分子.分母有理化, 或分子和分母同除以代数式, 化简去掉零子或无穷大因式, 再利用极限运算法则和连续函数定义undefined代入即可.

例1 求f (x) =|x-2|, 求undefined

解undefined

例2 (0801) 求undefined

解undefined

例undefined.

解undefined

二、“公式法”

利用两个重要极限公式:undefined和代数函数当x→∞极限:

undefined

利用上述公式关键是认清它们的标准形式和蕴涵的条件, 并能熟悉它们的扩充和变形形式, 如:

undefined

对于不符合条件不能使用, 例如undefined不能用上述公式, 可利用无穷小量的性质求得undefined.考题一般需要通过代数、三角变换或变量替换后, 化为符合公式条件下才应用.两个重要公式几乎每次都考到.有时单独使用, 更常与其他方法 (如利用函数的连续性质等) 综合使用, 特别是对于连续的复合函数, 极限符号可以先与函数符号交换, undefined, 再根据函数的形式选择相应的方法.

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例undefined

undefined

例6 (1001) 求undefined

undefined

例undefined

解undefined

三、“求导法”

对于未定式极限undefined, 常直接利用洛必达法则 (先分别求出分子和分母的导数再求极限) .其他未定式极限:0·∞, ∞-∞, ∞0, 0∞, 1∞, 可通过通分、对数数恒变形等手段化为undefined.利用洛必达法则是求未定式极限的常用有效的办法.但必须注意只有undefined, 且undefined存在方可直接利用, 而且只要条件符合可多次使用.用法则失败时, 要考虑用其他办法解决.用洛必达法则时常常结合使用其他方法 (如用无穷小替换定理) .此方法每年必考.

例8 (0901) 求极限undefined

解undefined

例undefined

undefined

例10 (0907) 求极限undefined

undefined

例undefined

解 原式undefined

例undefined

undefined

另解undefined

∴原式undefined

四、“无穷小法”

利用无穷小的性质 (如无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量) 及无穷小替换定理也是常用的方法.无穷小替代, 注意不能进行和差分别代换, 只能整体代换.常用的无穷小替换有:undefined

此方法常和其他方法结合使用.

例13 (0807) 求极限undefined

解 原式undefined

例14 (1001) 求限极undefined

解undefined原式=0.

例15 (0904) 求极限undefined

undefined

又undefined原式=0.

例undefined

解 此题属1∞型.设undefined

undefined

五、“求单侧极限法”

对于分段函数分段点两侧表达式不同的分段点极限要分别求出左右极限, 然后才能判断函数在该点的极限是否存在.

例17 (1001) 已知

undefined

在x=1处连续, 则k=____.

解 此题关键是求undefined是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

A.2 B.1 C.4 D.∞

解 x=2是分段点但两侧表达式相同.

undefined

例19 (1004) 已知

解 x=1是分段点且两侧表达式不同, 要分别求出左右极限.

undefined

六、其他方法

另外对于一些特殊复杂的数列, 要采取相应的特殊方法, 如用夹逼准则、单调有界数列必有极限法则或用等比和等差求和公式先求和再求极限等方法.

例undefined

A.0 B.1 C.不存在D.∞

undefined

又undefined原式=1.

例undefined

A.6 B.3 C.2 D.∞

解 根据等比数列前n项和公式得undefined

∴原式undefined

极限是高数最基本的概念.导数、定积分定义式是极限形式, 级数也与极限密切相关.因此, 利用这些导数、积分、级数知识可丰富求极限的方法.如利用导数、定积分定义、中值定理、泰勒公式、级数也可求极限.对于有些特殊极限还可利用定义和柯西准则.解答题中求极限一般需诸法并用.

例22 (0807) 设f′ (1) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例23 (0810) 设f′ (0) =1, 则undefined

解 根据导数定义, undefined

∴原式undefined

例24 (1004) 设函数

undefined

试确定常数a和b的值, 使得在x=0处连续.

解 此题是综合题, 关键是求undefined,

因为x=0是分段点且两侧表达式不同,

所以要分别求出左右极限.

undefined (变换代入法) .

undefined (用公式法) .

undefined

摘要：极限运算是高等数学中的最基本运算, 本文结合近年来的全国自考高数 (一) 题目谈谈求极限常用方法.

篇4：求极限方法的研究

【关键词】极限；洛必达法则；夹逼准则；连续性质；泰勒公式；无穷小

极限是在实践中产生的，例如我国古代在求圆的面积时，应用割圆术来求圆的面积，从而产生了极限的思想。而极限是微积分中的一个重要概念，微积分的思想就是极限的思想。因此极限对于微积分来说就显得尤为重要。下面我就从五个方面来研究求极限的方法。

一、按定义证明

利用极限的定义来论证某个数A是函数的极限时，重要的是对于任意的正数ε，要能够指出定义中所说的这种δ确实存在。

例如证明

证明由于

为了使 ，只要

所以， ，可取 ，则当 适合不等式 时，对应的函数值 就满足不等式

从而

二、按运算法则计算

1.利用无穷小法则

两个无穷小的和的极限是无穷小，有界函数与无穷小的和是无穷小，常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小。

例如 =0 这是有界函数与无穷小的和是无穷小的例题

，而 是有界函数

2.利用四则运算法则

如果 ， ，那么lim[f（x）±g（x）]=A±B

lim[f（x）·g（x）]=A·B

例如

3.利用复合运算法则

设函数y=f[g（x）]是由函数 与函数 复合而成，f[g（x）]在点 的某去心邻域内有定义，若 ， ，且存在 ，当 时，有 ，则

例如 ， 是由 与 复合而成

三、按洛必达法则计算

当极限是未定式时，就可以用洛必达法则计算。

例如

四、按夹逼准则计算

如果（1） 时，

（2）

。那么

例如计算

又

五、按无穷小等价代换定理计算

设 ～ ， ～ 且 存在，则

例如计算

解：当 时， ～ ， ～ ，所以

六、按连续性质计算

设函数 在 的某邻域内连续，那么

例如计算

七、按泰勒公式计算

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，可求某一些未定式的极限

例如计算

八、重要极限

例如计算

极限是变量变化的一种趋势，求极限的方法的研究，其实就是研究变量的一种基本的方法。在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

在高等数学学习中，极限起着非常重要的作用。而求极限的方法变化多端、因题而异，本文通过对一些基本法的归纳总结，可以对我们求极限起到一定的启发作用。

参考文献：

[1]同济大学数学系 高等数学 第七版上下[M].北京： 高等教育出版社，2014.

[2]方桂英.高等数学[M].北京： 科学出版社，2009.

作者简介：

篇5：总结16种方法求极限

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

函数是表皮

函数的性质也体现在积分 微分中

例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质

1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样

（奇函数相加为0）

2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致

3复合函数之间是自变量与应变量互换的关系

4还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！）

（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）

:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以 间断点 是对于间断函数而言的）

间断点分为第一类和第二类剪断点

1第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者 左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点

地二类 间断点是震荡间断点或者是无穷极端点

（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）

:o 下面总结一下

求极限的一般题型

1求分段函数的极限

当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！

当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为 E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？

说白了就是说 函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！解决办法 ：

1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？

但是！！！有2个问题要注意！！

问题1积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！

问题2被积分函数中 既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？

解决1的方法：就是方法2微分中值定理！！！！！

微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！

解决2的方法 ： 当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！

当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要 换元了！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！）

3求的是数列极限的问题时候

夹逼 或者 分项求和 定积分都不可以的时候

就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的当所求的极限是递推数列的时候

首先 ： 判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义！！应为是 离散的只能用前后项的 比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用 归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！

4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题

解决办法 ：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。应为例如当x趋近0时候f（x）比x =3的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷

还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他 法则 可以消掉模些未知数，求其他的未知数极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！

:o最后 总结 一下间断点的题型

首先 遇见间断点的问题 连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。

主要解决办法是3个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了

你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！

（在这里尤其要注意分段函数！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！应为一般的函数都是连续的）

方法2就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！）

例如 一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？

答案是NO举个反例就可以了

方法3上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式

:o最后了

总结一下 函数 在抹一点是否可导 的问题

1首先 函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0，0）不可导，我的理解就是 ：不可导=在这点上图形不光滑。可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等

1主要考点 1

函数在抹一点可导，他的 绝对值函数在这点是否可导 ？

解决办法：记住 函数绝对值的导数等于f（x）除以（绝对值（f（x）））再 乘以F（x）的导数。

所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊

考点2

处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断

直接使用导数的定义就能证明，我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候

篇6：数分求极限的方法总结

解决极限的方法有那些?各位都知道，求数的极限一直是我们的难点，所以为大家带来了数分求极限的方法。

数分求极限的方法总结

1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!

5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!

6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。

8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右极限的.方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限)

11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!x的x次方快于x!快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。

12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。

13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。

14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!

16、直接使用求导数的定义来求极限，(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减某个值)加减f(x)的形式,看见了要特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时候f(0)导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义!

函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：

1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样(奇函数相加为0);

2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;

3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;

篇7：考研数学 求极限十大方法总结

考研数学 考试中学生常犯的五种错误

2014考研数学 大纲公布前后复习要点

2014考研数学复习：尝试转变做题方式

2014考研数学 避免误区 迎头赶上

1、利用定义求极限。考研 教育网

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|

3、利用极限的运算性质及已知的.极限来求。

如：lim（x+x^0.5）^0.5/（x+1）^0.5

=lim（x^0.5）（1+1/x^0.5）^0.5/（x^0.5）（1+1/x）^0.5 =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim （x^1/m-1）/（x^1/n-1）

可令x=y^mn

得：=n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

x->0

（2）lim （1+1/n）^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的，使用过程中大家一定要注意使用条件。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

篇8：求数列极限的若干方法

一、数列极限的概念

定义 (数列极限) :设{an}为数列, a为实数, 若对任给的正数ε, 总存在正整数N, 使得当n>N时, 有

undefined,

则称数列{an}收敛于a, 实数a称为数列{an}的极限, 并记作

undefined或an→a (n→+∞)

由于n限于取正整数, 所以在数列极限的记号中把n→+∞写成n→∞, 即

undefined或an→a (n→∞)

若数列{an}没有极限, 则称{an}不收敛, 或称{an}为发散数列。

二、数列极限的求解方法

1.利用初等变形求极限

对于某些较烦琐的数列{an}, 可用初等数学的方法将其变形, 转化为一个简单的数列, 然后再对之求极限。

例1:求极限undefined

解:由于undefined

故有undefined

2.利用变量替换求极限

有时为了将已知的极限化简, 转化已知的极限, 可根据极限式的特点, 适当引入变量, 以替换原有的变量, 使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

例2:求极限undefined

解:令n=-m, 则

undefined

3.利用单调有界定理求极限

定理 (单调有界定理) :单调有界的数列必有极限。

有上界的递增数列必有极限;有下界的递减数列必有极限。

例3:证明数列undefined收敛, 并求其极限。

证明:令undefined, 有undefined

易见数列{an}是递增的, 用数学归纳法证明{an}有上界。

容易看出, 当n=1时, 有undefined

假设n=k时, ak<2, 则undefined

从而对一切n∈N+有an<2, 即{an}有上界。

由单调有界定理, 知数列{an}收敛。

设undefined。由于aundefined=2+an, 式子两边取极限得a2=2+a

即有 (a+1) (a-2) =0, 解得a=-1, a=2

由数列极限的保不等式性, a=-1舍, 故有undefined

4.利用迫敛性求极限

当数列极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小, 使放大、缩小所得的新数列易于求极限, 且两端的极限值相等, 则原数列的极限值存在, 且等于它们的公共值。

例4:求极限undefined

解:因为undefined

又undefined

则根据迫敛性定理, 有

undefined

三、利用微积分相关理论求数列极限

利用定积分定义求极限。

定义:设函数f (x) 在区间[a, b]上有定义, 用分点a=x0

Δxi=xi-xi-1 (i=1, 2, …, n)

记λ=max{Δx1, Δx2, …, Δxn}, 在每个小区间[xi-1, xi] (i=1, 2, …, n) 上, 任意取一点ξi (xi-1≤ξi≤xi作和

undefined,

称此和为f (x) 在[a, b]上的一个积分和, 现令λ→0, 若积分和σn有极限I, 这个I与分割[a, b]的分法以及ξi的取法无关, 则称此极限值I为函数f (x) 在区间[a, b]上的定积分, 记作

undefined

例5:求极限undefined

解undefined

上式的和是undefined在[0, 1]的特殊积分和。它是把[0, 1]n等分, ξi取为undefined的右端点 (即undefined构成的积分和。因为函数undefined在[0, 1]上可积, 由定积分定义, 有

undefined

利用定积分定义求某些和式的极限, 先要将和式表达成某函数在某区间上的一个积分和, 它的极限就是一个定积分。

四、利用级数理论求数列极限

1.利用级数展开式求极限

级数是一个无穷序列的和的形式, 其部分和就是一个数列。有时为了方便, 可将数列极限看做是某个级数的部分和, 这样能更方便、更简捷地求出数列的极限。

例6:求极限undefined

解:令

undefined

取x=1, 即得

undefined

故undefined

2.利用级数收敛的必要条件求极限

定理:若级数undefined收敛, 则undefined

例7:求极限undefined

解:考察级数undefined

因为undefined

所以级数undefined收敛, 从而undefined

结论:求解极限的方法很多, 而且非常灵活, 因此学会判断极限的类型, 对于找到解决问题的方法是至关重要的。在原有知识体系的基础上加以整理和归纳, 给出了数列极限的基本概念, 详细介绍了数列极限的定理及性质, 并且主要针对数列极限概括出具有代表性的各种求解方法, 以及如何运用这些方法来求解极限问题。

在实际生产、生活中极限的应用十分广泛, 例如, 求解物体的质量, 实际工程的测量都会用到极限方法。考虑到极限与生活中大量现实问题相关, 因此, 对极限的研究必然会引起越来越多的关注。

摘要：极限理论是微积分的基础, 在数学分析中占有重要的地位, 在实际生活中极限也有着很广泛的应用。从数列极限的定义及相关性质出发, 通过归纳和总结, 从不同角度概括出数列极限求解的方法, 这些方法在极限的实际应用中具有广泛的适用性。

关键词：微积分,数列极限,方法

参考文献

[1]陈传璋.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1983:32-57.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001:35-56.

[3]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 2003:83-89.

[4]胡喜和.谈求极限的方法[J].内蒙古电大学刊, 2005, 1 (8) :108-109.

篇9：复变函数求极限的方法

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

篇10：常用求极限方法的探索与总结

学院：——————————

专业班级：—————————— 姓名：—————————— 学号：——————

常用求极限方法的探究与总结

摘要：求数列和函数极限是高等数学中的一个重点也是难点。题目类型不同，解题方法就可能不一样。根据本学期所学内容，本文将会探索和总结一些求极限的常用方法。

关键词：极限夹逼定理等价无穷小 海涅定理 泰勒公式 拉格朗日中值定理 正文：

一.用极限定义证明某一极限的正确性

例1

篇11：高等数学微积分求极限的方法整理

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

篇12：几种直接求极限的方法

1.消去法

消去法的主要思想是通过恒等变形, 消去不定性, 再求极限.2

因为造成的原因是分子分母含有 (x-3) 的因子, 当x→3时, (x→3) →0 (但不等于0) .所以, 分子分母可以同除以 (x-3) , 以消去不定性.

2.公式法

所谓公式法, 就是将函数进行恒等变形, 使其可利用已知其极限的重要极限有时还必须利用消去法, 函数的连续性和幂指函数的极限等.

3.代替法

4.法则法

所谓法则法, 就是利用洛必塔法则, 它基于下述定理:

在应用洛必塔法则时, 要特别注意下述两点:

1.洛必塔法则只适应于型的不定式, 而不能应用于非不定式的场合, 否则将导致错误.

结果显然是错误的.

篇13：浅谈用马克劳林公式求极限方法

【关键词】 函数极限；马克劳林公式

【Abstract】This paper has summarized and analyzed in getting function limit process， how to use Maclaurin formula the function expansion and to calculate the limit of function and through examples made specific instructions.

【Key Words】function limit， maclaurin formula

【中图分类号】 G64.22【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2016）25-0-01

当型中出现或或，且用洛必达法则求解较复杂或不可用时，用马克劳林公式求函数极限比较方便。

函数应该展开到的几次方，分为两种情形

一、型，“上下同次”

例 试确定常数的值，使得其中是当时比高阶的无穷小。

参考文献：

篇14：利用等价无穷小量求极限方法评析

一、等价无穷小量替换原理

在求极限问题中, 利用上述原理, 对被求极限函数式中的无穷小量进行相互替换, 达到简化函数式的目的, 是一种行之有效的求极限方法.下面介绍两种类型.

二、方法评析

类型一利用sin (mx) ～mx, tan (mx) ～mx (x→0)

当被求极限的函数式中含有sin (mx) 或tan (mx) 时, 求极限时, 利用等价无穷小量间替换的方法较为简便.

这是通常采用的方法, 利用了重要极限公式或.如果我们能够掌握sin5x～5x, tan2x～2x (x→0) , 利用等价无穷小量间的相互替换, 则有如下解决方案:

解决方案二因x→0时, sin5x～5x, tan2x～2x,

故:原式=.

lim x→02x5x=25

显然, 解决方案二较解决方案一简便得多.再举一例.

实例2求.

解决方案因x→0时, sinmx～mx, sinnx～nx,

故:原式=.

利用等价无穷小量间的相互替换, 还应注意灵活应用.如以下两例.

本例利用了等价关系:x→0时, sin

在利用等价无穷小量替换时, 对代数式中的某一项不能简单地进行替换.如求, 若直接利用sinx～x, tanx～x, 就会得到对本问题的错误结论.究其原因, 是因为当x→0时, tanx-sinx并不等价于x-x, 故应寻求其他方法.

类型二利用ln (1+x) ～x (x→0)

在工程问题中, 经常会遇到含有ln (1+x) 的函数式, 若能正确利用ln (1+x) ～x (x→0) , 对ln (1+x) 用x进行替换, 计算将十分简便.

在实例6中, 巧妙地将因x→0时, ln (1+x) ～x, 延伸到x→0时, ln (1+x2) ～x2, 使得本问题的解决方案简单明了.

三、结语

从以上实例的解决方案看到, 利用等价无穷小量间的替换求极限, 往往较其他方法简便.但在应用时需要注意四点:一是准确掌握基本的等价无穷小量替换式.如:x→0时, sinx～x, tanx～x, ln (1+x) ～x等.二是能对基本的等价无穷小量替换式进行延伸.如:x→0时, sinmx～mx, tanmx～mx, ln (1+x2) ～x2等.三是能应用三角恒等变换或代数恒等变换, 将被求极限的函数式进行变形.如上述实例3、实例4.四是必须满足等价无穷小量替换原理, 不可任意替换被求极限的函数式中的某一项.如上述实例4中的反例.

参考文献

篇15：实用、易懂最难得等

我曾经记得，贵刊的办刊宗旨是“实用”，我相信，一直以来，这都是你们所追求的目标。站在读者的角度来说，做的还不错。但是，有时候总会觉得，有些文章写得太过于“高高在上”。当然，不仅仅是贵刊，很多刊物都存在这样的问题。

说说这期“保单”。首先，选题不错，空难、公交意外等都是近期热点，由热点写到保险，拉近了刊物与读者的关系。其次，文章语言通俗、易懂，比较白话，没有那么多专业术语，文中也不乏实用的建议。但从文章的整体来看，似乎还是有些“意犹未尽”，譬如，像军人、警察这样的高危人群，到底需要啥保险，家政险保姆的故事说明了什么?

我们的意思是，文章的确需要价值，但更需要读起来不累!

河南读者古金

财规划太按套路出牌

如果没有记错的话，“财规划”这个栏目是贵刊保留栏目，一直感觉都还不错，能对我的理财生活有点启示。但是，读久了就发现，每期规划都是按一个套路“出牌”：案例一分析一目标一建议。且案例的主人公除了姓氏有别，财务数据多少有差异外，理财目标几乎都无多大差别。人们的生活是多姿多彩的，不可能一个模样，理财生活又怎会千篇一律?这样一个针对性非常强的栏目能不能做得活泼一些呢?

用户名liuzq_800

编辑部反馈：感谢您的支持和建议，我们也意识到了这个问题，正在寻求突破，力求及时调整编辑思路。实际上。这个栏目的初衷也是希望能够和读者达成互动，帮助读者解决现实生活中理财规划、方案方面的困惑。假如您需要一个为自己量身定做的方案，可以给我们来信。再次感谢您的关注!

财学院，做财迷的学院

我比较喜欢“财学院”这个栏目。说说理由。

答疑。我曾经提问过，也得到了满意的答复。所以，谢谢编辑，谢谢好买基金的解答。建议大家多读读，可以从别人的问题中学习解决问题的方法，为自己遇到的问题找到答案。

法眼看理财。真正做到了“投资金融产品，律师把关合同”，专业人士就是专业人士，我们需要这样的把关。建议再多一些实际的案例。

普知。就我理解，应该是华夏基金的专栏吧!无论是跟大师学投资智慧，还是像这期以某些事件找启示，都对投资者起到了投资者教育的作用，效果不错。

读书。曾经有人表扬过了，意见一致，恕不赘述。

博客。我建议把这个小栏目移到“财生活”里。我觉得博客写出来的东西也应该是作者在生活中的见闻和思考，有些纯属调侃的东西应该不属于学院派吧!

还有，希望有更多更精彩的内容加入到此栏目中。

重庆读者韩锐

编辑部反馈：真心希望大家可以从“财学院”中得到自己想要的。谢谢您的建议，我们套及时反馈给作者和编辑。

标题不够吸引眼球

我有个习惯，翻杂志，首先看标题。贵刊的内容不错，就是觉得标题有时候还是欠点火候，有点学院化，也许“财经”、“理财”等词语还是属于比较严肃的话题吧!

无锡读者王一