同余的性质及应用

2024-04-09

同余的性质及应用（精选6篇）

篇1：同余的性质及应用

一、教学目标:

1.知识与技能:理解并掌握等比数列的性质并且能够初步应用。

2.过程与方法:通过观察、类比、猜测等推理方法,提高我们分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。

3.情感态度价值观:体会类比在研究新事物中的作用,了解知识间存在的共同规律。

二、重点:等比数列的性质及其应用。

难点:等比数列的性质应用。

三、教学过程。

同学们,我们已经学习了等差数列,又学习了等比数列的基础知识,今天我们继续学习等比数列的性质及应用。我给大家发了导学稿,让大家做了预习,现在找同学对照下面的表格说说等差数列和等比数列的差别。

数列名称等差数列等比数列

定义一个数列,若从第二项起每一项减去前一项之差都是同一个常数,则这个数列是等差数列。一个数列,若从第二项起每一项与前一项之比都是同一个非零常数,则这个数列是等比数列。

定义表达式 an-an-1=d(n≥2)

(q≠0)

通项公式证明过程及方法

an-an-1=d;an-1-an-2=d，„a2-a1=d

an-an-1+ an-1-an-2+„+a2-a1=(n-1)d

an=a1+(n-1)*d

累加法;„„.an=a1q n-1 累乘法

通项公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1

多媒体投影(总结规律)

数列名称等差数列等比数列

定义等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”

定义

表

达式 an-an-1=d(n≥2)

通项公式证明

迭加法迭乘法

通项公式

加-乘

乘—乘方

通过观察,同学们发现:

? 等差数列中的减法、加法、乘法，等比数列中升级为除法、乘法、乘方.四、探究活动。

探究活动1:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习1;等差数列的性质1;猜想等比数列的性质1;性质证明。

练习1 在等差数列{an}中,a2=-2,d=2,求a4=_____..(用一个公式计算)解:a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2

等差数列的性质1: 在等差数列{an}中, a n=am+(n-m)d.猜想等比数列的性质1 若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m 性质证明右边= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左边

应用在等比数列{an}中,a2=-2 ,q=2,求a4=_____.解:a4= a2q4-2=-2*22=-8

探究活动2:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习2;等差数列的性质2;猜想等比数列的性质2;性质证明。

练习2 在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为.解:a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180

等差数列的性质2: 在等差数列{an}中, 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别的,当m=n时,2 an=ap+aq

猜想等比数列的性质2 在等比数列{an} 中,若m+n=s+t则am*an=as*at 特别的,当m=n时,an2=ap*aq

性质证明右边=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左边证明的方向:一般来说,由繁到简

应用在等比数列{an}若an&0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则a3+a5=_____.解:a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36

由于an&0,a3+a5&0,a3+a5=6

探究活动3:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习3;等差数列的性质3;猜想等比数列的性质3;性质证明。

练习3 在等差数列{an}中,a30=10,a45=90,a60=_____.解:a60=2* a45-a30=2×90-10=170

等差数列的性质3: 若an-k,an,an+k是等差数列{an}中的三项, 则这些项构成新的等差数列,且2an=an-k+an+k

an即时an-k,an,an+k的等差中项

猜想等比数列的性质3 若an-k,an,an+k是等比数列{an}中的三项,则这些项构成新的等比数列,且an2=an-k*an+k> an即时an-k,an,an+k的等比中项

性质证明右边=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1)2t=an2左边证明的方向:由繁到简

应用在等比数列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.解:a60= = =810

应用等比数列{an}中,a15=10, a45=90,a60=________.解:

a30= = = 30

a60=

探究活动4:小组根据导学稿内容研讨等比数列的性质,并派学生代表上来讲解练习4;等差数列的性质4;猜想等比数列的性质4;性质证明。

练习4 设数列{an}、{ bn} 都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=_____.解:a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35

等差数列的性质4: 设数列{an}、{ bn} 是公差分别为d1、d2的等差数列,则数列{an+bn}是公差d1+d2的等差数列两个项数相同的等差数列的和任然是等差数列

猜想等比数列的性质4 设数列{an}、{ bn} 是公比分别为q1、q2的等比数列,则数列{an*bn}是公比为q1q2的等比数列两个项数相同的等比数列的和比一定是等比数列,两个项数相同的等比数列的积任然是等比数列。

性质证明证明:设数列{an}的首项是a1,公比为q1;{bn}的首项为b1,公比为q2,设cn=an?bn那么数列{an?bn} 的第n项与第n+1项分别为:

应用设数列{an}、{ bn} 都是等比数列,若a1b1=7,a3b3=21,则a5b5=_____.解:由题意可知{an?bn}是等比数列,a3b3是a1b1;a5b5的等比中项。

由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63

(四个探究活动的设计充分尊重学生的主体地位,以学生的自主学习,自主探究为主题,以教师的指导为辅,开展教学活动)

五、等比数列具有的单调性

(1)q<0,等比数列为摆动数列, 不具有单调性

(2)q&0(举例探讨并填表)

a1 a1&0 a1<0

q的范围 0 q=1 q&1 0 q=1 q&1

{an}的单调性单调递减不具有单调性单调递增单调递增不具有单调性单调递减

让学生举例说明,并查验有多少学生填对。(真确评价)

六、课堂练习:

1、已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于().a.b.?7 c.?6 d.?

解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a

2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4

3、+1与-1两数的等比中项是().a.1 b.?-1 c.? d.±1?

解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d

4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于().a.2 b.? c.? d.?

解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c

5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。

分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数

为: 根据题意

再由方程组可得:q=2 或

既这三个数为2,4,8或8,4,2。

七、小结

本节课通过观察、类比、猜测等推理方法,研究等比数列的性质及其应用,从而培养和提高我们综合运用分析、综合、抽象、概括,逻辑思维解决问题的能力。

八、§3.1.2等比数列的性质及应用

性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m

性质二:在等比数列{sp;c.?6 d.?

解析:由已知得a32?=5,? a82=10，∴a4a5a6=a53?= = =5 ?.答案:a

2、已知数列1,a1,a2,4是等比数列,则a1a2=.答案:4

3、+1与-1两数的等比中项是().a.1 b.?-1 c.? d.±1?

解析:根据等比中项的定义式去求。答案:选d

4、已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2 ? ,a2=1,则a1等于().a.2 b.? c.? d.?

解析:∵a3a9= =2 ?,∴? =q2=2,∵q&0,∴q= ?.故a1= ?= ?= ?.答案:c

5练习题:三个数成等比数列,它们的和等于14，它们的积等于64,求这三个数。

分析:若三个数成等差数列,则设这三个数为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得,若三个数成等比数列,则设这三个数

为: 根据题意

再由方程组可得:q=2 或

既这三个数为2,4,8或8,4,2。

七、小结

八、§3.1.2等比数列的性质及应用

性质一:若{an}是公比为q的等比数列,则an=am*qn-m

性质二:在等比数列{

篇2：同余的性质及应用

戎国华

一．教学目标：

（一）知识与技能：等比等差数列的下标性质；

比数列的下标性质及其推导教学目标：掌握等差等方法

（二）过程能力与方法学生的猜想能力能力训练：进一步培养教学重点：等差等比数列的下标性质列下标性质的灵活应用与实际应用教学难点：等比等差数

（三）态度情感与价值观：培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差等比数列的研究，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点

（四）教学模式：多媒体，师生互动

一.新课引入等差数列an中,a1a5与a2a4的关系？答：a1a5=a2a4等差数列an中,a3a8与a5a6的关系？答：a3a8=a5a6二.等差数列下标性质：1.等差数列an中,有am,an,ap,aqamana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d证明：amana(m1)da(n1)d2a(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d证明：qaamanpapqaaa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)damanapaq2.(变形)等差数列an中,有am,an,ap ,a3a6与a2a7的关系？等比数列an中

答：a3a6=a2a7 等比数列an中,a2a10与a5a7的关系？

答：a2a10=a5a7

三.等比数列下标性质： ,有am,an,ap,aq 1.等比数列an中

amana1qm1a1qn1a12qmn2 证明：p1q12pq2aaaqaqa pq111q aaaamnpq,有am,an,ap 2.(变形)等比数列an中

四.例题选讲：

1.设an为等差数列例（1）若a2a3a10a112006,求a6a7

解：aaaaa6aa 解：aaa2aaaa200620067aS2231011（67）23101167）610例（.a1）等差数列aa,7求n中，4a1518 解：(a1a2aaaa19aa203a）54解：(a((aa18a))（3（aa）543))1a20例2（.1）等差数列a中，aa10,求Sn41518 18(aa))aa20解：(a1a2a20(((aa)3aa）54解：(aaaaaa)（3（aa）541a1813))181920120 S10(aa)S9(aa)90：20***8(aaaa))20(S20910(a1aa)90S18111820(a4解：20)15 22（2）等差数列an中，a57,求S9

2）等差数列an中，a57,求S9（9((aa9)9((22aa55))9a119解：S9963解：Saa 99556322aa...ap,29((aa9)中9,(22a55a9a(a))23.等差数列若11a9n1263310 例解：S99解：Saa995563222 aaa2...aq，求a21a22a23...a30？11121320

解：aaa...aqq21222330

(1)a1a2a3................an(1)a1a2a3................an 思考:等差数列an中，(2)an1an2an3........a2n(2)an1an2an3........a2n 思考:等差数列an中，(3)aaa....a2n12n22n33n(3)a2n1a2n2a2n3....a3nS,SS,SS Snn,S22nnSnn,S33nnS22nn

等差数列a中,a0,d0,若SS,则n为多少时前n项和Sn有n1917 最大值？

解：SSSaaaa11aaaaaa16aa00aaaaaa00解：SSaaaa917101112******17解：Saaaaaa9***516***314151617 4a(aaa)00aa13a0a0是最后一个正数项aa00a0是最后一个正数项是最后一个正数项44())a0a01314131413(aa0a0是最后一个正数项例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为，末四项和为67，131413141313141413 1314131413例4.一个等差数列S=396,前四项和为21，末四项和为67，21a10a11a12a13a14a15a16a17n0解：S13S9S17a10a11a12a13a14a15a16a170 SS1313n?13求S求项数0a13a14036130是最后一个正数项 a4(a13aa130是最后一个正数项14)0a13a140练习：已知等比数列a解：aaaa21,aaaan2167例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为21，末四项和为67，解：例（）一个项数为5.136项的等差数列的前四项和为21，末四项和为67，n例（）一个项数为，末四项和为67，na1a2a3项的等差数列的前四项和为a421,annann1an2an367S13 求n4(a1an)求a3a5的值。例5.求S36S1若a＞，等比数列an,n且an00,a2a42a3a5a中625,36(a1na36)4(aa)88aa22S39616 1n1nn224(aa)88aa22S3962解：a11a2aa21,aaaa67解：SSaaaaaa0解：aaaaaaa67a21,aaaa67条件改为SS？解：SSaaaaaaa013613636a解：***34339***4***12***36353433aaa;aaa916 解：9***4***12***a5a2解：a2a43a34;a46536(aa)n(aa)36(aa)111n363627a130a130S12S最大27a0a0SS***31213a88a223964(aa)a22S4(a)88a22S396396***3636n1361n36n1363622aa225aa2aaaaaa3a＞0,a100,求lgalglga6.2435463355 例2a222a3a5a4a61a32aa的值。25na2a411002355100 n36aa5050505035lglgaaa...aalg(aa)lg100100解：aa5an＞0,a1a100100,求lgaalga的值。lgaaa...aalg(aa)lg1001001100 3****** aa99a98...aaaa1a1002a99a3a98...1a10023

50对50对

50505050 lgaa...aalg(aa)lg100100lgaaaa...aalg(aa)lg******

aa22aa99a3a98...aa...1a10099 1a100398 50对对50

篇3：一次同余方程的解法及应用

一、同余方程

设整系数多项式f（x）=anxn+…+a1x+a0（1）我们可讨论是否有整数值x满足同余式f（x）≡0（mod m）（2）我们要求解的这个同余式（2）称为是模的同余方程。

若整数c满足f（c）≡0（mod m），则称c是同余方程（2）的解，我们把这个解记为x≡c（mod m）。这实际上是把同余类cmodm看作是满足同余方程（2）的一个解。当c1、c2均为同余方程（2）的解，且对模不同余时，才把它们看作是不同解，我们把所有对模m两两不同余的（2）的解的个数（即满足“2”的模m的同余类的个数）称为是同余方程（2）的解数。因此，我们只要在模m的一组完全剩余系中来解模m的同余方程。显然，模m的同余方程的解数至多为。

例1: 求同余方程4x2+27x-12≡0（mod 15）的解。

解：取模15的绝对最小完全剩余系：-7，-6，…，-1，0，1，2，…，7。直接计算知x=-6，3是解。所以，这个同余方程的解是x≡-6，3（mod 15）。

例2: 求同余方程4x2+27x-9≡0（mod 15）。直接计算知这个方程无解。

当f（x）的系数都是模m的倍数时，显见，任意的整数值x都是同余方程（2）的解，这样的同余方程（2）的解数为m，但并不是同余方程（2）的解数为m的必要条件，这可由下面的例子看出。

一般的,对素数p，同余方程xp-x≡0（mod p）的解数为p。

二、同余方程恒等变形

如同为了解代数方程进行恒等变形一样，为了解同余方程需要利用同余式的性质对同余方程进行恒等变形，即把它变为解完全相同的另一种同余方程，而后者要更简单易懂，最基本、最简单的有以下几种:

1.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）和同余方程 f（x）+m s（x）≡0（mod m）（3）等价，即它们的解和解数相同，这一恒等变形可表述为：若f（x）≡g（x）（mod m），则同余方程（2）和同余方程g（x）≡0（mod m）（4）的解和解数相同。

例如，例1中的同余方程和4x2+3x+3≡0（mod 15），或4x2+12x-12≡0（mod 15）都是等价的。

特别地，一个同余方程中的系数为模的倍数的项去掉后，同余方程的解不变。

例如，同余方程15x8+7x6+45x3-30x+6≡0（mod 15）可化简为7x6+6≡0（mod 15）。

由此，可引进模m的同余方程（2）的次数，即整系数多项式f（x）的模m的次数概念：若man,则称模m的同余方程（2）的次数及模m的次数为。当m｜aj，（0≤j≤n）时，我们就不能把二者一起说.要特别注意的是:模m的同余方程（2）的次数及f（x）模m的次数和多项式f（x）的次数不是一回事。

2.设s（x）是整系数多项式，同余方程（2）与同余方程f（x）+s（x）≡s（x）（mod m）（5）的解和解数相同。

例如,例1中的同余方程与4x2+27x≡12 （mod 15）是一樣的同余方程ax-b≡0（mod m）和同余方程ax≡b（mod m）是一样的。

定理1:若（an,m）=1及a■■an=1（mod m），则同余方程（2）与同余方程xn+a■■an-1xn-1+……+a■■a1x+a■■a0≡0（mod m （6）的解和解数一样。

3.设同余方程h（x）≡0（mod m）（7）的解数为m,即上式是恒等同余式。如果整系数多项式q（x）,r（x）满足f（x）=q（x）h（x）+r（x）或更一般地，f（x）≡q（x）h（x）+r（x）（mod m）（9）。那么，同余方程（2）与同余方程r（x）≡0（mod m）（10）的解和解数相同。如果的最高次项系数为1，那么，一定存在整系数多项式q（x）与r（x）。r（x）的次数小于h（x）的次数，使得式（8）成立。

如何才能学好初等数论中的同余方程部分，我们的建议是多做、多实践。学习初等数论就像学习新的实用技术课程一样，必须多练习，甚至是一定理一练习，反复看书、反复看举例题或反复做练习题，或许您会豁然开朗。此篇论文只是对简单同余方程的解法进行论述，同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。而同余方程是同余理论的重中之重，在数学领域中应用广泛。

参考文献：

[1] 闵嗣鹤，严士健编.初等数论.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 潘承洞，潘承彪编.初等数论.北京：北京大学出版社，2001.