集合与函数概念重难点

第一篇：集合与函数概念重难点

集合与函数概念小结复习18

集合与函数概念(复习) 导入新课

为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题

①第一节是集合，分为几部分? ②第二节是函数，分为几部分?

③第三节是函数的基本性质，分为几部分? ④画出本章的知识结构图. 讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分. ②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分;其中又把函数的概念拓展为映射. ③分为：单调性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知识结构图如图1-1所示，

图1-1 应用示例

例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有(

) A.P∩Q= B.PQ

C.P=Q

D.PQ

点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集. 变式训练

1.2007山东威海一模，文1设集合M={x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是(

) A.M=P

B.PM

C.MP

D.M∩P=R

2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于(

) A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合. 例2求函数y=x2+1的最小值.

分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值; 思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.

点评：求函数最值的方法：

观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,x≥0等，直接观察写出函数的最值;

公式法：求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值时，应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式)，直接写出其最值. 例3求函数y=3x的最大值和最小值. 2x4分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.

ax2bxc点评：形如函数y=2(d≠0)，当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时，常用判dxcxf别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组n24mk0,此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大m0.值和最小值. 例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)在区间(1，+∞)上一定(

) xA.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x

1、x2;②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等;③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值. 变式训练

求函数f(x)=x-1的单调区间. 点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f[g(x)]，如果y=f(u)，u=g(x)2

有相同的单调性时，函数y=f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间. 注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则. 例5集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，则实数m=________. 黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误m=-1,问题要全面，要注意空集是任何集合的子集. 变式训练

1.避免此类错误的方法是考虑4x20已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围. 5x0

点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用;空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集;

要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏. 例6求函数y=x+4,x∈[1,3]的最大值和最小值. x分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性.

点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上是减函数，在区间[b,c]上是增函数，那么函数y=f(x)在区间[a,c]上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b);函数y=f(x)在区间[a,b]上是增函数，在区间[b,c]上是减函数，那么函数y=f(x)在区间[a,c]上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累. 例7求函数y=x4+2x2-2的最小值.

点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+bxc(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或bxc=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域. 例82007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(

xy). 1xy(1) 求证：函数f(x)是奇函数;

(2) 若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.

点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法;判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，

知能训练

1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于(

) A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}

D.{2} 2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则等于(

) A. B.{2,4,7,8}

C.{1,3,5,6}

D.{2,4,6,8} 3.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x. (1)求f(x);

(2)求f(x)在区间[-1，1]上的最大值和最小值. 课堂小结

本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业

复习参考题任选两题.

(S∪T)

第二篇：2017-2018学年福州十五中学高一集合与函数概念

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 若集合M={-1，0，1}，集合N={0，1，2}，则M∩N=(

) A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{0，1，2}

D.{-1，0，1，2} 2. 集合A={-1，0，1}的子集中，含有元素0的子集共有(

) A.2个

B.4个

C.6个

D.8个

3. 下列函数中与yx图象相同的一个是(

)

x2A.y(x)

B.yx

C.y

D.yx2

x2334. 设函数f(x)2x3，g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是(

) A.2x

1B.2x1

C.2x

3 D.2x7

5. 集合Axx2，集合Bxx

) A.a

2B.a2

C.a2

D.a2 6. 下列图形中表示函数图象的是(

) 

7. 设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)f(x)f(x)在R上一定是(

) A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

8. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是(

)

A. 增函数且最小值为-5

B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最大值是-5

D. 减函数且最小值是-5 24]上是减函数，f(x)x2(a1)x2在(，9. 如果函数那么实数a取值范围是(

)

A.a≤-3

B.a≥-3

C.a≤5

D.a≥5

10. 函数y=f(x)的定义域为R且f(1)=0，若对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0恒成立,则不等式f(1−x)<0的解集为(

) 1 A. (−∞,0)

B. (−∞,1)

C. (0,+∞)

D. (1,+∞)

二、填空题(每题4分，共28分) 11. yx4的定义域为_______________________. x512. f(x)x21,x02x,x>0，则f(f(3))__________________. 13. 已知f(12x)3x1，则f(3)_______________. 14. 若f(x)(a1)x4(b3)x3bx2是偶函数，其定义域为(a6，2a)，则a_________,b=__________. 15. 已知f(x2)x2x，则f(x)的解析式为__________________________. 16. 函数y2x1的值域为___________________________. x317. 已知函数y2x5，x{xN1x4}，则函数的值域为_____________________.

三、解答题(共42分)

218. 已知A{a2，(a1)，a23a3}，若1∈A，求实数a的值.(8分)

219. 已知集合A{xx2x30}，B{xm1x2m7}(Ⅰ)当m=1时，求集合A∩B，;(Ⅱ)若满足A∪B=B，求实数m的取值范围。(8分)

2 20. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)=x2+4x+3.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间; (3)求f(x)在区间[-1，2]上的值域.

21. 已知函数f(x)2x1x1，(1)判断f(x)在区间(-1，+∞)上单调性，并证明;(求函数[1,3]上的最小值和最大值。(10分)

2)22. 已知函数f(x)是奇函数，而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

23. 已知关于x的方程：x2+2(a−1)x+2a+6=0， (1)若方程有两个实根，求实数a的范围;

(2)设函数f(x)=x2+2(a−1)x+2a+6,x∈[−1,1],记此函数的最大值为M(a),最小值为N(a),求M(a)、N(a)的解析式。

第三篇：映射与函数的概念大全

教案一

课题：3.1映射与函数：

一、映射与函数的概念.

教学目标：1. 了解映射的概念.如果给出两个集合的对应关系，能判断它是不是映射关系.

2. 理解以映射为基础的函数概念，加深对初中函数概念的理解和沟通.理解和掌握函数符号的意义和简单应用.

3. 培养学生的观察能力、识图能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力、运算能力.

4. 学会分析综合、归纳演绎，用数形结合的思想分析问题和解决问题.渗透符号化思想和联系的观点.

教学重点：函数的概念.

教学难点：对函数概念的理解.

教学方法：讲授法.

教学手段：三角板、小黑板、投影仪、胶片. 课时安排：1课时.

课堂类型：新授课.

教学过程： 课件

一、复习导入

1. 复习提问：初中所学的函数的概念是什么?(学生口答这一问题.)

2. 导入新课：初中所学函数的概念可看成是数集到数集的一种对应，有一定的局限性.其实，在现实生活和科学研究中有很多非数集之间的对应.这节课我们将继续研究函数的概念，今天我们学习第三章3.1节映射与函数.(教师口述这些导入语，并板书课题，导入新课.)

二、讲授新课

1. 实例分析

例1： (出示小黑板)设表示东方职业高级中学全体同学构成的集合，则对中任一元素(某个学生)，通过测量身高，在实数集中必有唯一一个实数和对应.

解：(教师口述)因为中的每个同学都有自己确定的身高，身高是一个确定的正实

中任一元素对应唯一一个正数，同一个同学在同一次测量中只可能有一个身高，所以对实数.这是典型的人与数的对应.(启发学生思考、回答，教师板书.)

例2： (出示小黑板)对任一对有序实数对(，)，在直角坐标系中对应唯一一点(，).

解：(教师口述画图说明)任一有序实数对(，第3.1节例2.如图，任一对有序实数对(，点(，).如取=1，

)与点(，)对应 ,演示课件：

)，作为点的坐标，在坐标系中对应唯一一

(1，1).=1，有序实数时(1，1)，对应坐标系中唯一一点这是典型的有序实数对与点的对应.(启发学生思考、回答，教师板书.)

例3： (出示小黑板)△△上有唯一对称点

与△关于轴对称.对△边上任一点，在

与之对应.

解：如图，对△→，→，→

边上任一点，在△，

→

上都有唯一对称点与之对应.如

.这是典型的点与点的对应.(启发学生思考、回答，教师板书.)

2. 映射的定义(重点，红字突出，通过对上述三个实例的分析，归纳出映射的定义，并板书.)

设、是两个非空集合，如果按照某种对应法则

和对应，则称

=

是集合

，对到

内任一个元素，在

是在映射中总有一个，且仅有一个元素的作用下的象，记作

的映射;称

，于是，称作的原象，映射可记为：

：→，

→，

其中定等于.) 叫做的定义域，由所有象所构成的集合叫做的值域.(强调值域不一

3. 函数的概念(重点，红笔突出.板书，在映射的基础上定义函数的概念，明确定义域、值域.的意义，强调允许函数的多种说法并存.)

映射概念是初中函数概念的推广，通常就把映射叫做函数.函数的定义域是使函数有意义的实数全体构成的集合，函数的值域是所有函数值的集合.的函数值.关于的函数

4. 例题分析

经常写作函数

=

或函数

.

的意义是函数

在

例4： (出示投影.重点例题.)在图3-3中，图(1)、(2)、(3)、用箭头所标明的元素与中元素的对应法则，是不是映射?

中

解：(启发学生思考、分析、老师总结、分析、板书.)在图(1)中，通过开平方运算，在

中的一个元素，中有两个元素与之对应.这种对应法则不符合上述映射的定义，所以这种对应关系不是映射;

在图(2)中，中任一个元素，通过加倍运算，在中有且只有一个元素与之对应，所以这种对应法则是映射;

图(3)中的平方运算法则同样是映射.因为中每一个数通过平方运算，在中都有唯一的一个数与之对应.图(3)与(2)不同的是，(启发学生分析比较，找出不同点.)在图(3)的中每两个元素同时对应

中的一个元素，而在

中，10和16在

中没有原象.

结论：(投影，启发学生归纳出映射的实质)到的映射只允许多个元素对应一个

相等，一般是

的一个子集. 元素，而不允许一个元素对应多个元素.映射的值域不一定和

例5：(投影)有、、三名射手参加射击比赛，他们在一轮射击中(每人5发子弹)，射得的总环数分别为32，48，40.试问三名射手所构成的集合与每人射击可能得的总环数构成的集合之间的对应关系是不是映射?如果是映射，试写出映射的定义域和值域.

解：(启发学生思考、分析讲解，老师分析、总结，投影.)设三名射手所构成的集合为，则={，，}，每人5次射击所得可能总环数构成的集合是

={∈

|0≤≤50}.由于三名射手每在一轮射击中，有且只有一个总环数与之对应，所以A到B的对应法则是映射.

定义域：;值域：{32，48，40}.

三、课堂练习

1.(重点练习题.投影，启发学生思考、分析、口答，老师定正.)在下列各题中，哪些对应法则是映射?哪些不是?如果是映射，哪些映射的值域与的真子集?

相等，哪些映射的值域是

(1)={0，1，2，3}，={1，2，3，4}，对应法则：“加1”;

(2)=，=，对应法则：“求平方根”;

(3)=，=，对应法则：“3倍”;

(4)=，=，对应法则：“求绝对值”;

(5)=，=，对应法则：“求倒数”.

2.(重点练习题.投影，启发学生思考、练习、出示解题过程.) 已知函数∈{0，1，2，3，5}，求

(0)，

(2)，

(5)及

的值域.

=2-3，

解：(老师强调值域的求法.)(0)=-3，(2)=1，(5)=7.

又(1)=-1，(3)=3，

∴的值域为{-3，-1，1，3，7}.

3.(投影，启发学生分析、讨论、举例说明，老师定正.)已知集合是映射，试问中的元素在

中是否都有象?

中的元素是否在

到集合的对应

中都有原象?为什么?

四、课堂小结(老师口述投影)

这节课我们主要学习了映射与函数的概念及简单应用，要求同学们加深对映射与函数概念的理解，掌握函数

的意义.

五、布置作业(投影说明)

1. 复习本节课文，并整理笔记.

2. 书面作业：第85页习题3-1第1，2题

数学思想方法

函数思想，数形结合思想.待定系数法.

1.函数的思想

本章的中心议题是函数.初中用自变量和因变量之间的单值对应的定义初步探讨了函数的概念、函数关系的表示方法.本章则用集合、映射的思想对函数进行再认识，研究了函数关系的建立、函数的表示方法和函数的几个重要性质.在教学中要充分重视映射(函数)思想方法的培养，在练习和作业中，训练学生用函数的思想观察、分析有关问题.

2.数形结合的思想

本章在分析函数性质时，既观察函数图象，又重视对函数解析式的代数分析，充分体现了数形结合的思想.在教学中，不能单打一的让学生只通过观察图象来总结函数性质，也不能不看图只对解析式进行代数分析就得出函数性质.前者只会使学生仍停留在初中的具体直观思维阶段，而后者则容易脱离学生原有认识水平，造成学习困难.正确的做法是数形结合，使学生顺利进行由具体直观思维到抽象思维、理论思维的发展.

3.待定系数法

本章专设一节待定系数法，应该很好的利用这个优势，对学生进行待定系数法的教学.

4.配方法

在研究二次函数时，配方法是重要方法.在今后也有大量应用

第四篇：高一数学教案：变量与函数的概念

学习目标：

(1)理解函数的概念

(2)会用集合与对应语言来刻画函数，

(3)了解构成函数的要素。

重点：

函数概念的理解

难点：

函数符号y=f(x)的理解

知识梳理：

自学课本P29—P31，填充以下空格。

1、设集合A是一个非空的实数集，对于A内 ，按照确定的对应法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作 。

2、对函数 ，其中x叫做 ，x的取值范围(数集A)叫做这个函数的 ，所有函数值的集合 叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。

3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要

。

4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验：

① ;② 。

5、设a, b是两个实数，且a

(1)满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，记作 。

(2)满足不等式a

(3)满足不等式 或 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ;

分别满足x≥a,x>a,x≤a,x

其中实数a, b表示区间的两端点。

完成课本P33，练习A

1、2;练习B

1、

2、3。

例题解析

题型一：函数的概念

例1：下图中可表示函数y=f(x)的图像的只可能是( )

练习：设M={x| }，N={y| },给出下列四个图像，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有____个。

题型二：相同函数的判断问题

例2：已知下列四组函数：① 与y=1 ② 与y=x ③ 与

④ 与 其中表示同一函数的是( )

A. ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④

练习：已知下列四组函数，表示同一函数的是( )

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

题型三：函数的定义域和值域问题

例3：求函数f(x)= 的定义域

练习：课本P33练习A组 4.例4：求函数 ， ，在0，1，2处的函数值和值域。

当堂检测

1、下列各组函数中，表示同一个函数的是( A )

A、 B、

C、 D、

2、已知函数 满足f(1)=f(2)=0，则f(-1)的值是( C )

A、5 B、-5 C、6 D、-6

3、给出下列四个命题：

① 函数就是两个数集之间的对应关系;

② 若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素;

③ 因为 的函数值不随 的变化而变化，所以 不是函数;

④ 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有( B )

A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个

4、下列函数完全相同的是 ( D )

A. , B. ,

C. , D. ,

5、在下列四个图形中，不能表示函数的图象的是 ( B )

6、设 ，则 等于 ( D )

A. B. C. 1 D.0

7、已知函数 ，求 的值.( )

第五篇：《指数函数概念与图象》教学设计

郑美华

〈设计思想〉新课程改革的根本目的是更加全面，更加深刻地实施素质教育，强调学生形成积极主动的学习态度，所以我在教学设计过程中倡导学生主动参与，乐于探究，培养学生学会用科学的方法获得知识，逐步形成发现问题与分析问题的能力。下面从几个方面谈我的教学设计。

﹙一﹚教材分析

1、地位和作用

本节课是在《集合与函数概念》一章中继函数性质后的第一个具体函数，通过本节课学习过程可以使学生体会研究具体函数的过程和方法，为进一步研究其它函数奠定基础。而图象变换也是本章的难点，分散难点也是本节课的设计意图。

2、教学目标

①使学生理解指数函数的概念和意义，能画出指数函数的图像 ②探索指数函数衍生函数图象

③培养学生独立分析和解决问题的能力

3、教学重点

指数函数概念和图象

4、教学难点

探索指数函数有关的图象变换 ﹙二﹚分析学生情况与教材处理

我校是一所省级师范性高中，学生普遍基础扎实，思维活跃开阔，求知欲强。但是部分学生过分依赖老师，独立分析问题解决问题能力较差，因此通过教师的引领提高这方面能力就显得尤为重要。

﹙三﹚教学方法

①以设疑，探究，解疑为主体 ②多次应用启发式教学

③设置知识台阶，将问题一分为二，化难为易 ﹙四﹚教学程序

1、指数函数概念

形如yaxa0,a1的函数叫指数函数

xx1〈思考〉①y2 ②y3 ③y5.4 是否是指数函数?

x﹙学生讨论，得出正确答案﹚

2、指数函数图象

①四组同学分别画y2,y3,y4,y5图象

②请同学讨论这四个函数的共同特点：定义域为R;值域为0,;过0,1;在R上单调递增。

◆电脑演示时指数函数图象a1

xxxx11◆四组同学分别画y,y图象

23◆请同学讨论这两个函数共同特点：定义域为R;值域为0,;过0,1;在R上单调递减。

◆电脑演示0a1时指数函数图象 ◆请同学总结两类图象

﹙三﹚研究指数函数图象与底数关系

xx11◆请同学在同一坐标系中画函数y2x,y3x,y,y的图象

23◆讨论图象与底数关系：a1时，a越大图象在Y轴右侧越接近Y轴，Y轴左侧部分越接近X轴。0a1时，a越小图象在Y轴左侧越接近Y轴，在Y轴右侧部分越接近X轴。

﹙四﹚巩固练习

1、 ① y2x1 ② y3x1 ③ y2x ④ y2|x|

2、 画函数y|3x1|简图，并利用图象回答： ① 何时方程|3x1|k无解? ② 何时方程|3x1|k有一解?

﹙五﹚请同学总结本堂课内容

xx