《线段的垂直平分线》教案

《线段的垂直平分线》教案（通用12篇）

篇1：《线段的垂直平分线》教案

《线段的垂直平分线》教案

《线段的垂直平分线》教案 教学目标 1、 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 2、 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论 教学重点和难点 重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用 难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明 教学方法 观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法 教学手段 多媒体课件 教学过程设计 一、 从学生原有的认知结构提出问题 这节课，我们来研究线段的垂直平分线的尺规作图和性质。 二、 师生共同研究形成概念 1、 线段垂直平分线的性质 1) 猜想：我们看看上面我们所作的线段的垂直平分线有什么性质? 引导学生自主发现线段垂直平分线的性质。 2) 想一想 书本P 24 上面 应先让学生自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。这一思想方法应让学生理解。 3) 符号语言 ∵ P在线段AB的垂直平分线CD上 ∴ PA = PB 4) 定理解释： P为CD上的任意一点，只要P在CD上，总有PA = PB。 5) 此定理应用于证明两条线段相等 巩固练习1) 如图，已知直线AD是线段AB的垂直平分线，则AB = 。 2) 如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。 3) 如图，在△ABC中，AB = AC，∠AED = 50°，则∠B的度数为 。 2、 线段垂直平分线的逆定理 1) 想一想 书本P 24 想一想 困为这个命题不是“如果……那么……”的形式，所以学生说出或写出它的逆命题时可能会有一定的困难帮助学生分析它的条件和结论，再写出其逆命题，最后应要求学生按证明的格式将证明过程书写出来。 2) 猜想：我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有什么性质? 引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3) 符号语言 ∵ PA = PB ∴ P在线段AB的垂直平分线上 4) 定理解释 只要有PA = PB，则P为CD上的任意一点 5) 此定理应用于证明一点在某条线段的.垂直平分线上 巩固练习1) 已知点A和线段BC，且AB = AC，则点A在 。 2) 如果平面内的点C、D、E到线段AB的两端点的距离相等，则C、D、E均在线段AB的 。 3) 设 是线段AB的垂直平分线，且CA = CB，则点C一定 。 3、 讲解例题 例1 填空： 1、 如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。 1)则BD = ; 2)若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °，∠CDA = °; 3)若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，△ACD的周长为 。 2、 如图，△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，DE为AB的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °;若△ABC的周长为16cm，BC = 4cm，则AC = ，△BCE的周长为 。 例2 如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长。 分析：此题侧重于让学生体会解题过程，培养学生的逻辑思维。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。 例3 已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长是13cm，求△ABC的周长。 分析：此题与上例类似，在证明时，要多一步，要说明AC的长度。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。 三、 随堂练习1、 书本 P 26 随堂练习1 2、 《练习册》 P 6 3、 如图，已知AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于D。 1)若△DBC的周长为24cm，则BC = cm; 2)若BC = 8cm，则△BCD的周长是 cm。 4、 在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。 5、 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，AE = 2cm，求△CDB的周长。 四、 小结 线段的垂直平分线在计算、证明、作图中都有着重要作用。在前面学习中，有一些用三角形全等的知识来解决问题，现在可用线段垂直平分线的定理及其逆定理来解会更方便些。 五、 作业 书本 P 27习题1.6 3 六、 教学后记

篇2：《线段的垂直平分线》教案

教学目标(一)教学知识点

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．(二)思维训练要求

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点

1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 教学难点

写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题． 教学方法

探索——交流——合作法 教具准备 多媒体演示 教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用． [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．

[师]你为什么要这样做呢？

[生]我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

[师]这位同学分析得很详细，我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 同时，教师板演本节的题目： §1．3．1 线段的垂直平分线(一)Ⅱ．讲述新课

[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程．遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示．

[生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢．

[师]谁有办法来解决此问题呢？

[生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表．

[师]我觉得这位同学的做法很好．我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质． [师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．

求证：PA＝PB．

分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

[生]这个命题不是“如果„„那么„„”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果„„那么„„”的形式，逆命题就容易写出．

[师]谁来分析原命题的条件和结论呢？注意表述时要流畅，完整． [生]原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．

[生]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．

[师]谁能把它描述得更简捷？

[生]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． [师]当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成． [生A]证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．

[生B]证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P点在AB的垂直平分线上．

[生C]证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∴P点在线段AB的垂直平分线上．

[生D]证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分线上．

[生]前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂． [师]先请同学们看两个图．如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．

[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢？

教师多媒体演示： 做一做

用尺规作线段的垂直平分线．

[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． [师生共析] 已知：线段AB(如图)．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于交于点C和D．

2．作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)． ∴CD就是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线)．

[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

Ⅲ．随堂练习课本P25

1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点．如果EC＝7cm，那么ED＝________cm；如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝________．

1AB的长为半径作弧，两弧相2

解：∵AB是线段CD的垂直平分线，∴EC＝ED．又∵EC＝7cm，∴ED＝7cm．

∴∠EDC＝∠ECD＝60°．

2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P． 已知：直线l和l上一点P．

求作：PC⊥l．

作法：1．以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线l相交于点A和B． 2．作线段AB的垂直平分线PC． 直线PC就是所求的垂线． Ⅳ．课时小结

本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．

Ⅴ．课后作业习题1．6第1、3题 Ⅵ．活动与探究

(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；

(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．(3)你发现了什么样的规律？试证明之；

(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改． [过程]由(1)、(2)不难认识到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易认为点M一定在BC的延长线上，通过(4)也就是让△ABC保持AB＝AC的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．

[结果](1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB(等边对等角)． ∴∠B＝11(180°－∠A)＝×(180°－40°)＝70°． 22∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°〔如图(1)〕．(2)如图(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．(3)如图(3)，∠NMB的大小为∠A的一半． 证明：设∠A＝α．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)． ∴∠B＝1(180°－α)． 211(180°－α)＝α，22∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－即∠BMN等于顶角的一半．

(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．

板书设计

§1．3．1 线段的垂直平分线(一)

一、线段垂直平分线的性质定理．

二、线段垂直平分线的判定定理．

篇3：《线段的垂直平分线》教案

例1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,交AB于点E,DE=3,BD=4,求BC的长度.

【再认识】角平分线性质是说明线段相等的一种重要方法. 解题时,注意抓住图形的特征,从已知条件中找到角平分线的点及这点到角两边的垂线段,利用角平分线性质得到两条垂线段相等.

【分析】欲求BC的长,已知BD,且BC=BD+CD,进而将问题转化为求CD的长. 由AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,根据角平分线性质,可得CD=DE,从而求出BC的长度.

解:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,

∴ CD=DE=3,

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【变式】如图2,AB//CD,O为∠A、∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=2,求AB与CD之间的距离.

【分析】要求AB与CD之间的距离,首先过点O作直线OM⊥AB于点M,交CD于点N,则线段MN的长度即为AB与CD之间的距离. 因为AO、CO分别是∠BAC、∠ACD的角平分线,所以OE=OM=ON,则AB与CD之间的距离可求.

突破2:角平分线性质定理逆定理的再认识

例2如图3,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M、N. 试说明PM=PN.

【再认识】角平分线性质定理的逆定理是判定角平分线的一种重要方法. 在平面内找到一个点,通过这一点到角两边的距离相等来确定该点在角平分线上. 再根据两点确定一条直线,确定角平分线.

【分析】欲说明的是PM=PN,已知PM⊥AD,PN⊥CD,利用角平分线性质定理的逆定理,可猜测BD平分∠ADC. 已知BD是∠ABC的平分线,AB=BC,可证△ABD≌△ACD,从而证得BD平分∠ADC,进而将问题解决.

证明:∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB=∠CDB.

又∵PM⊥AD,PN⊥CD,

∴ PM=PN.

【变式】如图4,∠C=∠D=90°,BE平分∠ABC,且E为DC的中点,试说明AE平分∠BAD.

【分析】欲说明AE平分∠BAD,过点E作EF⊥AB于点F,由ED⊥AD,故只要说明EF=ED,又由E为DC的中点,即DE=EC,从而只要说明EF=EC即可.

突破3:垂直平分线性质的再认识

例3如图5,DE是△ABC的AC边的垂直平分线,E为垂足,DE交BC于点D,△ABD的周长为18cm,AB=8cm,求BC的长.

【再认识】线段的垂直平分线是证明两条线段相等的一种重要方法.解题时,抓住题中垂直平分线条件,把其上一点与线段的两端点连接起来,得到相等的线段,从而可以把线段进行转移.

【分析】由DE是AC的垂直平分线,得AD=DC,则BC=BD+DC=BD+AD,又AB+BD+AD=18 cm,AB=8 cm,从而求出BC的长.

解:∵DE是AC的垂直平分线,

∴ AD=DC,

∴ BD+AD=BD+DC.

∵ AB+BD+AD=18,AB=8,

∴ BD+AD=18-8=10,

∴ BD+DC=10.

即BC=10cm.

【变式】如图6,已知AB⊥CD于点B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于点E、F,EB=EF,求∠A的度数.

【分析】由CF是AD的垂直平分线想到连接DE,则AE=DE,故∠A=∠ADE. 又EB⊥CD ,EF⊥AD ,EB = EF ,所以DE是∠ADC的角平分线,所以∠CDE=∠ADE.又∠A+∠CDE+∠ADE=90°,从而求出∠A的度数.

突破4:垂直平分线性质定理的逆定理的再认识

例4如图7,AD是△ABC的角平分线 ,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高,求证:AD垂直平分EF.

【再认识】垂直平分线性质定理的逆定理是证明一个点在某线段的垂直平分线上的一种重要方法. 解题时,关键是找到一个点到线段两个端点的线段,说明这两条线段的长度相等,从而确定该点在线段的垂直平分线上.

【分析】欲说明AD垂直平分EF,只需说明AE=AF,DE=DF. 已知AD平分∠BAC,ED⊥AB,DF⊥AC,得DE=DF. 在Rt△AED和Rt△AFD中,根据DE=DF,AD=AD,得Rt△AED≌Rt△AFD,得AE=AF,从而将问题解决.

证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,

∴ DE=DF,

∴点D在线段EF的垂直平分线上.

∵ DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠AED=∠AFD=90°,

在Rt△AED和Rt△AFD中,

∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),

∴AE=AF,

∴A点在线段EF的垂直平分线上,

∴AD是线段EF的垂直平分线,

即AD垂直平分EF.

突破5:角平分线性质,垂直平分线性质的再应用

例5如图8,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于点D,F为垂足,DE⊥AB于点E,且AB>AC.求证:BEAC=AE.

【再应用】线段的垂直平分线和角平分线的基本图形往往构成复合体,形成崭新的考查亮点. 熟知角平分线及垂直平分线的基本图形是解答此题的关键.

【分析】补全线段垂直平分线和角平分线性质定理的两个基本图形,问题即可迎刃而解. 具体如下:连接DB、DC,作DG⊥CA于点G. 则由题意易得DB=DC,DE=DG,还可得到AG=AE,进而可得出△DBE≌△DCG(HL),于是有BE=GC=AG+AC=AE+AC,所以BE-AC=AE.

证明:作DG⊥AC于点G,连接BD、CD.

∵AD是外角∠BAG的平分线,DE⊥AB,

∴ DE=DG,

∵ DE⊥AB,DG⊥AC,

∴∠AED=∠AGD=90°,

在Rt△AGD和Rt△AED中,

∴ Rt△AGD≌Rt△AED(HL),

∴ AE=AG,

∵DF是BC的中垂线,

∴ BD=CD,

在Rt△BED和Rt△CGD中,

∴ Rt△BED≌Rt△CGD(HL),

∴ BE=CG=AC+AG,AG=AE,

∴ BE-AC=AE.

【变式】如图9,某地有两个村庄和两条相交叉的公路(点P、Q表示村庄,l1、l2表示公路). 现计划修建一座水库,要求水库到两村庄的距离相等,到两条公路的距离也相等. 你能确定水库应该建在什么位置吗?在所给图形中画出你的设计方案.(要求保留作图痕迹)

篇4：《线段的垂直平分线》教案

【关键词】线段垂直 等腰三角形 距离

例1：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长。

分析：要求△BCD的周长，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分线，可知DA=DB，于是问题获解。

解：因为MN是垂直平分线，点D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=13。

说明：这里通过线段的垂直平分线使问题整体求解，同学们不妨从中体会求解的技巧。

例2：如图 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，试说明线段BD=CD=AC理由。

分析：要说明线段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由条件可计算出∠DCB=∠B= 36°，进而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知识即可说明。

解：因为AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因为BC的垂直平分线DE交AB于点D，所以BD=CD，从而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

说明：本题的说明过程，实际上就是运用等腰三角形的知识和三角形内角和的知识求出有关角的大小。

例 3：如图 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F。求∠FAC的大小。

分析：避开∠B= 45°，我们可以设法利用线段的垂直平分线和角平分线、三角形的外角知识来说明∠FAC=∠B，这样即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，

因为∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

说明：综合运用所学的知识是处理本题的关键，所以同学们在求解时一定要灵活运用条件，认真观察分析图形的特征，寻找求解的最佳切入点。

例4：如图 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，试说明线段BE与DE相等的理由。

分析：要说明线段BE与DE相等，只要能说明点E在以点B、D为端点的线段的垂直平分线上，于是，连接BD，有条件可得AC是线段BD的垂直平分线。

解：连接BD，因为AB=AD，BC=DC，所以AC是线段BD的垂直平分线。因为点E在AC上，所以BE=DE。

说明：线段垂直平分线的这两个特征被广泛运用于说明线段的相等关系上，学习时一定要注意深刻领会，并要灵活运用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的大小。

分析：本题没有供图，所以按照题意我们可画出如图5和如图6所示的两种情况，所以本题应分两种情况讨论。

解：分两种情况：（1）如图5，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，则∠ADE=50°。

此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如图6，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC是钝角三角形，∠ADE=50°，此时，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：图6所示的情况最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出可能所画的图形，才能正确解题。endprint

【摘 要】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题运用十分广泛，本文特举例说明。

【关键词】线段垂直 等腰三角形 距离

例1：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长。

分析：要求△BCD的周长，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分线，可知DA=DB，于是问题获解。

解：因为MN是垂直平分线，点D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=13。

说明：这里通过线段的垂直平分线使问题整体求解，同学们不妨从中体会求解的技巧。

例2：如图 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，试说明线段BD=CD=AC理由。

分析：要说明线段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由条件可计算出∠DCB=∠B= 36°，进而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知识即可说明。

解：因为AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因为BC的垂直平分线DE交AB于点D，所以BD=CD，从而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

说明：本题的说明过程，实际上就是运用等腰三角形的知识和三角形内角和的知识求出有关角的大小。

例 3：如图 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F。求∠FAC的大小。

分析：避开∠B= 45°，我们可以设法利用线段的垂直平分线和角平分线、三角形的外角知识来说明∠FAC=∠B，这样即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，

因为∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

说明：综合运用所学的知识是处理本题的关键，所以同学们在求解时一定要灵活运用条件，认真观察分析图形的特征，寻找求解的最佳切入点。

例4：如图 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，试说明线段BE与DE相等的理由。

分析：要说明线段BE与DE相等，只要能说明点E在以点B、D为端点的线段的垂直平分线上，于是，连接BD，有条件可得AC是线段BD的垂直平分线。

解：连接BD，因为AB=AD，BC=DC，所以AC是线段BD的垂直平分线。因为点E在AC上，所以BE=DE。

说明：线段垂直平分线的这两个特征被广泛运用于说明线段的相等关系上，学习时一定要注意深刻领会，并要灵活运用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的大小。

分析：本题没有供图，所以按照题意我们可画出如图5和如图6所示的两种情况，所以本题应分两种情况讨论。

解：分两种情况：（1）如图5，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，则∠ADE=50°。

此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如图6，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC是钝角三角形，∠ADE=50°，此时，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：图6所示的情况最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出可能所画的图形，才能正确解题。endprint

【摘 要】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题运用十分广泛，本文特举例说明。

【关键词】线段垂直 等腰三角形 距离

例1：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，AB+BC=13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长。

分析：要求△BCD的周长，只需求BC+CD+BD。由MN是垂直平分线，可知DA=DB，于是问题获解。

解：因为MN是垂直平分线，点D在MN上，所以DA=DB，于是△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=13。

说明：这里通过线段的垂直平分线使问题整体求解，同学们不妨从中体会求解的技巧。

例2：如图 2，在△ABC中，AB=BC，∠B= 36°，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，试说明线段BD=CD=AC理由。

分析：要说明线段BD=CD=AC，想到等腰三角形，而由条件可计算出∠DCB=∠B= 36°，进而可得∠ACD= 36°，∠ADC=72°，于是利用等腰三角形的知识即可说明。

解：因为AB=BC， ∠B= 36°，所以∠A=∠ACB=72°。

又因为BC的垂直平分线DE交AB于点D，所以BD=CD，从而∠DCB=∠B= 36°，所以∠ACD= 36°，∠ADC=72°，所以CD=AC，故BD=CD=AC。

说明：本题的说明过程，实际上就是运用等腰三角形的知识和三角形内角和的知识求出有关角的大小。

例 3：如图 3在△ABC中，∠B= 45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F。求∠FAC的大小。

分析：避开∠B= 45°，我们可以设法利用线段的垂直平分线和角平分线、三角形的外角知识来说明∠FAC=∠B，这样即可求出∠FAC的大小。

解：EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F，所以FA=FD，所以∠FAD=∠FDA。

又因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，

因为∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∠B= 45°，所以∠FAC=∠B= 45°。

说明：综合运用所学的知识是处理本题的关键，所以同学们在求解时一定要灵活运用条件，认真观察分析图形的特征，寻找求解的最佳切入点。

例4：如图 4，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，试说明线段BE与DE相等的理由。

分析：要说明线段BE与DE相等，只要能说明点E在以点B、D为端点的线段的垂直平分线上，于是，连接BD，有条件可得AC是线段BD的垂直平分线。

解：连接BD，因为AB=AD，BC=DC，所以AC是线段BD的垂直平分线。因为点E在AC上，所以BE=DE。

说明：线段垂直平分线的这两个特征被广泛运用于说明线段的相等关系上，学习时一定要注意深刻领会，并要灵活运用。

例5：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的大小。

分析：本题没有供图，所以按照题意我们可画出如图5和如图6所示的两种情况，所以本题应分两种情况讨论。

解：分两种情况：（1）如图5，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，则∠ADE=50°。

此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°-40°）/2=70°；（2）如图6，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC是钝角三角形，∠ADE=50°，此时，可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°-140°）/2=20°。故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

篇5：线段的垂直平分线的性质教案

2.线段的垂直平分线性质定理和逆定理.

3.三角形三边的垂直平分线交于一点.

本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.

篇6：《线段的垂直平分线》教案

1、教材分析

(1)知识结构

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理.定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据;逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据.本节内容的难点是定理及逆定理的关系.垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，容易混淆，帮助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点.2、教法建议

本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳.教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人.具体说明如下：

(1)参与探索发现，领略知识形成过程

学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系?学生会很容易得出“相等”.然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结.最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会.(2)采用“类比”的学习方法，获取逆定理

线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.(3)通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.教学目标：

1、知识目标：

(1)掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理;

(2)能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直;

2、能力目标：

(1)通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;

(2)提高综合运用知识的能力.3、情感目标：

(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;;

(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.教学重点：线段垂直平分线定理及其逆定理

教学难点：定理及逆定理的关系

教学用具：直尺，微机

教学方法：以学生为主体的讨论探索法

教学过程：

1、新课背景知识复习

(1)线段垂直平分线的概念

(2)问题：(投影显示)

如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上任意一点，PA、PB有何关系?为什么?

整个过程，由学生完成.找一名学生代表回答上述问题并

投影显示学生的证明过程.2、定理的获得

让学生用文字语言将上述问题表述出来.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.强调说明：线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据，在计算、作图中也有重要作用.学生根据上述学习，提出自己的问题(待定)

学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论.3、逆定理的获得

类比角平分线逆定理获得的过程，让学生讲解下一环节所要学习研究的内容.这一过程，完全由学生自己通过小组的形式，代表到台前讲解.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.强调说明：定理与逆定理的联系与区别

相同点：结构相同、证明方法相同

不同点：用途不同，定理是用来证线段相等

4、定理与逆定理的应用

(1)讲解例1(投影例1)

例1 如图，△ABC中，∠C=，∠A=，AB的在垂线交AC于D，交AB于E

求证：AC=3CD

证明：∵DE垂直平分AB

∴AD=BD

∴∠1=∠A=

∵

∴∠2=

∴CD= BD

∴CD= AD

∴AD=2CD

即AC=3CD

讲解例2(投影例2)

例2：在△ABC中，AB=AC，AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为，求底角B的大小.(学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论)

解：(1)当AB的中垂线MN与AC相交时，如图(1)，∵∠ADE=，∠AED=

∴∠A=-∠AED=-=

∵AB=AC ∴∠B=∠C

∴∠B=

(2)当的中垂线与的延长线相交时，如图

∵∠ADE=，∠AED=

(2)

∴∠BAE=-∠AED=-=

∵AB=AC ∴∠B=∠C

∴∠B=

例3(1)在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=，求∠NMB的大小

(2)如果将(1)中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小

(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

解：(1)∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠B=

∵∠BNM=

∴

(2)如图，同(1)同理求得

(3)如图，∠NMB的大小为∠A的一半

5、课堂小结：

(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理

(2)在应用时，易忽略直接应用，往往又重新证三角形的全等，使计算或证明复杂化.6、布置作业：

书面作业P119#

2、3

思考题：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高

求证：AD垂直平分EF

证明：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF

∴D在线段EF的垂直平分线上

在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF

∴AE=AF

∴A点也在线段EF的垂直平分线上

∵两点确定一条直线

∴直线AD就是线段EF的垂直平分线

篇7：《线段的垂直平分线》教案

教学设计

第十三章 13.1.2线段的垂直平分线的性质

知识点：线段垂直平分线的性质

(1)线段垂直平分线的定义:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(2)线段垂直平分线的性质: ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,P在直线l上,则AP=BP.用几何符号表示: ∵ l是线段AB的垂直平分线,∴ AP=BP.如果反过来,也是成立的.若AP=BP,则点P在线段AB的垂直平分线上.用几何语言表示: ∵ AP=BP,∴ 点P在线段AB的垂直平分线上.反思：线段垂直平分线的两个性质是定理及逆定理的关系,有时也将性质“与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”看作是线段垂直平分线的判定定理.借助于线段垂直平分线的两条性质,可以对其用集合进行定义,线段垂直平分线可以看成是到线段两个端点的距离相等的所有点的集合.这一定义揭示了线段垂直平分线的本质.考点1：线段垂直平分线的性质应用

【例1】如图(1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)

教学资料

应有尽有

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教学设计

解:作出的点P如图(2)所示.(1)

(2)

点拨：到两点距离相等的点,在这两点所连线段的垂直平分线上.在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.这两条线的交点就是加油站的位置.考点2：利用线段垂直平分线的性质及判定解题

【例2】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案:D 点拨：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP与△BOP中,BOP,∴结论A,B,C均正确,故选D.

∴△AOP≌△

教学资料

篇8：《线段的垂直平分线》教案

光学乐谱识别系统的实现流程通常分解为以下几个阶段[1]:扫描输入与预处理、音符基元提取与识别、音符重构[2]与音乐语义理解。而在音符基元提取与识别阶段,直线图元的提取是至关重要的环节,处理结果的好坏直接影响着系统的整体性能[3]。

检测光栅乐谱图像中直线图元的常用方法主要有以下几种[4]:

(1)投影法:

该方法是把光栅图像沿着X或Y方向投影,通过投影方向上有效象素的累计值的多少来设定阈值,进而确定是否有水平或垂直直线元素的存在,该方法的优点就是实现简单,但是光栅乐谱图像有许多其他图元,并且扫描的图像也不可避免的有一些倾斜,对于此种图像,直线图元的投影峰值经常被淹没,效果并不理想。

(2)游程编码方法:

该方法利用游程对光栅图像进行编码,如提取垂直线时,则设定一定的宽度阈值,删除光栅图像中超出阈值的水平游程。如图1所示。

从上图可以看出,原图中较粗直线被错误删除了,部分弧线被保留下来,由于乐谱中的符头被删除,符杆中相应的部分也被断开了。由此可见,对于光栅乐谱图像来说,效果也不理想。

(3)细化方法:

首先采用细化的方法提取图像骨架并编码,然后对细化链码进行分析矢量化,识别出直线段。图2是运用细化方法得到的结果。

从图2可以看出,虽然细化方法除去了不少冗余的信息,可是在线与线之间有粘连时(如谱线之间的符头)很明显的发生了变形失真,破坏了直线的完整性,因此,针对光栅乐谱图像来说,这种方法也是不可取的。

针对上述已有算法的不足,本文将提出一种新的基于HOUGH变换的方法提取线基元。限于篇幅,本文只对垂直方向的直线进行讨论,但方法同样适用于水平方向直线。

2 HOUGH变换的原理

HOUGH变换是由Paul Hough在1962年提出的,HOUGH变换实现的是一种从图像空间到参数空间的映射关系。对于直线的检测而言,其原理如下[5]:

直线y=mx+b可用极坐标表示为:

r=xcosα+ysinα (1)

其中(r,α)定义了一个从原点到线上最近的向量(如图3),这个向量与该直线垂直。因此与直线一一对应。

考虑一个以参数r和α定义的二维空间。x,y平面的任意一直线对应了该空间的一个点。因此,平面的任意一条直线的HOUGH变换是参数空间的一个点。把上述两个参数量化以后,对于图像空间的任意一点来说,通过该点的直线仍然有很多条,即对应参数空间的很多点。

对图像空间中的每一个像素点都找到通过它的全部直线,并在直线参数空间对应点上计数值加1。做完上述操作以后,实际得到了图像空间所有可能的直线所拥有的像素点计数值C,确定一个合理的阈值T,如果C>T,则认为该条直线是实际存在的。这样,就获得了该条直线。由于运用的是统计的结果,HOUGH变换有很好的抗干扰能力,此外,HOUGH变换还有具有明了的几何解析性,易于实现并行处理等优点。

以上是传统的HOUGH变换形式,为了便于计算,本文对(1)略作修改,设α=θ-π/2,代入(1),得到

r=xsinθ-ycosθ (2)

其中θ为直线的斜率角,r 为原点到直线距离,直线可以表示为y=tgθx-r/cosθ。由于本文中以光栅乐谱图像中的垂直线段为例 ,θ≈π/2,所以由(2)知r的正负和直线的X轴截距的正负是一致的。

3 实现算法介绍

本文中直接对原始图像进行垂直线段的提取,可是,由于直线宽度的影响,对于图像平面一条较粗直线而言,在参数空间将会被认为是很多参数点的集合,由于参数点和提取重构的直线一一对应,重构结果将是若干近距离的直线集合。为方便描述,本文将定义“基本线”和“附加线”。基本线,本文中特指与图像空间中某条粗直线相对应的参数空间中某些参数点集合中能正确表示粗直线几何信息的唯一参数点。该集合中的其他参数点在本文中皆特指为附加线,如图4、5所示。

如何在参数点集合中将基本线分离出来,是本文要讨论的重点。

较为简单的分离方法[z7]为,在参数点集合内找到计数值最大的参数点(θ,r)作为基本线,然后运用固定的Δr和Δθ,把位于[θ-Δθ,θ+Δθ]且[r-Δr,r-Δr]中的其他参数点作为附加线全部清除,可是,这样做的效果却并不理想。除去图像中直线粗细有差异的明显原因外,其它原因有以下两点:

①首先,Δr随着直线的位置不同而变化,从图6可以看出,两条粗细完全相同的垂直线,仅仅由于其在图像中的位置不同,而导致参数空间中相类似的附加线与基本线的位置关系完全不同,因此简单运用固定Δr进行分离的话,图像中不同位置的直线将不可避免的产生分离基本线失败或分离出附加线的情况。

②其次,由于图像扫描的过程中垂直直线将不可避免的产生一定的倾斜,该倾斜角将与粗细、位置因素一起综合影响参数空间中基本线和附加线的相互位置关系。

图7是用简单分离方法得到的结果。

由图7可以看到,在以左下角为原点的情况下,许多距离原点较近的基本线被错误删除,而距离较远的,直线倾斜比较大的某些“符头”部分却保留了许多应该被清除的附加线。通过简单的方法,即运用固定Δr,Δθ来实现基本线的分离是有缺陷的,本论文提出运用“交点准则”来正确实现基本线的分离。

对于运用HOUGH变换,且对计数值已经修正(详见第四部分)的参数空间,考虑到将要提取的直线都是近似垂直线,所以图像空间的各条基本线之间的交点将在图像空间外极远处,而基本线与其附加线则将相交于图像空间的较近处。利用这个性质,进行如下操作:

(1)利用固定的阈值将计数值较小的参数点在参数空间删除。

(2)遍历整个参数空间,寻找其拥有最大计数值的参数点作为第一条基本线(θ0,r0),(如果找不到任何一条,终止过程)然后用参数空间的其他直线一一进行比较,如果θ≠θ0则到(3),否则到(4)。

(3)对不平行直线(θ,r)( θ≠θ0)与之计算交点的纵坐标,公式如下:

y=(rsinθ0-r0sinθ)/sin(θ-θ0)( θ≠θ0)

假设图像的高为H,如果(1-n)H

(4)对平行直线(θ,r)( θ=θ0)直接确定该线与基本线之间的距离:

Δr=|r- r0|

设定图像平行线的最小距离为Δd,如果Δr<Δd,则可确认该直线为选中基本线的附加线,删除。

(5)最后给所选的基本线作上记号,不参加下一次遍历的过程,回到(2)。

整个算法过程如图8所示。

4 斜线竞争优势的消除

在具体应用过程中,由于参数空间计数值表征直线图形所拥有的像素点,所以对于较粗垂直直线来说,有可能出现略微倾斜的附加线拥有的像素点比垂直的基本线更多的情况,从而在遍历参数空间时误选基本线,如图9所示。针对这种不利情况,应当消除斜线的竞争优势,另一方面为了让图像中的基本线彼此尽可能平行以确保不会因为交点太近而被误认为附加线而被删除,应当在允许的范围内确保基本线尽可能是垂直线。在本文中,对参数空间中(θ,r)的参数点的计数值C采用削弱系数I=sin6(θ)进行削弱,将C╳I作为新的计数值,这样便达到了要求的效果,并且取得了较好的效果。

5 本文参数选择及例图处理效果

在传统HOUGH变换的基础上,利用阈值确定有效垂直直线后,先重新计算参数空间的计数值来消除斜线竞争优势,此后利用“交点准则”消除多余的附加线。针对例图(434╳336)本文中参数的选取如下:

有效直线阈值:60; 角度间隔:0.5o; 垂直直线角度容差范围:86o～94o;

平行线间最短距离Δd:10; 削弱系数I:sin6(θ);

图像直线平行度系数n:2; 直线距离间隔:1;

运用以上参数处理后的图像见图10:

从上面可以看出,垂直直线全部被正确的识别出来,这证明针对光栅乐谱图像这类具有大量平行直线,含有较多噪声,粗细长短有所不同的图像[6],只要参数选择合适,运用HOUGH变换思想,辅助以“交点准则”来分离出基本线是完全可行的。当然,利用“交点准则”算法分离出基本线也是有缺点的,由于遍历次数较多,该算法将增加计算的时间复杂度。

参考文献

[1]刘晓翔,张树生,王贺,朱玉璋·计算机光学乐谱识别技术·计算机工程,2003,29(2):14～15

[2]Ng,K·C·,and R·D·Boyle·Recognition and reconstruction of primitives in music scores·Image and Vision Computing,1996,14(1):39～46

[3]Blostein D,and Baird H·A critical survey of music image analysis·ed·Baird H,Bunke H,Yamamoto K·Structured Document Image Analysis·Berlin:Springer-Verlag,1992,405～434

[4]Florence Rossant·A Global Method for Music Symbol Recognition in Typeset Music Sheets·Pattern Recognition Letters,2002,1129～1141

[5]王绍霖,付永生·Hough变换边缘参数提取算法·同济大学学报,1996,24(4):

篇9：《线段的垂直平分线》教案

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，交AB于点E，DE=3，BD=4，求BC的长度.

【再认识】角平分线性质是说明线段相等的一种重要方法. 解题时，注意抓住图形的特征，从已知条件中找到角平分线的点及这点到角两边的垂线段，利用角平分线性质得到两条垂线段相等.

【分析】欲求BC的长，已知BD，且BC=BD+CD，进而将问题转化为求CD的长. 由AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，根据角平分线性质，可得CD=DE，从而求出BC的长度.

解：∵ AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴ CD=DE=3，

∴ BC=CD+BD=3+4=7.

【变式】如图2，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=2，求AB与CD之间的距离.

【分析】要求AB与CD之间的距离，首先过点O作直线OM⊥AB于点M，交CD于点N，则线段MN的长度即为AB与CD之间的距离. 因为AO、CO分别是∠BAC、∠ACD的角平分线，所以OE=OM=ON，则AB与CD之间的距离可求.

突破2：角平分线性质定理逆定理的再认识

例2 如图3，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N. 试说明PM=PN.

【再认识】角平分线性质定理的逆定理是判定角平分线的一种重要方法. 在平面内找到一个点，通过这一点到角两边的距离相等来确定该点在角平分线上. 再根据两点确定一条直线，确定角平分线.

【分析】欲说明的是PM=PN，已知PM⊥AD，PN⊥CD，利用角平分线性质定理的逆定理，可猜测BD平分∠ADC. 已知BD是

【变式】如图9，某地有两个村庄和两条相交叉的公路（点P、Q表示村庄，l1、l2表示公路）. 现计划修建一座水库，要求水库到两村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等. 你能确定水库应该建在什么位置吗？在所给图形中画出你的设计方案. （要求保留作图痕迹）

【分析】此题是作图题，解决此类问题的关键是要熟练掌握角平分线性质和垂直平分线性质. 到P、Q的距离相等，则连接PQ，根据线段垂直平分线的性质作出线段PQ的垂直平分线，到l1、l2相等，则作出l1、l2相交所形成的一组邻补角的角平分线，两线相交的一点即为所求.

篇10：《线段的垂直平分线》教学反思

1教师的情绪直接影响学生的学习兴趣、教师要有“度量”，能容忍个别学生的错误，不要拿个别学生的错误来惩罚全体同学。 2五班学生李奕星为什么不理解?这节课学习的主要内容是垂直平分线的性质与判定。

定理的学习要经过几个阶段：通过画图、测量、猜想、验证得到命题;将文字命题写成“如果 那么”的形式，让学生明白这个命题的已知是什么，求证什么?在这个基础上，画出图形，写出已知、求证，进行证明。

在证明了后，强调定理的应用格式，即在具体的题目中，如何应用这些定理。

篇11：线段垂直平分线的性质教学反思

芷江三中：杨丹丹

线段垂直平分线的性质定理和判定定理可以优化证明题目的方法，这是本课最为突出的地方，感触比较深刻的就是，学生得到了新知识新方法的那个喜悦劲儿，这主要得益于学生“预学案”的先行研究。

本课我们安排的教学流程是：画直线的垂直平分线，研究和证明线段的垂直平分线的性质；体会线段垂直平分线的性质的应用，学习例题1、2、3；提出问题：由PA＝PB，能说明点P一定在线段AB的垂直平分线上吗？经过P点的直线是线段AB的垂直平分线吗？过渡到线段垂直平分线的判定的研究；在证明猜想时，提出是不是过点P作线段AB的垂直平分线，学生的反应比较热烈，补艳梅，邓津桥同学提出了作PC⊥AB，垂足为C，设法证明AC＝BC；刘心语同学提出取AB的中点C，连接PC，证明PC⊥AB，学生讨论证明，得到了线段垂直平分线的判定定理，并总结出证明时是“作垂直，证平分”或者“作平分，证垂直”，由此体会到“过一点不可能作直线保证既垂直又平分”，思考的第二个问题也就容易解释了，提出如果有两个这样的点P，根据 “两点确定一条直线”就能够作出已知线段的垂直平分线了，适时地引出了例4的研究；最后进行提升学习，在训练中又可以有新的知识内容的收获。

篇12：线段的垂直平分线(一)教学设计

三角形的证明 3．线段的垂直平分线(一)

一、学生知识状况分析

学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析

在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：

1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点、难点

重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用

；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB．

分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

； ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)． 教师用多媒体完整演示证明过程．

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”． 此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明． 引导学生分析证明过程，有如下四种证法：

证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过PC作直线． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

ACNBPMPACB∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．

P证法三：过P点作∠APB的角平分线． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P点在线段AB的垂直平分线上． 证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分线上．

A12CBP12ACB从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理． 第四环节：巩固应用

在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。

例题：

已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.[来 求证：直线 AO 垂直平分线段BC。． 证明：∵ AB = AC，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。第五环节：随堂练习课本P23；习题1.7：第1、2题 第六环节：课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 第七环节：课后作业

习题l.7 第3、4题

四、教学反思