求函数极限的方法

求函数极限的方法（精选14篇）

篇1：求函数极限的方法

求函数极限方法的若干方法

摘要： 关键词：

1引言：极限的重要性

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2极限的概念及性质2.1极限的概念

2.1.1limn→∞

xn=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有 xn−A <。

2.1.2limx→∞f x =A↔∀ε>0，任意整数X，使得当 x >时就有 f x −A <。类似可以定义单侧极限limx→+∞f x =A与limx→−∞f(x)。2.2.3类似可定义当，整数，使得当

时有

。，时右极限与左极限：。在此处键入公式。

2.2极限的性质

2.2.1极限的不等式性质：设若若，则，使得当，当

时有

。时有时有，则

；

。，则

与，使得当

在的某空心邻

时，时有，则。

。

2.2.1（推论）极限的保号性：设若若,则，使得当，当2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限域有

内有界，即3求极限的方法

1、定义法

2、利用极限的四则运算性质求极限，3、利用夹逼性定理求极限

4、利用两个重要极限求极限，5、利用迫敛性求极限，6、利用洛必达法则求极限，7、利用定积分求极限，8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限

9、利用变量替换求极限，10、利用递推公式求极限，11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限，13、利用泰勒展开式求极限，14、利用两个准则求极限

15、利用级数收敛的必要条件求极限

16、利用单侧极限求极限

17、利用中值定理求极限 3.1定义法

利用数列极限的定义求出数列的极限.设的,总存在一个正整数

.，当

是一个数列,是实数,如果对任意给定,我们就称是数列

时,都有的极限.记为例1 证明

证 任给，取，则当时有

，所以。

3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则

。，例1求解 这是求

型极限，用相消法，分子、分母同除以

得。，其中3.3利用夹逼性定理求极限

当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。3.3.1（数列情形）若则。，使得当时有，且，3.3.2（函数情形）若，则，使得当。

时有，又

例题

解 ：，其中，因此。

3.4利用两个重要极限球极限 两个重要极限是，或。

第一个重要极限可通过等价无穷小来实现。利用这两个重要极限来求函数的极限时要观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时，才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。例题1解：令t=故 例题23.5利用迫敛性求极限 ,且在某个。

内有,那么

.则sinx=sin（t)=sint, 且当

时

例 求的极限

解：因为.且 由迫敛性知

所以

3.6利用洛必达法则求极限

假设当自变量和趋近于某一定值（或无穷大）时，函数

和

和

满足：的导数不为0的极限都是或都是无穷大都可导，并且存在（或无穷大），则极限也必存在，且等于，即=。利用洛必达法则求极限，可连续进行运算，可简化一些较复杂的函数求极限的过程，但是运用时需注意条件。

例题 求

解 原式=注：运用洛比达法则应注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为或时不可求导。

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否还是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会错误。

3.7利用定积分求极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 例

上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

解 原式=，由定积分的定义可知。

3.8利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 利用无穷小量乘有界变量仍是无穷小量,这一方法在求极限时常用到。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简单化。例

解 注意时。

3.9利用变量替换求极限

为将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可以根据极限式特点，适当的引入新变量，来替换原有变量，使原来的极限过程转化为新的极限过程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例 已知证 令

试证

则时，于是

当时），故时第二、三项趋于零，现在证明第四项极限也为零。因有界，即，使得

。所以

（当

原式得证。

3.10利用递推公式求极限

用递推公式计算或者证明序列的极限，也是一常见的方法，我们需要首先验证极限的存在性。在极限存在前提下，根据极限唯一性，解出我们所需要的结果，但是验证极限的存在形式是比较困难的，需要利用有关的不等式或实数的一些性质来解决。

例 设，对，定义

且

。证明 时，解 对推出递推公式解得,，因为，因此，序列

中可以得出

是单调递增且有界的，它的极限，设为，从，即。

3.11利用等价无穷小量代换求极限 所谓的无穷小量即，例如 求极限 解 本题属于有

型极限，利用等价无穷小因子替换

=

=,，称

与

是

时的无穷小量，记作

注：可以看出，想利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于，故有又由于故有。

另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。

小结:在求解极限的时候要特别要注意无穷小等价代换,无穷小等价代换可以很好的简化解题。

3.12利用函数的连续性求极限

在若处连续，那么且

在点连续，则。

例 求的极限

解：由于

及函数在处连续，故

3.13利用泰勒展开式求极限 列举下 例题

3.14利用两个准则求极限

3.14.1函数极限迫敛性（夹逼准则）：若一个正整数，并且例题

3.14.2单调有界准则：单调有界数列必有极限，并且极限唯一。,当时，则

则。

利用单调有界准则求极限，关键是要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例题

3.15利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则，首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限。例题

3.16利用单侧极限求极限

1）求含的函数

趋向无穷的极限，或求含的函数

趋于的极限;2）求含取整函数的函数极限;3）分段函数在分段点处的极限;4）含偶次方根的函数以及

或的函数，趋向无穷的极限.这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左，右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例题

3.17利用中值定理求极限 3.17.1微分中值定理： 3.17.2积分中值定理

篇2：求函数极限的方法

四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的`极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。

另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

(三) 利用泰勒公式求极限

利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如

(四) 定积分定义

考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

篇3：浅谈求函数极限的几种方法

关键词：极限,无穷小,有界函数,洛必达法则

极限的概念是微积分中最重要和最基本的概念之一, 微积分的其他基本概念都要用极限概念来表达。其中, 函数的极限是研究函数的重要工具, 所以, 正确掌握函数极限的运算方法, 是研究函数的基础。

在实际教学过程中, 求函数的极限是一个重点, 也是一个难点。这里, 我将通过几个例子对求解函数极限的方法进行概括总结。

一、观察法:通过研究函数的变化趋势或者图像, 给出函数的极限

二、利用无穷小的性质定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小, 可以求一类函数的极限

三、利用函数的四则运算法则, 将复杂的函数分解成简单的函数, 可求出复杂函数的极限

四、对有理函数, 当x→∞时的极限, 可得到以下结论

解:根据上面的结论, 因为n=m=3, 所以

参考文献

[1]郭丽伟.高等数学 (上册) .吉林文史出版社, 2009.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数 (第三版) .高等教育出版社, 2003.

篇4：复变函数求极限的方法

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

篇5：利用小o技术求分式函数的极限

证：对任意自然数n，容易得到：

nn1n(1xn1)(n1)(1xn),1x(1x)(1x)

n(n1)xn1[(x1)1]n1n(x1)(x1)2o((x1)2)，或者

xn1[(x1)1]n1n(x1)o((x1))

于是有：

n(1xn1)(n1)(1xn)(n1)(xn1)n(xn11)

n(n1)(n1)[n(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)nn[(n1)(x1)(x1)2o((x1)2)](n1)n(x1)2o((x1)2)(1xn)(1xn1)(xn1)(xn11)

[n(x1)o((x1))][(n1)(x1)o((x1))]n(n1)(x1)2o((x1)2)

(n1)n22(x1)o((x1))nn1因此limlimx11xx1n(n1)(x1)o((x1))

篇6：求数列极限的方法总结

数学科学学院数学与应用数学

11级电子 张玉龙 陈进进指导教师 鲁大勇

摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同 的方面罗列了它的几种求法。

关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多 样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了

1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对 任意给定的 ε 〉0,总存在一个正整数 N，当 n〉N 时,都有 Xn ? a < ε ,我们就称 a 是数列{Xn}的极限.记为 lim Xn = a.n→∞ 例 1: 按定义证明 lim 1 = 0.n → ∞ n!解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,则让 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],当 n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0.n → ∞ n!

2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1.n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim

3.利用夹逼性定理求极限若 存 在 正 整 数 N, 当 n>N 时 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a.n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的极限.n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夹逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0.n →∞ n

4．换元法 通过换元将复杂的极限化为简单.an ?1 例 4.求极限lim n，此时 n →∞ a + 2 有，令 解：若 5.单调有界原理

4.例 5.证明数列 证： 令 我们用归纳法证明 若 ≤２ 则 则 有极限，并求其极限。，易知｛ ｝递增，且 ≤2.显然。中两 故由单调有界原理｛ ｝收敛，设 →，则在 边取极限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去，从而

5.6.6.先用数学归纳法,再求极限.1 ? 3 ? 5 ? L ?(2n ? 1)例 6:求极限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设 S * = ? ?L? 则有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S

7.7.利用两个重要极限 lim = 1 , lim(1 +)x = e.x →0 x → +∞ x x 2 例 7:求 lim(1 +)x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim(1 +)2 ?(1 +)2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x

8.8.利用等价无穷小来求极限 将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限., lim 例 8:求 lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:当 x → 0 的时候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此时, e x ? 1 ~ x 2 ,所以 x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞

9.9.用洛必达法则求极限.适用于 和 型 0 ∞ 1 ? cos x 例 9:求 lim x →0 x2 0 解: 是 待定型.0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x

10.10.积分的定义及性质 1p + 2 p + 3 p + L + n p 例 10:求 lim(p > 0)n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim(p > 0)= lim ∑()p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设 f(x)= x ,则 f(x)在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f(ξ i)=()p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1

11.11.级数收敛的必要条件.2 x sin x.2 设 ∑ u n 等于所求极限的表达式 , 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 极限为 0.例 11:求 lim n → +∞ n!nn ∞ u 1 1 n!= <1 ,则 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n(1 +)n n n!所以该级数收敛,所以 lim n =0 n → +∞ n

12.12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数 的恒等变形。sin 5 x ? sin 3 x 例 12.求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x

13.13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。(?1)x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为 lim x =0 x→∞ 2(?1)x 所以 lim x =0 x→∞ 2

14.14．利于泰勒展开式求极限。解:设 ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4)1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 +)5 ?(1 ?)5 ?(令 t=)x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t)? ?1 ? t + o(t)? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t)5 ?(1 ? t)5 ? = t → +0 t t 5 ? ?

15.15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数 的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x

16.16.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{ an }有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。解：因为 lim 例 16：求 lim n an 的值 n →∞ 解： lim n an = lim n n →∞ n →∞ an a a a a a ? 2 ? 1 ? a0 = lim n n ? 2 ? 1 ? lim n a0 n →∞ an ?1 a1 a0 an ?1 a1 a0 n →∞ 设 bn = an，因为知 lim n an =1 n →∞ an?1 an an ?1 所以，所求原式的极限就等于{ bn }的极限 即原式= lim bn = lim n →∞ n →∞

篇7：求极限方法

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他 法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是 用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

篇8：求函数极限的方法

1.1 观察法

对简单的初等函数求极限, 利用函数极限定义及函数图象, 通过观察自变量变化趋势引起相应函数值变化趋势求得函数极限值。

1.2 代入法

利用函数极限四则运算法则和初等函数连续性, 若x0在其定义域内有意义, 则, 对分式极限也有

解:原式

解:因为是初等函数, 并且它的定义区间为 (1, +∝) , 而2∈ (1, +∝) , 所以

1.3 约零因子

针对型分式极限, 直接代入会出现分子、分母同时为零的情形, 将分式分子、分母因式分解或乘以有理化因式, 再利用分式性质约掉分子、分母为零的因子, 然后用代入法可求函数极限值。

1.4 公式法

利用两个重要极限求函数极限称为公式法。

注意: (1) 强调此极限属于型; (2) sin后面函数部分与分母部分完全一致。

注意: (1) 强调此极限属于1∝型; (2) 指数部分与括号内第二项互为倒数。

分析:先构造出重要极限型形式, 再结合极限运算法则求解。

1.5 洛必达法则

针对型、型函数极限, 不能直接用极限运算法则、代入法及公式法求得, 可使用洛必达法则简洁而有效。

注:使用洛必达法则要谨慎, 每用一次要验证是否满足洛必达法条件。

除此外, 还有无穷小量分出法、利用无穷小量的性质、变量替换法等。

2 常见错误分析

2.1 忽略零因子, 直接代入

分析:尽管分子、分母的极限都存在但分母的极限等于零, 不符合商极限法则要求。

2.2 生搬硬套, 不注意公式特点

分析:没注意sin后面函数部分与分母部分完全一致。

例12

分析:没注意1∝型极限公式中括号内第二项前面的符号。

以上总结了求函数极限的几种常用方法及常见错误分析, 以便于学生更好地掌握函数极限概念的理解及各种类型函数极限求解。

参考文献

篇9：关于求函数极限方法的讨论

关键词：函数极限；恒等

中图分类号：O171 文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2011) 03-0000-01

Discussion on Limit of Function Methods

Jiang Yan

(Chongqing Vocational College of Architecture Engineering,Chongqing 400039,China)

Abstract:The function of higher mathematics made to limit summarized in more detail.Eight methods described in five points,and explains the difference and contact between each method.

Keywords:Functional limit;Identity

極限的思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。由于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，或者某个函数的极限可以用多种方法求出，那么就可以选择比较简单的方法求之。因此有必要对极限的求法加以归纳总结。

一、利用极限的四则运算法则和函数的连续性求极限

一般情况下，可以利用函数连续性求解极限的函数，就可以用极限的四则运算法则来求解，而通过以下对比，可发现，利用函数的连续性求解会方便很多。

（一）极限的四则运算法则

若 ，

则：

法则本身比较简单，要注意两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。因此大多数函数求极限往往不能直接利用法则，需要进行恒等变形，常用的方法有分子分母因式分解、分式的通分或约分、分子分母有理化、三角函数的恒等变形、或者先求其倒数的极限等等。

例1

解：

例2

解：原式

由例2可总结以下结论

（二）利用函数的连续性求极限

若函数 在 处连续，则 ，而初等函数在其定义区间内都是连续的，所以求初等函数在其定义区间内任意一点处的函数极限值，只需求函数在该点处的函数值，可以直接代入计算。如果是求定义区间以外点处的极限，则可以通过恒等变形将函数化为在该点处连续的函数，再代值计算。这里的恒等变形和四则运算里面的变形用方法是类似的，并且有时候使用函数的连续性求极限比利用函数的四则运算简洁许多。例如前面的例1可求解为：

例3

解：因为 在其定义域以内，所以函数在 处连续

二、利用两个重要极限、无穷小量的性质和等价无穷小代换求极限

重要极限中的弧弦之比其实也说明了一个等价的问题，而利用等价无穷小量代换求解会方便很多。

（一）利用重要极限求函数的极限

两个重要极限的标准形式为： （弧弦之比）， 或 。一个是利用三角公式找到原函数和 的关系，另一则主要用在形如 的函数极限的求解（后面会提到形如 的函数极限的求解）。它们的扩展形式为： ， 或 （ ）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的恒等变形，将所求极限的函数变形为重要极限或者重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则或函数的连续性求解。

例4

解：原式

例5

解：原式

例6

解：原式

（二）利用无穷小的性质求函数的极限

无穷小量的极限为零且无穷小量有以下性质：

（1）有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

（2）有界函数（常量）与无穷小量之积为无穷小量：

（3）有限个无穷小量之积为无穷小量。

在关于函数极限的求解中使用最多的是性质（2）。

例7 求

解： 原式 。

（三）利用等价无穷小代换求函数的极限

等价无穷小量的定义为：若 是同一极限过程的无穷小量，即 ， ，且 ，则称 是等价无穷小量，记作 。等价无穷小量在求极限中的应用的相关定理为：设 使同一极限过程的无穷小量，且 存在，则有 。而重要极限中的 ，就说明了 ，除此以外，常用的等价无穷小量有： ， ， 。由此，例4和例5可另解为： 及 。

在使用时要注意的一点是：相乘（除）的无穷小量都可以用各自的等价无穷小量来代换，但是相加（减）的无穷小量的项是不但能作等价代换的。

三、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼准则为：设有三个函数 ， ， 在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件：（1） ；（2） ；则极限 存在，且等于 。

例8 求极限

解：

四、利用导数的定义求极限

若函数 在 处可导，则有 ，除此以外还有另外两种形式（1） ；（2）

利用这个定义，若所求极限的函数具有函数导数的定义式或者可以化为导数的定义式，则可利用导数的定义来求极限。

例9 若 存在，求 。

解：

原式

五、利用罗比达法则求函数的极限

罗比达法则为：如果函数 和 满足：

（1） （取相同的极限过程且极限相等）；

（2） 都可导，且 ；

（3） ，

则 。

（一）“ ”型和“ ”型

罗比达法则主要用来求解“ ”型和“ ”型这两种未定式的极限。利用罗比达法则求极限，由于分类明确，规律性强，而且可以连续进行运算，可以简化一些复杂的函数求极限的过程，但运用时需要注意条件。

例10求

解：

注意：遇到 不存在也不是 时，并不能说明原式 不存在，此时应另找他法，如 ，属于“ ”型，使用罗比达法则以后变为求 ，显然不存在。可先变形，再利用前面提到的有界函数和无穷小量另解为

（二）“ ”型

对于函数 属于“ ”型未定式，可做适当变型化为“ ”型或“ ”型，即： 或 ，再使用罗比达法则。至于究竟化为哪一种应视情况而定，看哪一种化法更容易求解，简单来说，就是看变型以后的分子分母分别求导相对简单一些。

例11 求

分析： 显然变形为“ ”型再利用罗比达简单一些：即方便分子分母分别求导数。

解：原式

（三）“ 型”

一般情况下，为分式相减的，先通分；为根式相减的，先根式有理化：最终仍是化为 或 ，再使用罗比达法则求解。

例12 求

解：原式

（四） 型

这三种形式均为幂指函数求极限，即： ，因为 ，可先求出 ，而 ，从而化为求 函数的极限，接着用前面的介绍的方法求解。使用关键在于要注意变型的恒等，也就是很多人计算时往往把所求极限函数的对数的极限计算以后就结束了，实际上此时的极限和只是原式变型以后指数的极限。

例13 求

解：

例 14

解：

原式

“ ”在可化为“ ”时还可以直接利用重要极限中的 （ ）。

（五）罗比达法则与等价无穷小代换的综合使用

有时候罗比达法则和等价无穷小代换综合使用效果更好。

例14求

分析：此题为两对数乘积，且为 型，若直接变型使用罗比达会有麻烦，此时可先利用无穷小量等价代换化为熟悉的问题。

解：原式

例15求

解：

原式

六、结论

总之，以上各种求极限的方法要根据不同的情况来选择，记住一些结论或标准的形式对于求解和选择恰当的方法帮助会很大。各个方法之间其实不是孤立的，有时求解一道题可以使用多种方法，而各个方法的使用中几乎都提到了恒等变形，这是很重要的一个原则。

参考文献:

[1]龙辉.高职数学[M].电子科技大学出版社.2007

[2]龙辉.高职数学辅导与练习[M].电子科技大学出版社,2008

篇10：例说求极限的几种方法

例说求极限的几种方法

本文就师范教学微积分的内容介绍了求极限的几种方法.

作 者：许娟娟 作者单位：温州大学教育学院刊 名：科技信息英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：“”(12)分类号：G64关键词：数列 函数 极限 求法

篇11：求函数极限的方法

求极限是历年真题必考的内容，所以考生在复习过程中要着重掌握。下面崔老师总结一下求极限的第一类方法：

1.定义法。此法一般应用于极限的证明题，计算题很少用到，但也需要熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习都是不利的。

“型未定式，但要注意

00适用条件，如出现的极限是0,,0,1等，都可以转化成”“或”“型未定式，再0 2.洛必达法则。这是求极限经常用的方法，此法适用于”“或”

篇12：考研数学 求极限十大方法总结

考研数学 考试中学生常犯的五种错误

2014考研数学 大纲公布前后复习要点

2014考研数学复习：尝试转变做题方式

2014考研数学 避免误区 迎头赶上

1、利用定义求极限。考研 教育网

2、利用柯西准则来求。

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0，存在自然数N，使得当n>N时，对于

任意的自然数m有|xn-xm|

3、利用极限的运算性质及已知的.极限来求。

如：lim（x+x^0.5）^0.5/（x+1）^0.5

=lim（x^0.5）（1+1/x^0.5）^0.5/（x^0.5）（1+1/x）^0.5 =1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。

例如lim （x^1/m-1）/（x^1/n-1）

可令x=y^mn

得：=n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=1

x->0

（2）lim （1+1/n）^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的，使用过程中大家一定要注意使用条件。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

篇13：求函数极限的方法

在大学高等数学中, 对于幂指函数求极限的问题, 共有两处提到, 包括重要极限和洛必达法则。但是, 关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。一般得, 只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。在教学过程中, 有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题, 就不知道如何计算了。课本中有一道极限求解题目, 具体如下:

这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解, 但此题用重要极限不太容易看出来。如果了解等价无穷小的相关定理, 那么这道题就迎刃而解了。鉴于此种情况, 本文在前人研究的基础上, 总结了幂指函数的求极限的方法, 着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2 幂指函数求极限的其他方法

幂指函数的极限类型很多, 有确定型和不定式之分。对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。而对于不定式型的幂指函数, 通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1 重要极限

对1∞型的幂指函数极限问题, 考虑利用重要极限及其变形公式求极限。

2.2 洛必达法则

另外, 对00型, ∞0型, 1∞型幂指函数的极限, 可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式, 转换为0/0型或∞/∞型不定式, 然后再利用洛必达法则进行求解。

由洛必达法则, 得:

3 用等价无穷小代换求幂指函数的极限

幂指函数00型, ∞0型, 1∞型这三种类型不定式的求极限问题, 除了运用前两种方法外, 还可以使用等价无穷小的代换。这里对这三种类型不定式进行全面探讨, 将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理, 推广到幂指函数求极限问题中去, 从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题。

3.1 00型的等价无穷小代换

引理1设α>0, α′>0为某变化过程中的无穷小。若α~α′, 则

证明:α~α′, 所以

定理1α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

然后就有

此定理1说明, 当时, limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

由定理1, 得:

3.2∞0型的等价无穷小代换

∞0型的极限可写为, 其中α>0和β均为某变化过程中的无穷小。

定理2α>0, α′>0和β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则

由定理1可得定理2。此定理2说明, 当时, α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。

解:当x→0时, ln (1+x) ~x, sinx~x

由定理2, 得:

3.3 1∞型的等价无穷小代换

1∞型的极限可写为, 其中α, β均为某变化过程中的无穷小。

引理2设α, β为某变化过程中的无穷小。若, 则有

就有

所以, 刚刚文章一开始的那道求极限的题目, 可以按照等价无穷小代换来求解。

由引理2, 得:

定理3设α, α′, β, β′均为某变化过程中的无穷小。若α~α′, β~β′, 且, 则有

证明:因为

由等价无穷小代换原理, 得:

这说明, 当中的无穷小量α, β可代换为等价无穷小α′, β′。

参考文献

[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京:人民教育出版社, 2011, 9.

[2]同济大学应用数学系, 主编.高等数学 (上册) [M].6版.高等教育出版社, 2007, 4.

[3]刘金林.高等数学 (上册) [M].机械工业出版社, 2013, 6.

[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报, 2002, 6.

篇14：浅谈多元函数求极限

【关键词】: 多元函数 多元函数极限 邻域

中图分类号:F0174 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)06-0113-01

在《数学分析》中,我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习。我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础。研究多元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。本文介绍关于多元函数极限求法的几个定理及例子。

假定函数f(x1,...,xn)是在具有聚点M0(a1,a2,...,an)的某一点集Μ内定义的。

仿照一元函数的极限的定义,常说函数f(x1,...,xn)当变量x1,...,xn依次各趋于a1,a2,...,an时以数A为极限,如果对于任一数ε>0能找出这种δ>0,只要

x1-a1<δ,...,xn-an<δ,

就能使

f(x1,...,xn)-A<ε.

在这时,假定点(x1,...,xn)是取自Μ而且异于(a1,a2,...,an)。因此,对于集Μ中位于M0点的充分小邻域

(a1-δ,a1+δ;...;an-δ,an+δ)

之内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

函数的极限记成:A=limx1→a1......xn→anf(x1,...,xn).

把点(x1,...,xn)及(a1,a2,...,an)记成M及M0,则刚才引入的定义可以用几何的言语重述成:数A称为函数f(M)当点M趋于M0时的极限,如果对于任一数ε>0有着种数r>0存在,只要距离M0M

f(M)-A<ε.

和上面一样,须假定M取自Μ但异于M0。这样,对于集Μ中位于M0的充分小得球形邻域内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的,但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂,而一元函数的极限看起来就相对容易些,因此我们现在把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解,现在我们可以以三元函数为例得到如下的定理:

定理1设f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x-x0,y-y0,z-z0)的方向余弦,若

limk→0f(x0+kcosα,y0+kcosβ,z0+kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

推论(1)设f(x,y,z)在点(0,0,0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x,y,z)的方向余弦,若limk→0f(kcosα,kcosβ,kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limx→x0y→y0z→z0f(x,y,z)不存在。

定理2设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x-x0,y-y0)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(x0+kcosα,y0+ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→x0y→y0f(x,y)=A不存在.

推论(2)设f(x,y)在点(0,0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x,y)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk→0f(kcosα,ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx→0y→0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1→0y→0f(x,y)=A不存在.

参考文献:

[1]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程第一卷(第八版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3]丁殿坤,吕端良,李淑英.多元函数极限的一种求法[J].山东:山东科技大学公共科部,2004.

[4]旷伟平,孙勇.多元函数极限的一类求法[J].湖南:怀化学院数学系,2007.

[5]任宪林.多元函数求极限[J].邯郸职工大学,2001.

[6]陈明华.关于多元函数极限的一种求法的注记[J].皖西学院计算机科学与技术系,2007.

[7]刘素芳.求二元函数极限的几种方法[J].中山医科大学,1999.

[8]宋志平.二元函数极限的求法[J].内蒙古科技大学理学院,2004.