极限的求法范文

第一篇：极限的求法范文

浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域

，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数()

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。 xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4. x2x

2x244x24x2， 证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4. 这就证明了limf(x)4. x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。 x0

f(x)limf(x)A. 定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1， 解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1. x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)， xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x); xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim. xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0， 等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1). 例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.

1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社,1998.

[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.

[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.

[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001

第二篇：数列极限的几种求法

数学组周彬

摘要:数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列

极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本文就着重介绍数列极限的一些求法。

关键词:数列,极限，收敛

Several kinds of laws of asking of several lines of limit

shuxuezuZhou Bin

Abstract: Several limit theory foundation of calculus, it run through on infinitesimal calculus all the time, it is a infinitesimal calculus important research approach. Several lines of limit are important components of the limit theory, and several lines of limit one asks the law to adopt the law of defining, insert the method on both sides , have circle laws dully , construct the sincere formula law now , ,etc.. This text recommends some of several lines of limit to ask the law emphatically.

Keyword: Several, limit, disappear

以下介绍数列极限的求法:

一、定义法:

数列极限的定义如下:设{an}是一个数列,若存在确定的数a,对>0 N>0使当n>N时,都有

。ana<则称数列{an}收敛于a，记为liman=a，否则称数列{an}不收敛(或称数列{an}发散)n

故可从最原始的定义出发计算数列极限。

例

1、 用-N方法求 limnn1 n

解：令n1=t+1则t>0

n(n1)t2n(n1)t2

n+1=(1t)1nt  22n

n11t2(n1)4n2 n(n1)n(n1)n1

4>0取 N21则当nN时，有

nn2

n1



二、单调有界法： nlimn1=1

首先我们介绍单调有界定理，其内容如下：

在实数系中，有界的单调数列必有极限。

证明：不妨设{an}为有上界的递增数列。由确界原理，数列{an}有上界，记为asup{an}。以下证明a就是{an}的极限。事实上，>0，按上确界的定义，存在数列{an}中某一项aN，使得aaN又由{an}的递增性，当nN时有

aana，

这就证得 limana 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。 n

例

2、证明数列

2,22,222,

收敛，并求其极限。 证：an222，易见数列{an}是递增的。现用数学归纳法来证明{an}有上界。 显然 a122。假设an2,则有an1

即{an}有上界。 2an222，从而对一切n 有an2,

由单调有界定理，数列{an}有极限，记为a 。由于

2an12an ，

2对上式两边取极限得 a2a，即有

(a+1)(a-2)=0，解得 a=-1或a=2

由数列极限的保不等式性，a=-1是不可能的，故有lim2n222

三、运用两边夹法：

迫敛法：(两边夹法)设收敛数列{an}，数列{cn}满足：存在正数N0当nN0{bn}都以a为极限，

时有anbncn(1) 则数列{cn}收敛且limcna n

证：0 由limanlimbna分别存在正数N1与N2使得 nn

当nN1时有aan(2)

当nN2时有bna(3)

取 Nmax{，(2)，(3)同时成立即有 N0,N1,N2}则当nN时不等式(1)

aanbna

从而有cna

即证所得结果。

例

3、求lim(n!)n

n

11

n1解： 1(n!)

nn2(n)nn2n(1) limn=1 n

由(1)式及两边夹法则lim(n!)n=1。 n2

四、先求和再求极限：

1例

4、求极限 limnn解: kk1n4

k4

k1n1n(n1)(2n1)(3n2n1)30

0当5时11limk4当5时nnk15

当5时n

五、先用放缩法再求极限：

例

5、求极限lim(n123n) 2222nn1nn2nn3nnn

解：记 xn123n n2n1n2n2n2n3n2nn

则12n12nx n22nn1nnn

n(n1)n(n1)x n2(n2n1)2(n2nn)

n(n1)n(n1)1lim 2n2(n2n1)n22(n2n)又lim

由两边夹法则lim(n1123n)= n2n1n2n2n2n3n2nn2

六、用施笃兹公式：

首先我们介绍并证明施笃兹公式：

施笃兹公式(stolz)：设数列{yn}单调递增趋向于，limnxn1xn(可以为无穷)A(1)yn1yn

则limnxnA yn

例

6、设limxnannx1x2xn n

求：limnn

解：由施笃兹公式

nlimnlimnx1x2xn n

lim

(x1x2xn)(x1x2xn1)limxna nnn(n1)

以上介绍了数列极限的一般求法，本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻求一些常见的数列极限的求法，可能方法不够全面，在此只希望能起抛砖引玉的作用，以供大家探讨。

参考文献：

1. 华东师范大学数学系编，数学分析(上，下)，高等教育出版社，2001

2. 复旦大学数学系编，数学分析(上，下)，高等教育出版社，1985

3. 钱吉林等主编，数学分析题解精粹，崇文书局，2003

4. B.吉米多维奇，数学习题集,李荣冻译，人民教育出版社，1978

第三篇：例举数列极限的若干种不同求法

【摘 要】极限是高等数学教学中的重要环节，也是贯穿整个微积分教学的主线。本文简单地介绍了计算极限的几种方法，讨论了如何利用数列极限的定义、两边夹法则、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则、数列的四则运算法则、两个重要极限法、Stolz定理法、定积分定义法、级数性质法、拆项法与错位法来计算数列的极限。

【关键词】两边夹法则 单调有界定理 致密性定理 柯西收敛准则 Stolz定理

极限是高等数学教学中的重要环节，也是贯穿整个微积分教学的主线。它描述了变量的变化趋势，是从有限到无限、从量变到质变、从近似到精确必不可少的推理工具。极限是分析学的基础，极限问题是分析学中的困难问题之一。极限问题的基本思想对解决分析学中面临的问题自始至终起关键作用，有关一元、二元、多元微积分学和级数等概念及一些基本的思想都是利用极限的思想而提出来的。而数列极限又是极限的基础，是整个数学分析中极限部分的重要内容，下面从以下几个方面来谈谈数列极限的几种求法

1关于数列极限四种最常见的求法

以上主要针对数列极限的几种求法进行了初步的探索，要想求出一些数列的极限而在题目中没有说明极限存在的条件下，我们需要先判别该数列的极限是否存在，然后进而求之，在上文中我们介绍了几种如何判别数列极限存在的方法，在对数列极限进行求解的时候，往往不是一个过程就能解决的，通常需要多种方法的结合。不同类型的数列极限问题，需要用不同的方法解决，我们在学习数列极限的过程中，只有不断的进行总结、不断的完善知识理论和结构，才能够对相应的题目对症下药、有所创新和突破，所以我们应该在学习的过程中，由浅入深地逐步理解和掌握。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册，第四版)[M].高等教育出版社，2011.

[2]郑允利《求数列极限的方法探讨》[J]高等函数学报(自然科学版)，2010年06期.

[3]罗威.如何用数列极限定义证明数列极限问题[J].沈阳大学学报，2004，16(4)：85-86.

[4]淮乃存.利用定积分定义求数列极限[J].陕西师范大学学报：自科版，2003，31(S1)：30-35.

[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006(2)：57-64.

基金项目：河南省教育厅课程改革研究项目 (2016-JSJYZD-072)

作者简介：李玉萍(1971―)，河南荥阳人，副教授，硕士，研究方向为数学教学论。

第四篇：高数极限求法总结

首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???) 1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 (还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母!!!!!!!!!!! 看上去复杂处理很简单 !!!!!!!!!!

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!

6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式 (地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性!!!!!!

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

(从网上发现，谢谢总结者)

第五篇：求函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;

②逆求法(反求法)：通过反解x，用y 来表示 ，再由 x的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围;

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;⑥基本不等式法：利用均值不等式公式来求值域;

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。