例举线段相等的证明方法

例举线段相等的证明方法（通用7篇）

篇1：例举线段相等的证明方法

证明线段相等的方法

三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法

（一）相交直线及平行线：

①二直线 相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角

都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行

（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另

一角的右边，则此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）

②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三

内角都相等）

④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角

形

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：

①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

证明直角三角形的方法

①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形

③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形

篇2：例举线段相等的证明方法

要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：

（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中

一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中

一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况

一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

证明线段和角相等的技巧

⒈ 怎样证明两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 三角形

①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；

②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；

④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；

⑵ 证特殊四边形

①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；

②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；

③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；

⑶ 圆

①同圆或等圆的半径相等；

②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；

③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都相等；

④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；

⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；

等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若a

cb

c，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等

证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；

⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；

⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；

⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；

篇3：例举线段相等的证明方法

关键词：创新能力,基本技能,分析方法,数学思想,知识迁移

一、端正思想、抓好常规教学

学生掌握一定的证明方法，能写出规范的证明过程，绝不是仅凭几节课就可以完成。这就要求教师在上第一节数学课的时候，就要有准备，要有恒心和毅力，不可急于求成。课堂上要注重数学语言的锤炼，用精练、准确、严谨的数学语言，让学生初步感受数学语言的魅力、数学的魅力。同时精心备课，熟练把握教材，掌握课程标准，并不断地改进教学方法、指导学法，提高课堂教学效率。

二、注重课本基础知识的教学

俗语说得好：“万变不离其宗”、“万丈高楼平地起”、“想走好一大步，先走好一小步”……充分说明课本基础知识的重要性。因此，在实际教学中，要关注课本中概念、定理、公式、法则等的教学，在合作探究，理解记忆概念、定理、公式、法则的基础上，个别情况下可强化记忆、机械记忆，这一点符合教育学中从感性知识到理性知识的过渡。

三、培养学生的基本技能和方法

新课程改革环境下，知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观是三维教学目标。学生掌握一定的数学技能和数学方法是运用数学知识解决实际问题的前提。基本技能是基础知识的延续，基本方法是基本技能的应用，基本知识的延伸迁移应用即能力。例：如图，BD平分∠ABC,DE//BC是课本中的基本概念，但两者结合应用，则易得△BDE是等腰三角形，如果将这些结论应用于较复杂的图形，就达到基础知识升华为基本技能的目的。同时，课堂上有效指导学生对文字语言、符号语言、图形语言等数学语言进行转化，这也是数学基本能力的培养。

四、教学中渗透数学思想

中学数学中主要有数形结合、分类讨论、化归（方程、转化）、整体等数学思想。课堂教学中渗透数学思想的教学，可有效提高学生的数学能力，培养学生认真、严谨、灵活的思维能力，从而完成问题转化、知识迁移、解决问题的过程。例：如图，解决四边形的内角和问题时，可利用适当的辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用“三角形的内角和等于180°”，进而推导“四边形的内角和等于360°”。这就是问题的有效转化和知识的迁移，使问题简单明了。

五、引导学生从条件或结论入手，分析、推理、归纳、总结，将知识转化为能力

具体来说：“两条线段相等的证明”可以从以下几个思路入手：

思路1：利用等腰三角形的判定（“等角对等边”）。

如图：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC，试判断CE与CF的关系，解：CE=CF。

此法的应用需有以下条件：两线段能构成三角形，且易证两角相等。

思路2：利用全等三角形证明。

如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABD=90°，F是AD上一点，且DF=DC，试判断BF与AC的关系，解：BF=AC,BF⊥AC。

此法的运用需有以下条件：两线段不能构成三角形，但易证两三角形全等。

思路3：利用平行四边形的性质证明。

如图：E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，求证：BE=DF。

证明：连结BD、DE、BF摇∵四边形ABCD是平行四边形。

∴OA=OC OB=OD摇∵AE=CF摇∴OE=OF摇∵OB=OD摇∴四边形BEDF是平行四边形摇∴BE=DF。

此法的运用需有以下条件：两线段能构成平行四边形的两边，且易证该四边形是平行四边形。

以上几点，是我在初中数学几何证明问题教学中的点滴体会和看法，不能涵盖全部，也有不足之处，敬请专家指点。

总之，在教学中不断地分析总结、归纳反思，不仅能增加学生学习数学的兴趣，提高学习效率和教师的工作效率，而且可以使学生的分析思维能力得到进一步的发展，从而提高学生的数学能力和利用数学知识解决实际问题的能力。

参考文献

篇4：证明线段的积相等的两种方法

一、利用相似三角形的性质

1.利用比例式

首先，把积相等的式子化为比例式.观察比例式中的四条线段，寻找包含它们的两个三角形，再设法证明这两个三角形相似，并得到待证式子.

例1已知：如图1，AD、BE是△ABC的高，F是垂心.求证：AF·FD=BF·EF.

分析： 要证AF·FD=BF·EF，只需证 = .横看等式上边AF、EF在△AEF中，等式下边FD、BF在△BDF中.因此，只需证明△AEF∽△BDF即可.

证明： ∵AD、BE是△ABC的高，∴∠AEF=∠BDF=90°.

又∵∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△BDF. ∴ = ，即AF·FD=BF·EF.

2.利用相等线段

当待证式子中的四条线段，分布在两个明显不相似的三角形中时，可对条件进行分析，观察题中是否存在与待证式子中的线段相等的线段.如果存在，将待证式子中的线段用相等线段代换，然后再进行求解.

例2已知：如图2，在△ABC中，∠ABE=∠C，BF=BD，求证：AC·BD=AB·CD.

分析： 要证AC·BD=AB·CD，只需证 = ，横看等式上边的AC、CD在△ACD中，等式下边AB、BD在△ABD中.但这两个三角形明显不相似.这时，考虑到已知条件中有BF=BD，试用BD代换BF，得到比例式 = ，因此我们只需证明△ABF∽△ACD，问题就迎刃而解了.

证明： ∵BF=BD，∴ ∠BFD=∠BDF.∴ ∠AFB=∠ADC.

又∵∠ABE=∠C，∴△ABF∽△ACD. ∴= .

由BF=BD， ∴ = ，即AC·BD=AB·CD.

3.利用中间比

当待证式子中的四条线段，所涉及的两个三角形不相似而题中又无相等线段，但由条件可以看出图形中有多对相似三角形时，应仔细观察待证式子中的四条线段，试着寻找与其中几条线段相关的两对相似三角形，然后利用比例的传递性来证明.

例3已知：如图3，AC是?荀ABCD的对角线，G是AD延长线上的点，BG交AC于F，交CD于E. 求证： BF·AB=CE·FG.

分析： 要证BF·AB=CE·FG，只需证 = .而上述的两种方法都行不通，这时我们利用?荀ABCD的性质得到，AG∥BC，CE∥AB，则 = ， = .故 是中间比，用它进行代换就能顺利地解答本题.

证明：∵在?荀ABCD中，AD∥BC， ∴△AFG ∽△CFB . ∴ = .

又 ∵在?荀ABCD中，AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF. ∴ = .

∴＝ ，即BF·ＡＢ＝CE·FG.

4.利用辅助线

若题中没有相似三角形，可以考虑添加平行线，构造出相似三角形.

例4已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F，求证：DF·AC=BC·EF.

分析：可将DF·AC=BC·EF转化为 = .观察比例式下边AC、BC在△ABC中，而上边DF、EF在同一直线上，因此不能直接利用相似三角形来证明.这时，可考虑作DM∥AB交BC于M，得 = = ， = ，即证.

证明：作DM∥AB交BC于M.

∵在△EDM中，DM ∥AB， ∴ = .

∵在△ABC中，DM∥ AB，∴ = .

又 ∵ BE=AD，∴ = .∴ = ，即DF·AC=BC·EF.

二、利用面积相等

当待证式子的两边的线段分别垂直时，我们常常利用面积相等的方法来证明.

例5已知：如图5，在?荀ABCD中，AE垂直BC于E，AF垂直CD于F，求证：BC·AE=CD·AF.

分析： 我们不难发现待证式子的左右两边的两条线段的乘积正好是平行四边形的面积，于是问题马上就得以解决.

证明：∵S ABCD =BC·AE，S ?荀ABCD =CD·AF，

∴ BC·AE=CD·AF.

篇5：证明角相等的方法

1.通过平行线的性质来证明角相等

2.通过全等三角形对应角相等来证明角相等

3.通过相似三角形对应角相等来证明角相等

4.通过同角或等角的余角或补角相等来证明角相等

篇6：初中几何证明两条线段相等的技巧

(1) 全等三角形中的对应线段相等。

(2) 同一个三角形中等角对等边。

(3) 等腰三角形中顶角平分线、底边上的高线平分底边。

(4) 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半;如果一个锐角等于30°, 那么它的对边等于斜边的一半。

(5) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

(6) 角平分线上的点到角两边的距离相等。

(7) 平行四边形的对边相等;对角线互相平分。

(8) 矩形的对角线相等。

(9) 菱形和正方形的四条边都相等。

(10) 平行线间的距离处处相等。

(11) 三角形的中位线等于第三边的一半;梯形的中位线等于两底边和的一半。

(12) 平行线等分线段定理, 包括经过三角形一边中点并且平行于另一边的直线平分第三边。

(13) 利用中心旋转对称或者轴对称的性质。

掌握了这些知识, 再根据不同的已知条件来进行证明。下面以“证明线段相等关系的技巧”举例分析, 但愿笔者下面的分析能对你有所帮助。

要证明两条线段相等, 一般的思路是从结论入手, 结合已知分析, 主要看要证明的两条线段分布的位置怎样, 无外乎有两种情况:

(1) 要证明的两条线段分别在两个三角形中;

(2) 要证明的两条线段在同一个三角形中;

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中

一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等 (必要时可添加辅助线) 。

例1已知:如图1, B、C、E三点在一条直线上, △ABC和△DCE均为等边三角形, 连结AE、DB, 求证:AE=DB。

分析:从结论入手, 要证明线段AE=DB, 即看AE和DB分别是△ACE和△BCD的一边, 因此, 欲证AE=DB, 只需证△ACE≌△BCD即可, 而在这两个三角形中, AC=BC, EC=DC, 欲证△ACE≌△BCD, 只须证∠ACE=∠BCD, 又因为∠DCE=∠ACB=60°, 于是, ∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD, 即∠ACE=∠DCB, 故结论可证。

证明:∵△ABC和△DCE均为等边三角形

即∠ACE=∠DCB

在△ACE和△BCD中BC=AC

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中

一般的思路是利用等角的对等边 (必要时可添加辅助线) 。

例2已知:如图2△ABC中AB=AC, D为BC上一点, 过D作DF⊥BC交AC于E, 交BA的延长线于F,

求证:AE=AF。

分析:证明同一三角形中两条边相等, 一般不采用全等三角形, 而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。

证明:法一:

法二:考虑到AB=AC, 即△ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性 (三线合一) 作辅助线, 过顶点A作AG⊥BC于G, 于是∠BAG=∠CAG, 又∵DF⊥BC, ∴AG∥DF, ∴∠AEF=∠CAG, ∠BAG=∠F, ∴∠AEF=∠F, ∴AE=AF。

篇7：张角定理在证明线段相等中的应用

本文现将张角定理及其在线段相等证明中的应用介绍如下，供参考.

一、张角定理

如图1，设直线AB上有一点C，在直线AB外有一点P，且视点P对于线段AC，CB的张角分别为α，β，若α+β<180°，则=+.

证：△PAB＝△PAC+△PCB，

∴PA·PB·sin（α+β）

＝PA·PC·sinα+PC·PB·sinβ两边同除以

PA·PB·PC，即得所证.

二、应用举例

例1在线段AC上任取一点B，分别以AB，BC为边，在AC的同侧，作等边△ABD，△BCE；连AE，交DB于M；连DC，交EB于N.

求证：BM＝BN.

证：如图2，以B为视点，分别对A，M，E及D，N，C用张角定理，得=+，=+，而BA＝BD，BE＝BC，∴BM＝BN.

例2 已知四边形MCND两组对边延长所得交点的连线AB与四边形的一条对角线CD平行，又MN的延长线交AB于F.

求证：AF=FB.

证：如图3，设∠MAC=α，∠CAB=β，以A为视点，分别对B，N，D；B，C，M及F，N，M用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+，（3）

在△ACD中，= . （4）

∴（1）+（2）-（3）-（4），得=，

∴AB=2AF，故AF=FB，.

例3 如图4，以⊙O的直径AB为一边作等边△ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，CN交AB于D，E.

求证：AD=DE=EB.

证：连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得

=+，

∴AD=.

设⊙O的半径为R，则

AD==R.

由图形的对称性知：BE=R.

∴DE=2R-R-R==AD=EB.

例4 已知M是⊙O的弦AB的中点，过M任作两弦CD，EF，连结CF，DE分别交AB于G，H. 求证：MH=MG（蝴蝶定理）.

证：如图5，设∠GMF=α，∠HMD=β，

以M为视点，对E，H，D及F，G，C分别用张角定理，得

=+， （1）

=+.（2）

∴（1）－（2），得

sin（α+β）（-），

=（MF-ME）-（MD-MC）. （3）

设P，Q分别是CD，EF的中点，则

MD-MC=2MP=2MOsinβ，

MF-ME=2MQ=2MOsinα，（4）

∵ME·MF=MC·MD，

∴将（4）代入（3），得

sin（α+β）（-）=0，

∵α+β≠180°，∴sin（α+β）≠0，

∴MH=MG.

例5 在“筝形”ABCD中，AB=AD，BC=CD，过AC，BD的交点O任作两条直线，分别交AD于E，BC于F，AB于G，CD于H. GF，EH分别交BD于I，J.

求证： OI=OJ.

证：如图6，易知AC⊥BD，设∠EOD=α，∠DOH=β. 以O为视点，分别对G，I，F；E，J，H；A，G，B；A，E，D；C，H，D和B，F，C用张角定理，得

=+， （1）

=+， （2）

=+， （3）

=+， （4）

=+， （5）

=+， （6）

将（3）和（6）中OG与OF的表达式同时代入（1），得

=（OA·OBsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OB·OCsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（7）

将（4）和（5）中OE与OH的表达式同时代入（2），得

=（OC·ODsinβsinα+OA·OC

sinβcosα+OA·ODsinαsinβ+OA·OCsinαcosβ），（8）

因为OB=OD，所以由（7）和（8）即得OI=OJ.

综上所述可知，应用张角定理证明线段相等时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式，再结合三角知识，通过变形化简，消去无用的参变数即可.