二重极限的计算方法(学年论文)

二重极限的计算方法(学年论文)（精选7篇）

篇1：二重极限的计算方法(学年论文)

二重极限的计算方法小结

内 容 摘 要

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限 变量代换等 不存在的证明

目 录

序言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„

1一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证………„„„„„„1(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定„„„„„„„„ 1(二)由累次极限猜想极限值再加以验证„„„„„„„„„„2(三)采用对数法求极限„„„„„„„„„„„„„„„„„2(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限„„„3(五)等价无穷小代换„„„„„„„„„„„„„„„„„„3(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量„„„„„„4(七)多元函数收敛判别方法„„„„„„„„„„„„„„„4(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限„„„„5(九)极坐标代换法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6(十)用多元函数收敛判别的方法„„„„„„„„„„„„„7

二、证明二重极限不存在的几种方法………………………………… 7 总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11 I

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量(x,y)的不同变化趋势和函数f(x,y)的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。一、二重极限的计算方法小结

(一)利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出来。

x3y例1 讨论f(x,y)2，在点的极限。

xy2[1]解 令ymx

x0ymxlimx3ymx4m2limlimx0

x2y2x0ymx(1m2)x01m2x3y应为此路径为特殊路径，故不能说明lim0.可以猜测值为0。

x0y0x2y2下面再利用定义法证明：0，取2

当0(x0)2(y0)2 有x2x2y22

x3yx3y12x3y12由于2 即有0xx 2222xy22xyxyx3y故lim0.x0y0x2y2注意（1）的任意性

（2）一般随而变化

（3）若函数以A为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+，A-）。

(二)由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2[2] 设f(x,y)(xy)sin221(x2y20)。求limf(x,y)22x0y0xy解 limlimf(x,y)0可以猜测有极限值为0.事实上对任意的(x,y)(0,0)

x0y0有f(x,y)0(xy)sin2212222xyxy，22xy0 取，当x，y，(x,y)(0,0)时，2就有(x2y2)sin10，即有limf(x,y)0 22x0y0xy(三)采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求 解

1sinxyx0y0lim(1xy)(1xy)

1sinxy1xyxysinxyx0y0lim1sinxyx0y0limeln(1xy)x0y0limeln(1xy)

1xy 因为

xyxyln(1xy)lne1 1而且limx0y0sinxy1x0y0lim 所以

1sinxyx0y0lim(1xy)e

(四)利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

1 lim1lim(1x)xe xx0xsinx

1limx0x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1x)x0y01x(xy)（2）limsinxy

x0yax解（1）因为

lim(1x)e，limx01x11

x0y2xy2 所以

1x(xy)1xyx0y2lim(1x)lim(1x)x0y21xe（2）由于

又因为

sinxysinxyy,y0, xxysinxysintlin1(xyt,x0)

x0yat0txylim 所以

sinxysintlinlinya

x0yat0yxtalim(五)等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

33例5 求limsin(xy)

x0y0xy33 解 因为x0,y0,故有xy0

所以sin(x3y3)等价于x3y3

3333故原式为limsin(xy)limxylim(x2xyy2)0

x0y0x0y0x0y0xyxy注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”

(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量

充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6[4]2x3y2 求 lim

x3,y2x32y22 解 因为

2x3y2limx3,y2x32y22limx3y2x3

x3,y2x32y22而

x3y2x32y22又 limx3,y21为有界变量 2x30 故有 原式=0(七)多元函数收敛判别方法

当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7[5] 求 limxx0y0y2

xy2解 因为

x0而

y2x2y2x2y2xy

xyxyxyxy2x0y0limxy0，故

x0y0limxy2

xy2

(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限

有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当x0,y0，二元函数f(x,y)的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有t0从而求得结果。

ln(1x2y2)例8 求 lim 22x0,y0xy解 令x2y2, 则当x0,y0时 0，22ln(1xy)ln(1)于是limlim1 22x0,y00xy2、讨论当x,yaa0常数时，二元函数f(x,y)的极限，作变量代换，相应有t，利用已知一元函数的极限公式。

例9 求 lim1xyaxy解 因为

x2xy1其中a0

11xyx2xy11xyxxy(xy)y

当 x,ya时，令xy=t,相应有t 则

1lim1xyaxy

所以

xy1lim1e ttt1lim1xyaxyx2xyxyalimex1xyln(1)(xy)yxye1a

3、讨论x,y时二元函数f(x,y)的极限

例10 求 解 因为 x,ylim(x2y2)e(xy)

(xy)e22(xy)(x2y2)(xy)2xy2(xy)(xy)(xy)eee当 x,y时，令x+y=t,相应有t

(xy)2t2则 limlimt0

x,ye(xy)tex,ylim2xyxy2limlim0 xyxyx,yx,yeeee所以

x,ylim(x2y2)e(xy)0

(九)极坐标代换法

讨论当x,y0,0时，二元函数f(x,y)的极限，必要时可以用极坐标变换

xrcos,yrsin，即将求f(x,y)当极限问题变换为f(rcos,rsin)求r0的极

限问题。但必须要求在r0的过程中与的取值无关。注意这里不仅对任何固定的在r0时的极限与无关，而且要求在r0过程中可以随r的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明lim[6]x0,y0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)(0,0)x2y2解 令

xrcos，当(x,y)(0,0)时，有r0 yrsin令

x2y2r4cos2sin2r2cos2sin2 222xxr22因为 cossin1

所以

x2y2222limlimrcossin0(x,y)(0,0)x2y2r0

(十)用多元函数收敛判别的方法

通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。

x2y2例12 求 lim

x0y0xy 解 因为

x2y2xy0xy xyxy2而 limx0y0xy0

22xy 所以 lim0

x0y0xy

二、证明二重极限不存在

若二元函数f(p)在区域D有定义，p0(x0,y0)是D的聚点。当动点p(x,y)沿着两条不同的曲线（或点列）诬陷趋近于点p0(x0,y0)，二元函数f(p)，有不同的“极限”，则二元函数f(p)在点p0(x0,y0)不存在极限。依此可以有下面几种方法来证明f(p)在区域D上当pp0时极限不存在。

例1[7] 证明x0y0limln(xey)x2y2不存在

y22证明 函数的定义域为D(x,y)xe,xy0，当点p(x,y)沿着y

轴趋于点(0,0)时，有x=0，而

x0y0limln(xey)x2y2limy0y不存在，y所以

x0y0limln(xey)xy22

当P沿着D中某一连续曲线趋近于点p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限不存在，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 证明x0y0limx4y4不存在

xy证明 函数的定义域为D(x,y)xy0，当点p(x,y)沿着x轴趋于点（0，x4y40）时，lim=0，当点p(x,y)沿着yx(x31)趋于点（0，0）时x0y0xyx4y4x4x4(x31)limlim2 4x0x0xyx所以

x0y0limx4y4不存在

xy当P沿着D中两条不同的连续曲线趋近于p0(x0,y0)时，二元函数f(p)的极限都存在，但不相等，则(x,y(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33xy例3 证明

x0y0lim证明 设xrcos,yrsin函数的定义域为

D(r,)r0,cossin0,0,2



x0y0limx2y2x3y3xlim(r,)D0rcos2sin2 cos3sin3rcos2sin2当0时，sin0得lim0 33x0cossin(r,)D当(331)时cos3sin30,cos2sin2443令cossinr有

x0cos3sin3rlimrcos2sin210

cos3sin34所以

x0y0limx2y2 不存在

x3y3对于一些难以找到的路线，可以利用极坐标来证明 例4[8] 证明 limx0y0x2y2不存在 22x2yx2y2x3证明 limlimf(x,y)limlim2lim2limx0

x0y0x0y0xx0xx02y2x2y2y211 limlimf(x,y)limlim2limlimx0y0x0y0x2y2y02y2y022

即得

x0y0limx2y2x2y2 limlim2222x0y0x2yx2yx0y0因为两个累次极限不想等，所以

limx2y2 不存在 22x2y总结

函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难理解和掌握的部分，特别是二元函数的极限，但二元函数在多元函数微积分学中有着举足轻重的作用，探讨其存在性与求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础。文中列出了利用特殊路径猜得极限值再加以确定、由累次极限猜想极限值再加以验证、采用对数法求极限、利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限、等价无穷小代换、利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量、多元函数收敛判别方法、变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限、极坐标代换法、用多元函数收敛判别的方法等始终二重极限的计算方法及四种二重极限不存在的证明方法。在实际解决二重极限问题时要根据题型不同选择最优的解题方式，不但能提高正确率也可以节省时间和工作量，达到事半功倍的效果。

参考文献

［1］孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］张贵文,汪明凡.关于多元函数的极限[J].数学学习,1983.［3］华东师范大学数学系.数学分析.下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同济大学应用数学系.高等数学(下册)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］阎家灏.正项级数敛散性的一种审敛[J].兰州工业高等专科学校学报,2004.［6］阎家灏.用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例[J].兰州工业高等专科学校学 报,2006.［7］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］张雅平.二重极限的几种求法[J].雁北师范学院学报（自然科学版），2005，（2）..10

篇2：二重极限的计算方法(学年论文)

关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式V(p)一周<。成立，则称A为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一A卜

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

篇3：二重极限求解方法探析

一、用定义验证法求解[1]

先求出一个累次极限,该累次极限是否为二重极限,再用定义验证。

二、利用性质运算的方法求解[2]

1. 函数在连续点的极限与一元函数一样仍等于连续点的函数值。

2. 二元函数极限四则运算仍然成立。

3. 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量。

4. 可利用两个重要极限。

三、用变量代换的方法求解[2,3]

利用变量代换把二重极限化为一元函数的极限或化为易于求解的二重极限,从而求得结果。

四、用多元函数收敛判别法的方法求解[4]

通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间,再利用两边夹定理,推出结果。

五、利用复合函数求解[3]

定理若函数于点存在极限,并且函数于点连续其中,则复合函数于点存在极限,且

六、利用累次极限求解[4]

定理设二重极限存在,且也存在(y也看做常数)则累次极限必定存在,且等于A,即

推论1如果下面三个极限都存在

推论2若累次极限都存在,但不相等,则二重极限一定不存在。

综上所述,可以把一元函数极限的求法推广到二元函数,但是在求解过程中要具体问题具体分析,要理解问题的本质,用最简便,最合理的方法来解决二重极限的求解问题。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].第4版.北京:高等教育出版社,1996.

[2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教育出版社,1992.

[3]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京:高等教育出版社,2004.

篇4：二重积分的计算方法

【关键词】二重积分;直角坐标;极坐标;平移及奇偶性

二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域 的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性;第二步：选择坐标系;第三步：选择积分次序;第四步：确定积分限并计算累次积分。

例题1.计算二重积分 其中积分区域 是由 与曲线 所围成。

方法一：利用直角坐标计算二重积分

解：积分区域

=

方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

解：设 作坐标轴的平移，在 平面上积分区域为

① 關于 对称，被积函数关于 是奇函数，

②

③

例题2.计算 其中积分区域 是由 所确定。

方法一：利用极坐标法计算二重积分

方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分

令 此时 ，则

方法三：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

由于

利用奇偶性可得 而 ，则

方法四：利用积分区域的对称性计算二重积分

解：积分区域 关于 对称且为圆域故形心的坐标在圆心

其中 为积分区域 的形心的横坐标。

例题3：求计算二重积分 其中积分区域 是由 及曲线 所围成。

分析：若把 看成正方形的区域挖去半圆 ，则计算 上的积分自然选用极坐标变换，若只考虑区域 ，则自然考虑先 后 的积分次序化为累次积分，若注意 关于直线 对称，选择平移坐标变换则最为方便。

方法一：选择先 后 的积分次序，则

方法二：方块积分法及极坐标法

在极坐标下

方法二：利用坐标轴的平移计算二重积分

作平移变换则

参考文献：

[1]李正元，李永乐，袁荫棠：《 数学复习全书》，国家行政学院出版社，2013（2）.

篇5：浅谈计算极限的方法与技巧

浅谈计算极限的方法与技巧

作者：徐向东

来源：《学园》2013年第11期

【摘 要】掌握极限的计算是高等数学教学的基本要求，本文归纳了极限计算的一些特别的方法与技巧。

【关键词】极限 方法与技巧 导数 定积分 级数

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）11-0056-02

极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题中不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用，因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而面对许多错综复杂的极限题，许多学生感到茫然失措，本文从高等数学教学目的出发，为了使学生学好极限，总结了求解极限的一些特别的方法与技巧。计算极限的常用的基本方法有下列几种：（1）利用极限定义及极限四则运算法则计算极限；（2）利用连续函数的性质计算极限；（3）利用两个重要极限计算极限；（4）利用洛比塔法则计算极限；（5）利用夹逼定理计算极限；（6）利用单调有界定理计算极限；（7）利用等价无穷小量替代法计算极限；（8）利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质计算极限；（9）利用因式分解、通分、三角公式恒等变形，有理化法计算极限。

十四 利用初等变形计算极限

用初等数学的方法将xn变形，然后求极限。要么分子、分母同乘一个因子，利用初等公式化简，使之出现连锁反应，要么拆通项，或者分解因式使之成为两因式乘积形式，使得中间项相消，从而化简使其易求极限。

参考文献

[1]高文杰等.高等数学全程辅导[M].天津：天津大学出版社，2005

篇6：二元函数极限计算方法研究

二元函数极限计算方法研究

本文主要讨论两个方面的问题.一是二元函数的重极限的计算方法,二是重极限的不存在判别法.

作 者：符兴安 作者单位：楚雄师范学院数学系,云南,楚雄,675000刊 名：楚雄师范学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHUXIONG NORMAL UNIVERSITY年，卷(期)：200318(6)分类号：B171关键词：二元函数 重极限 两边夹

篇7：浅谈极限的计算方法与技巧

【关键词】极限；计算；两个重要极限；等价无穷小；洛必达法则

1 引言

极限概念是深入研究函数变化性态的一个最基本概念，极限方法是数学中最重要的一种思想方法，是微积分学的基础。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如，魏晋时代的数学家刘徽在《九章算术》中利用割圆术，用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率。随着微积分学的诞生，极限作为高等数学中的一个概念被明确提出。但最初提出的这一概念是比较含糊的，因此在数学界引起不少争论。直到19世纪，由柯西、魏尔斯特拉斯等人才将其置于严密的理论基础之上，从而得到了世界的公认。

2 极限的几种计算方法

2.1 利用无穷小量的性质和等价无穷小的代换求极限

2.1.1 无穷小量有下列重要性质：

2.1.1.1 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；

2.1.1.2 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；

2.1.1.3 常量与无穷小量的乘积为无穷小量；

2.1.1.4 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量。

当 时，有下列常见等价无穷小：

sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ln（1+x）～x，ex-1～x，（为非零常数）。

2.1.2 利用等价无穷小代换求极限时应注意以下问题：

2.1.2.1 等价无穷小代换只能对分子或分母中的因式进行代换.

2.1.2.2 在乘除运算中才可以将无穷小用其简单的等价无穷小去替换.

例1：求极限

解：因为当时，x为无穷小量，且，即为有界变量，

由性质（4）得=0.

例2：求极限

解：原式=

例3：求极限

解： 原式

2.2利用极限的四则运算法则求极限

定理1：设，则

①；

②；

③.

也就是说，如果两个函数的极限都存在，那么这两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为分母的函数的极限不能为0）.

由上述定理可以得到下面的推论

推论：设，

①若C为常数， 则；

②若n为正整数，则.

上述法则及推论对于，等情形均成立.

例1：求极限

解：原式==8

在应用极限的四则运算法则时，通常需要先对函数做某些恒等变换或化简，变换的方法通常有分解因式，分子（母）有理化，通分，比较最高次幂法等。

例2：求极限

解： 原式=

例3 求极限

解：原式=

=

例4：求极限

解：原式=

==

例5：求極限

解：原式=

对于此极限，我们有一个一般的结果，用数学式子可表示为：

（l、m为正整数；al， ……，a0，bm， ……b0为常数且al·bm≠0）.

2.3利用两个重要极限求极限

2.3.1

该重要极限在极限计算中有重要作用，它在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可以写成（（ ）代表同样的变量或同样的表达式）.

例1：求极限.

解： 原式=

例2：求极限

解： 原式=

2.3.2

该重要极限在形式上有以下特点：

①它是型未定式.

②它可写成或.

例1：求极限

解：原式=

例2：求极限

解：原式=

2.4 利用洛必达法则求极限

2.4.1 型未定式

定理1：洛必达法则Ⅰ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；

②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；

③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例1 求

解： 原式=

2.4.2 型未定式

定理2：洛必达法则Ⅱ：若函数f （x）与g（x）满足条件

①；②和在点x0 的附近（点x0 可除外）可导，且；③存在（或无穷大）.

则=

上述法则对时的型未定式同样适用.

例2：求

解：原式=

注：利用洛必达法则不仅可以解决型和型未定式的极限问题，还可以解决0·∞型，∞-∞型，1∞型，00型，∞0型等类型的未定式极限问题，解决这些类型未定式的方法，就是经过适当的变换，将它们化为 型或型未定式的极限。

3 结论

极限的计算方法灵活多样，根据题目的特点，合理选择运算方法是关键，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.

[3]数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1995.

[4]陈传璋，金福临编.数学分析（上下册）第二版[M]，高等教育出版社，2006： 123-146.