函数概念公开课教案

函数概念公开课教案（共6篇）

篇1：函数概念公开课教案

正弦函数、余弦函数的图象

湖南省泸溪县第一中学 邓德志

一、教材分析

三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，也是学习高等数学的基础，研究办法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章的知识既是解决实际生产问题的工具，又是学习后继内容和高等数学的基础。三角函数是数学中主要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

二、学生学习情况分析

我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

三、设计思想

由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情。在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率。

四、教学目标

知识与技能：1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。

过程与方法：通过简谐运动沙摆实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点。

情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想。

五、教学重点与难点

教学重点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数的图象。教学难点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象。

六、教学方法

讲授、启发、诱导发现教学。

七、教

具

多媒体、实物投影仪。

八、教学过程

活动1【导入】引入

借助多媒体课件让学生观察沙摆实验演示，激起学生的兴趣。指出这种形状的曲线就是今天要研究的正、余弦函数的图象。

如何作出该曲线呢？

（以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与到课堂活动中）

活动2【导入】描点法作图

1.提出问题：如何画一般函数的图象？

2.学生回答描点法，作图步骤：(Ⅰ)列表；(Ⅱ)描点(Ⅲ)连线。

（描点法在取函数值时，有时不能确定精确值，点的定位不准。如何精确定位呢？）活动3【讲授】几何法作图

1.如何作角α的正弦线、余弦线、正切线？

2.引导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，作出y = sin x, x∈[0, 2π] 的图象。（这种方法可以实现点的精确定位。画图时，注意讲清：a、把单位圆分成n等份(这里分12份)；b、找横坐标；c、找纵坐标；d、连线。）

3.依据诱导公式一，平移图象得出 y = sin x, x∈R的图象，即正弦曲线。活动4【讲授】“五点法”作图．

让学生观察已作出的正弦曲线图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点，归纳出“五点法”作图步骤。

观察y = sin x, x∈[0, 2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 关键五点：(0，0)，（2，1)，(π，0)，（32，-1)，(2π，0)。

事实上，只要指出这五个点，y = sin x, x∈[0, 2π] 的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。

（设计意图：通过直观形象的图像，培养学生的观察分析能力，培养学生组建新知识的能力。）要求：

(Ⅰ)掌握正弦曲线的形状；(Ⅱ)注意正弦曲线的弯曲“方向”。活动5【练习】检测训练 画出下列函数的简图：（1）y =sin x + 1 , x∈[0 , 2π ]（2）y =sin x-1 , x∈[0 , 2π ] 活动6【讲授】总结巩固

这节课我们主要是学习了作正弦函数图象的两种基本方法：几何法、五点法。几何法利用三角函数线作正弦函数的图象和“五点法”利用五个关键点作正弦函数的简图。用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用。

活动7【讲授】课后思考

（1）从图像变换角度，如何利用y = sin x, x∈[0, 2π]的图像，得到y = sin x+1, x∈[0, 2π]的图像？（2）以正弦函数图像为基础，如何得出余弦函数图像？（3）利用正弦函数图像研究正弦函数具有哪些性质？

（设计意图：通过思考，一可以巩固所学知识，二可以为后面学习正弦函数、余弦函数的性质打下良好基础。）

九、作业设计

学业分层测评

（六）。

十、板书设计

正弦函数、余弦函数的图像

1、正弦函数y = sin x, x∈[0, 2π]的图像（1）用描点法画y = sin x, x∈[0, 2π]的图像（2）用几何法画y = sin x, x∈[0, 2π]的图像

2、正弦函数y = sin x, x∈R的图像

3、用“五点法”作正弦函数y = sin x, x∈[0, 2π]的简图

十一、课后反思

篇2：函数概念公开课教案

习题课(二)

(函数的概念和图象)

教学过程

复习(教师引导，学生回答)

1.函数单调性的定义.2.证明函数单调性的基本步骤.3.函数奇、偶性的定义.4.根据定义判定函数奇、偶性的步骤.5.根据奇偶性可以把函数分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数，也是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数.6.既是奇函数，也是偶函数的函数有无数个，解析式都为f(x)=0，只要定义域关于原点对称即可.7.映射的定义.8.映射f:A→B说的是两个集合A与B间的一种对应，两个集合是有序的.映射是由集合A、集合B和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A中之任一对B中之唯一.A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射.映射所涉及两个集合A、B，可以是数集，也可以是点集或其他类元素构成的集合.导入新课

前面一段，我们一起研究了函数的单调性、奇偶性以及映射有关概念及问题，并掌握了一定的分析问题、解决问题的方法，这一节，我们将对这部分内容集中训练一下，使大家进一步熟悉函数的有关概念、基本方法与基本的解题思想；并通过典型例题进一步提高大家的分析问题、解决问题的能力.推进新课

基础训练

思路1

1.对应①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，对应法则f:

1→y； x

对应②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，对应法则f:(x,y)→x+y，下列判断正确的是（）

A.只有①为映射

B.只有②为映射

C.①和②都是映射

D.①和②都不是映射

2.已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个不恒为零的函数，若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)是（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

3.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增；

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减.其中正确的命题是（）

A.①和③

B.①和④

C.②和③

D.②和④

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4.指出下列函数的单调区间，并说明在单调区间上函数是增函数还是减函数：

(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=

解答：1.A 2.A 3.C

4.(1)函数f(x)=-x2+x-6单调区间为(-∞，(-∞，x;(3)f(x)=-x3+1.11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上为增函数，f(x)在[，+∞)上为减函数.2

2(2)f(x)=x单调区间是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是减函数；

(3)f(x)=-x3+1单调区间为(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.思路2

1.映射f:X→Y是定义域X到值域Y上的函数，则下面四个结论中正确的是…（）

A.Y中元素在X中不一定有元素与之对应

B.X中不同的元素在Y中有不同的元素与之对应

C.Y可以是空集

D.以上结论都不对

2.下列函数中，既非奇函数又非偶函数，并且在(-∞,0)上是增函数的是（）

A.f(x)=5x+2

B.f(x)=

C.f(x)=

x

1-1

D.f(x)=x2 x

3.设f(x)为定义在数集A上的增函数，且f(x)＞0，有下列函数：①y=3-2f(x)；②y=

1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中减函数的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

1x2

4.函数f(x)=（）x

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

5.函数f(x)=a(a≠0)在区间(-∞,0)上是（）x

A.增函数

B.减函数

C.a＞0时是增函数，a＜0时是减函数

D.a＞0时是减函数，a＜0时是增函数

6.对于定义在R上的函数f(x)，有下列判断：

(1)f(x)是单调递增的奇函数；

(2)f(x)是单调递减的奇函数；

(3)f(x)是单调递增的偶函数；

(4)f(x)是单调递减的偶函数.其中一定不成立的是_________________.解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)

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应用示例

思路1

例

1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…（）

A.f(2)＜f(1)＜f(4)

B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，因为当x＜2时，y=f(x)为单调减函数，又因为0＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A.解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，由二次函数f(x)开口方向向上，画出函数f(x)=x2+bx+c的草图如右图所示：

由草图易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故选A.点评：(1)解法一是先将要比较大小的几个数对应的自变量通过函数图象的对称轴化到该函数的同一个单调区间内，然后再利用该函数在该区间内的单调性来比较这几个数的大小；解法二是根据所给条件画出函数的草图，只需将要比较大小的几个数对应的自变量进行比较大小即可，当然，这与函数图象的开口方向也有关.记忆技巧：若函数图象开口向上，则当自变量离对称轴越远时函数值越大；

若函数图象开口向下，则当自变量离对称轴越远时函数值越小.(2)通过此题可将对称语言推广如下：

①若对任意实数x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴；

②若对任意实数x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

ab是函数f(x)的对称轴.2

例2

有下列说法：

①函数f(x)在两个区间A、B上都是单调减函数，则函数f(x)在A∪B上也是单调减函数；

②反比例函数y=1在定义域内是单调减函数； x

③函数y=-x在R上是减函数；

④函数f(x)在定义域内是单调增函数，则y=[f(x)]2在定义域内也是单调增函数.其中正确的说法有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

分析：本题是有关函数单调性的选择题，解决时采取各个击破的方法.解：①不正确.因为函数f(x)=

1在区间A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是单调减函数，但f(x)x在区间A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是没有单调性的，所以①不正确、②不正确.反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性的、x中鸿智业信息技术有限公司

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③正确、④不正确.因为函数f(x)=x在定义域(-∞,+∞)内是单调增函数，但是函数y=[f(x)]2=x2在区间(-∞,0]上单调减，在区间[0,+∞)上单调增，而在定义域(-∞,+∞)内是没有单调性的，所以④不正确.所以正确的说法只有1个，故本题选A.点评：(1)在“反比例函数y=

1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是没有单调性”这一点上，学生x经常会出错，教师应向学生强调.(2)对于要让我们判断正确与否的问题，要学会通过举反例的方法来判断.(3)要判断某个说法正确，需要严密的推理论证；要判断某个说法不正确，只需要取出一个反例即可.例

3定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.分析：本题所给函数为抽象函数，没有具体的函数解析式，要求实数a的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.解：因为f(x)的定义域为(-1,1)，所以11a1,2解得0＜a＜.①

3113a1,原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化为f(1-3a)＜-f(1-a)，因为f(x)是奇函数，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化为f(1-3a)＜f(a-1)，因为f(x)是减函数，所以1-3a＞a-1，即a＜

由①和②得实数a的取值范围为(0,1.② 21).2点评：(1)学生容易忘记定义域的限制，因此要重视定义域在解题中的作用.(2)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义与奇偶性定义的正确运用.若函数f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则x1,x2A；

x1x2x1,x2A

若函数f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则.xx2

1变式训练

问题：请对题目条件作适当改变，并写出解答过程.(学生有可能会得出如下变式)

(错误)变式一：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.点拨：教师引导学生发现此变式一是错误的，因为偶函数f(x)在整个定义域上不可能是单调函数(图象关于ｙ轴对称)，鼓励学生再改.(不当)变式二：定义在(-1，1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求实数a的取值范围.点拨：教师引导学生发现此变式二的题目是正确的，但是没有办法解决.因为解决此类问题是依据函数的单调性脱去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右边的中鸿智业信息技术有限公司

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负号没有办法去掉.例3中的函数f(x)为奇函数，不等式右边的负号可以拿到括号里面，再根据函数f(x)的单调性来解决即可，而变式二中的函数f(x)为偶函数，不等式右边的负号去不掉就没有办法利用函数f(x)的单调性来解决.拓展探究：

(正确)变式三：定义在(-1,1)上的偶函数f(x)在(-1,0]上是减函数，若f(1-a)＜f(1-3a)，求实数a的取值范围.例

4已知函数f(x)=ax3+bx+1，常数a、b∈R，且f(4)=0，则f(-4)=____________.分析：本题所给的函数虽然给出了函数解析式，但解析式中含有两个参数.想要将这两个参数全部求出来再来求解显然是不可能的，因为题目中只给出了一个条件，根据一个条件想要求出两个未知数的值是办不到的.因此尝试着用整体思想来解决本题.解：(方法一)设g(x)=ax3+bx，则f(x)=g(x)+1.因为g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函数.因为f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因为g(x)是奇函数，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.(方法二)因为f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，则f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.点评：(1)审题要重视问题的特征；(2)整体代换是解决此类问题常用的思想方法.例

5求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.分析：本题中的函数是二次函数，求二次函数在闭区间上的最值问题按照“配方——草图——有效图象”三部进行.解：因为函数f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：

(1)当a＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a；

(2)当2≤a≤4时，f(x)min=f(a)=2-a2；

(3)当a＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a.(a2),67a,

2综上所述：f(x)min=2a,(2a4)，188a,(a2).

点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间[2，4]的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.变式训练

1.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.解：由例5可知f(x)max为f(2)与f(4)中较大者，根据函数f(x)=x2-2ax+2的草图可知：

(1)当a≥3时，f(2)≥f(4)，则f(x)max=f(2)=6-4a；

(2)当a＜3时，f(2)＜f(4)，则f(x)max=f(4)=18-8a.中鸿智业信息技术有限公司

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故f(x)max=64a,(a3)，88a,(a3).2.求函数f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.解：因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函数f(x)的对称轴是x=a，(1)当a≤2时，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;

(2)当2＜a＜3时，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a；

(3)当3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a；

(4)当a≥4时，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.例6

设x1，x2为方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，当m为何实数值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值.错解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，m2.4m2117

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.4162117

所以当m=时，x12+x22有最小值，且最小值为-.416

由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=

分析：关于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有两个实根，则它的判别式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到

1，不能忽视一元二次方程有实根4的充要条件.正解：因为x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根，由韦达定理，得x1+x2=m，x1·x2=m2.4m2117=(m-)2-.41621217)-的416

所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-

又因为Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根据二次函数f(m)=(m-草图，知当m=-1时，ymin=

1.2

点评：求函数值域、最值，解方程、不等式等均要考虑字母的取值范围，有些问题的定义域非常隐蔽.因此，我们要注意充分挖掘题目中的隐含条件.思路2

例

1是否存在实数λ，使函数f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.分析：已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出λ与所设的x1、x2的不等关系式，再根据变量x1、x2的两个范围，求出λ的范围，由两个已知条件求出λ的两个范围，中鸿智业信息技术有限公司

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若有公共部分则λ存在，若无公共部分，则λ不存在.解：因为f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).若x1＜x2≤-2，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，所以当且仅当λ≤10时，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，从而f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数.若-1≤x1＜x2＜0，则x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，所以当且仅当λ≥4时，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，从而f(x)在区间[-1,0)上是增函数.综上所述，存在实数λ使f(x)在区间(-∞,-2]上是减函数，而在区间[-1,0)上是增函数，且实数λ的取值范围为[4,10].点评：本题是一道探索性命题，是一道求函数单调性的逆向问题，定义是解决此类问题的最佳方法.例

2设定义在R上的偶函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，若实数x满足f(x)＞f(2x+1)，试求x的取值范围.分析：要求x的取值范围，关键是脱去“f”，因此要通过讨论，在f(x)的单调区间上，利用函数的单调性使问题获得解决.解：可分为三类来加以讨论：

(1)若x≥0，则2x+1＞0，由题设，函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0.(2)若x0,1即x＜-，由于函数y=f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞

22x10,f(2x+1)f(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数，得1x,解之，得x＜-1.2x2x1,x0,1(3)若即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)f(-x)＞f(2x+1)，22x10,11x0,有2解之，得＜x＜0.3x2x1,综上所述，x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).3点评：(1)解关于抽象函数的函数方程或函数不等式，基本思路是依据函数的单调性脱去“f”，要注意函数单调性定义的正确运用；

若f(x)在区间A上递增，且f(x1)＜f(x2)，则x1,x2A，xx,21x1,x2A,若f(x)在区间A上递减，且f(x1)＜f(x2)，则

xx,21

(2)若能注意到偶函数y=f(x)具有如下性质：f(x)=f(|x|)，则由题意可得，f(x)=f(|2x+1|)，从而有|x|＞|2x+1|，本题的求解可避开讨论，过程更为简捷.中鸿智业信息技术有限公司

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例3

设函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-

1.求函数y=f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值.2

分析：问题中的函数解析式没有给出，求最值应从哪里入手呢？只要知道了函数的单调性，问题也就迎刃而解了.解：由题意知，对于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①

在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).设x1,x2∈R且x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).因为x2-x1＞0，由题设知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函数y=f(x)在R上是减函数，因此在区间[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).又因为f(1)=-1，2

所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，则f(-4)=-f(4)=2.故在区间[-4,4]上函数y=f(x)的最大值为2，最小值为-2.点评：(1)求解有关抽象函数的问题时，赋值法是常用的方法，给自变量x赋以一些特殊的数值，构造出含有某个函数值的方程，通过解方程使问题获解；

(2)根据函数的单调性求函数的最值是常用方法之一，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(或减)函数，那么函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b)〔或f(a)〕，最小值为f(a)[或f(b)].例

4有甲、乙两种商品，经营、销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式P=

13x，现有3万元资金投入经营x，Q=

55甲、乙两种商品，设其中有x万元投入经营甲种商品，这时所获得的总利润为y万元.(1)试将y表示为x的函数；

(2)为使所获得的总利润最大，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少万元？这时的最大利润是多少万元？

分析：这是一道实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.解：(1)当有x万元投入经营甲种商品时，则有(3-x)万元投入经营乙种商品，根据题意得：y=13x3x(x∈[0,3]).5

5这就是所求的函数关系式.(2)设y=3x=t，则x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函数关系式可化为123131(3-t)+t=-(t)2+20(t∈[0,3]).555223213339

当t=时，ymax=.此时，x=3-()2=，3-x=3-=.220244

4因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别投入0.75万元和2.25万元，所获最大利润是1.05万元.点评：(1)遇到实际应用问题，建立恰当的函数关系式是实现问题解决的基础，另外要注意：充分利用题目中所给的信息，不要忘记定义域.(2)求函数的最大值和最小值，方法比较灵活，对一些复杂的函数关系式，通过换元，中鸿智业信息技术有限公司

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将其转化为熟悉的函数来求解，体现了化归思想的运用，值得我们好好地加以体会.本题中通过换元，将十分复杂的函数关系式转化为我们较为熟悉的二次函数，求函数的最值就变得轻而易举了.ax21

5例5

已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=2,f(2)=.2bxc

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)当x＞0时，讨论函数f(x)的单调性，并写出证明过程.分析：用方程确定a,b,c的值，用定义来证明函数单调性.解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因为f(2)=

5，所2a1,x214a15以=，得a=1，故b1,从而得f(x)=.a12xc0,x21

1(2)f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.证明如下：

xx任取0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(x1+

(xx2)(x1x21)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1.)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x

①若0＜x1＜x2≤1，则x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在区间(0,1]上是单调减函数.②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在区间[1,+∞)上是单调增函数.x211

综上所述，函数f(x)==x+在(0,1]上是单调减函数，在[1,+∞)上是单调增函数.xx

点评：解题时值得注意的是奇(偶)函数条件的使用，函数是奇函数(或偶函数)也就意味着等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]对于定义域内的任意x都成立，通过恒等式有关知识寻求等量关系.求函数单调区间一般有三种方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性法.本例图象不易作出，利用函数y=x和y=

1的单调性也不行，故只能使用函数单调性的定x义来确定.例6

已知y=f(x)是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0.(1)解不等式f(x)≥0；

(2)设函数g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.分析：本题中的函数f(x)是抽象函数，因此只能由函数的性质，结合函数的草图来解决本题.中鸿智业信息技术有限公司

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解：(1)因为f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，则f(-1)=-f(1)=0；

当x∈(0,+∞)时，因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，由f(x)≥0得x≥1；

因为奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以f(x)在区间(-∞,0)上也是增函数，又因为f(-1)=0，所以当x∈(-∞,0)时，由f(x)≥0得-1≤x＜0.综上所述，不等式f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞).(2)由(1)可知f(x)≥0的解集为[-1,0)∪[1,+∞)，因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因为M={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因为g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化为-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因为x∈[0,1]，所以m＞x21(x2)24(x2)333=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，当x∈[0,1]时，2-x＞0，x22xx2x2根据函数h(t)=t+的图象可知：-[(2-x)+m＞21t3]+4≤23+4，当x=23时取等号，所以2x3+4.点评：本题所给函数是抽象函数，具有一定的综合性；在解决第一问时可以借助函数的单调性与奇偶性画出草图来帮助我们解题；在解决第二问时，可能有学生会分别求出集合M与N，然后再取交集，教师应该引导学生按照以上解答过程来解决省时省力.巩固训练

思路1

1.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5，-2)上是（）

A.增函数

B.减函数

C.部分为增函数，部分为减函数

D.无法确定增减性

解答：A

2.设函数f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，则f(3)等于（）

A.3

B.-3

C.2

D.7

解答：D

3.已知偶函数y=f(x)在区间[0，4]上是增函数，则f(-3)和f(π)的大小关系是（）

A.f(-3)＞f(π)

B.f(-3)＜f(π)

C.f(-3)=f(π)

D.无法确定

解答：B

4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是减函数，下面结论正确的是（）|x|

A.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递减

B.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递减

C.f(x)是偶函数，在[2，3]上单调递增

D.f(x)是奇函数，在[2，3]上单调递增

解答：C

5.已知f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)=x(1-x)，则当x＜0时，f(x)等于 …（）

A.x(x+1)

B.x(x-1)

C.x(1-x)

D.-x(1+x)

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解答：A

6.定义在R上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间(0，+∞)上的最大值为10，那么函数F(x)在(-∞，0)上的最小值是.解答：-4

7.函数f(x)=x3+bx2+cx是奇函数，函数g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函数，则b=__________，c=__________.解答：0 2

8.函数f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.解答：a≠0奇函数，a=0既是奇函数又是偶函数

9.偶函数f(x)是定义在R上的函数，且在(0，+∞)上单调递减，则f(-

3)和f(a2-a+1)的大4小关系是__________.10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数，那么满足f(a)+f(a2)＞0的实数a的取值范围是__________.解答：f(-3)≥f(a2-a+1)10.-1＜a＜0

4点评：本组练习以基础题为主，难度不大.思路2

1.已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求y=f(x)的表达式；

(2)求y=f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.2.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=1，若当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(x)f(5.5)＝___________.3.某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少？

4.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3，(1)当x∈(-2，6)时，其值为正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，其值为负，求a,b的值及f(x)的表达式；

(2)设F(x)=kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k为何值时，函数F(x)的值恒为负值.4a10a，该集团今年计划对这两项生产共投入,Q=

35.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q(万元)，这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？

解答：

1.解：(1)由题意可设f(x)=ax2+bx+1，则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.123)+，x∈[-1,1], 2413

所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.24

(2)因为f(x)=x2-x+1=(x-

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2.解：因为f(x+2)=11，所以f(x+4)==f(x)，f(x2)f(x)

则f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因为y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.3.解：因为25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低产量为150台.23f(2)4a2a2ba0,4.解：(1)由已知解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，23f(6)36a6a2ba0,从而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4k0,得k＜-2.168k0,5.解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元

x1060x(0≤x≤60)，设t=60x,则0≤t≤60，x=60-t2，则33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，33338

5所以当t=5，即x=35时，(P+Q)max=.385

因此对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.3由题意，P+Q=

点评：本组练习对学生的能力要求比较高.课堂小结

函数的基本性质中单调性与奇偶性是紧密地联系在一起的，在许多问题中常常需要结合在一起加以运用，因此，学习函数时，要正确理解函数的单调性和奇偶性，把握其本质特征，学会灵活地运用函数的单调性和奇偶性解题.研究函数问题时，要重视函数图象的功能，掌握数形结合的思想方法，培养数形结合解题的意识，提高数形结合解题的能力.作业

课本第43页习题2.1(3)

3、11.设计感想

深刻理解函数的有关性质：

概念是数学理论的基础、概念性强是中学数学中函数理论的一个显著特征，函数的单调性，奇偶性，最大(小)值等是函数有关概念的重要内容.本章学习的内容中数学概念较多，正确地理解数学概念在于准确把握概念的本质特征.函数的单调性是函数重要概念之一，应明确：

(1)它是一个区间概念，即函数的单调性是针对定义域内的区间而言的，谈到函数的单调性必须指明区间(可以是定义域，也可以是定义域内某个区间)

(2)用函数单调性定义来确定函数在某区间是增函数还是减函数的一般方法步骤是：取值——作差——变形——定号——结论.中鸿智业信息技术有限公司

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篇3：函数概念公开课教案

长期以来, 由于受应试教育的影响, 不少数学教师重解题、轻概念, 造成数学解题与概念脱节, 学生对概念含混不清或一知半解, 不能很好地理解和运用概念的现象.数学课堂变成了教师进行对学生解题技能培训的场所, 而学生则成了解题的机器, 整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作, 严重制约了学生思维的发展和能力的提高.这些做法与新课程大力倡导的“培养学生探究能力与创新精神”严重背离.那么, 在新课标下, 如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念?如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题?我想, 关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学.下面我以“函数的概念”一课为例, 谈谈高中数学概念教学的一点粗浅体会.

一、展示概念背景, 注重概念产生的过程

新课程要求“让学生经历知识的产生和发展过程”, 强调了教学中要重视知识的形成过程.每一个概念的产生都有丰富的知识背景, 舍弃这些背景, 直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法, 这种做法常常使学生感到茫然, 丢掉了培养学生概括能力的极好机会.“学习最好的途径是自己去发现”, 学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”, “经历”一遍发现、创新的过程, 那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神.我为了让学生得出“函数的概念”, 启发学生从身边的生活实际入手, 通过一些感性材料, 引导学生抽象概括并提炼数学概念.

1.请同学们举出在生活中或学科学习中所遇到的变量间的依赖关系.

同学们经过短暂思考, 提出以下几种关系:

(1) 汽车行驶的里程数与时间的关系;

(2) 每天的气温与日期的关系;

(3) 股市中股价与日期的关系;

(4) 家庭的用电量与天数的关系;

……

2.上述例子有什么共同特点?

学生经过思考、分析、交流与讨论, 概括出共同特点:具有依赖关系的两个变量, 对其中一个变量的每一个值, 另一个变量都有唯一的值与它对应.这样两个变量之间的关系叫做函数关系.

3.若把自变量取值为A, 因变量取值为B, 按照确定的对应法则, 怎样描述它们之间的关系?

4.讲述函数的符号表示y=f (x) .强调y=f (x) 是函数的符号, 其中f是对应法则, x是自变量, y是x的函数.

经过以上过程, 学生对函数的概念有了明确的认识, 同时自己参与了概念形成和表述的过程, 不仅能够激发学生学习数学的兴趣, 而且培养了学生抽象概括的能力.

二、解剖新概念, 正确揭示概念中每一词句的真正含义

数学概念是抽象的, 对于概念真正的认识与理解是不容易的, 要经历一个多次接触的较长的过程.数学概念语言非常精练, 寓意深刻, 要把概念讲清楚、讲准确, 需要对概念作辩证的分析, 对概念中的每一词句进行仔细推敲, 用不同的方法揭示不同概念的本质, 通过对本质特征的分析, 带动对整个概念的理解.为了帮助学生理解函数的概念, 我设计了以下几个问题:

1.集合A, B必须满足什么条件?

(强调集合A, B是非空数集)

2.函数的本质是什么?

(函数的本质是在对应关系f下, 集合A到集合B的一种对应)

3.这种对应有什么要求?

(有顺数, 起始集合要满足任意性, 终止集合要满足唯一性.对应的形式为一对一、多对一, 不能一对多)

学生通过这三个问题的探讨与研究, 对函数概念的内涵与外延的关系有了全面深刻的理解, 而且培养了学生思维的严密性与科学性.

三、通过新旧概念的比较, 抓住概念的本质

数学中许多概念之间都有着密切的联系, 在教学中应善于寻找、分析其联系与区别, 有利于学生掌握概念的本质.而函数概念有两种定义, 一种是初中给出的定义, 另一种高中给出的定义.因此, 我在教学时首先引导学生认真分析两种函数的定义, 得出他们的本质是相同的, 只不过叙述的出发点不同, 而高中函数的概念是用集合与对应的语言来刻画的, 抓住了函数的本质属性, 更具有一般性.其次为了加深对函数概念的理解, 我设计了一个练习:

初中我们已学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数, 下面请大家完成下表.

这样教学不仅与学生认知结构中的原有概念相互联系、相互作用, 而且会让学生领会新概念的本质属性.

四、在实践中运用概念, 在运用中加深理解概念

概念的形成是一个由个别到一般的过程, 而概念的运用则是一个由一般到个别的过程, 它们是学生掌握概念的两个阶段.通过运用概念解决实际问题, 可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握, 并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性等等, 同时也有利于培养学生的实践能力.为了使学生更深刻理解函数的概念和运用函数的概念来解题, 我设计了如下的练习:

1.下列对应关系是否为A到B的函数?

(1) A=R, B={x|x>0}, f:x→y=|x|.2

(2) A=Z, B=Z, f:x→y=x2.

(3) A=R, B=Z, f:x→y=

(4) A={x|-1≤x≤1}, B={0}, f:x→y=0.

2.函数y=f (x) 的图像与直线x=a (a为常数) 的交点个数是 ( ) 个.

A.0 B.1 C.0或1 D.1或2

3.设函数f (n) =k, n∈N*, k是π的小数点后第n位数字, π=3.1415926535…, 则f[f (10) ]= ( ) .

4.已知A={a, b, c}, B={-1, 0, 1}, 函数f:A→B满足f (a) +f (b) +f (c) =0, 则这样的函数有 ( ) .

A.4个 B.6个 C.7个 D.8个

篇4：如何备好函数概念课

一、教材分析

1．教材的地位和作用

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿于中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。

2．教学目标及确立的依据

（1）教学目标：

1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。

2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

（2）教学目标确立的依据：

函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3．教学重点难点及确立的依据

教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。

重点难点确立的依据：

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高档题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。 函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不同了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这个难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。

依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

四、教学程序

学 法：

〖课程导入〗

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1，把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？

〖新课讲授〗

1．接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：A→B，及原像和像的定義。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

2．巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对一，多对一”但不能是“一对多”。

例1，给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射，进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：A→B记为y＝f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y［或f（x）］值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系（函数是非空数集到非空数集的映射）。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：

（1）函数是非空数集到非空数集的映射。

（2）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。

（3）f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。

（4）集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。

（5）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。

〖讲解例题〗

例1，问y＝1（x∈A）是不是函数？

解：y＝1可以化为y＝0•x＋1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。

［注］：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。

〖课时小结〗

1．映射的定义。

2．函数的近代定义。

3．函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4．函数近代定义的五大注意点。

〖课后作业及板书设计〗

书本P51习题2.1的1、2写在书上，3、4、5上交。

篇5：函数概念教案

1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念，进一步理解函数的本质是数集之间的对应；

2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义，会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；

3．通过教学，进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：

用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：

一、问题情境

1．情境．

复述函数及函数的定义域的概念．

2．问题．

概念中集合A为函数的定义域，集合B的作用是什么呢？

二、学生活动

1．理解函数的值域的概念；

2．能利用观察法求简单函数的值域；

3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．

三、数学建构

1．函数的值域：

（1）按照对应法则f，对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之

为函数的值域；

（2）值域是集合B的子集．

2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；

四、数学运用

（一）例题．

例1 已知函数f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．

例2 根据不同条件，分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．

（1）x∈{－1，0，1，2，3}；

（2）x∈R；

（3）x∈[－1，3]；

（4）x∈(－1，2]；

（5）x∈(－1，1)．

例3 求下列函数的值域：

①＝ ；②＝ ．

例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：

x1234x1234

f(x)2341g(x)2143

分别求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．

（二）练习．

（1）求下列函数的值域：

①＝2－x2；②＝3－|x|．

（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．

（3）已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比较一下，看有什么发现．

（4）已知函数＝f(x)的定义域为[－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定义域．

（5）已知f(x)的定义域为[－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定义域．

五、回顾小结

函数的对应本质，函数的定义域与值域；

利用分解的思想研究复合函数．

六、作业

篇6：函数概念教案

1、进一步理解的概念，能从简单的实际事例中，抽象出关系，列出解析式；

2、使学生分清常量与变量，并能确定自变量的取值范围.

3、会求值，并体会自变量与值间的对应关系.

4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.

5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.

教学重点：了解的意义，会求自变量的取值范围及求值.

教学难点：概念的抽象性.

教学过程：

（一）引入新课：

上一节课我们讲了的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的.

生活中有很多实例反映了关系，你能举出一个，并指出式中的自变量与吗？

1、学校计划组织一次春游，学生每人交30元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系.

2、为迎接新年，班委会计划购买100元的小礼物送给同学，求所能购买的总数n（个）与单价（a）元的关系.

解：1、y=30n

y是，n是自变量

2、 ，n是，a是自变量.

（二）讲授新课

刚才所举例子中的，都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.

例1、求下列中自变量x的取值范围．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

分析：在（1）、（2）中，x取任意实数， 与 都有意义.

（3）小题的 是一个分式，分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是 ，因此要求 .

同理（4）小题的 也是分式，分式成立的条件是分母不为0，这道题的分母是 ，因此要求 且 .

第（5）小题， 是二次根式，二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零. 的被开方数是 ．

同理，第(6)小题 也是二次根式, 是被开方数,

.

解：（1）全体实数

（2）全体实数

（3）

（4） 且

（5）

（6）

小结：从上面的例题中可以看出的解析式是整数时，自变量可取全体实数；的解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零；的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于、等于零.

注意：有些同学没有真正理解解析式是分式时，自变量的取值应使分母不为零，片面地认为，凡是分母，只要 即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么？然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.