浅谈三角形的内心、外心及旁心的性质及其运用

一、内心

三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心, 即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示,

1、基础知识

性质1设I为△ABC的内心, 则I到△ABC三边的距离相等 (即ID=IE=IF) , 且顶点与内心的连线平分顶角 (即AI平分∠BAC、BI平分∠ABC、CI平分∠BCA) 。

性质2设I为△ABC的内心, 则∠BIC=90°+, ∠CIA=90°+, ∠AIB=90°+;反之亦然。

性质3设I为△ABC的内心, BC=a, AC=b, AB=c, I在BC、AC、AB上的垂足分别为D、E、F;内切圆半径为r, 令p=21 (a+b+c) , 则 (1) S△ABC=pr; (2) AE=AF=p-a, BD=BF=p-b, CE=CD=p-c;

2、演绎证明

三角形三内角平分线交于一点, 此点称为三角形的内心。

已知:△ABC中, AX, BY, CZ分别是∠A, ∠B, ∠C的平分线, 求证:AX, BY, CZ交于一点。

证:因为AX, BY是∠BAC, ∠ABC的平分线, 所以AX, BY必相交于一点, 设此点为I (不然的话, AX, BY必平行, 则∠BAX+∠YBA=180°, 这是不可能的) , 所以I与AB, AC边等距, I与AB, BC边等距, 所以I与AC, BC边等距, 所以I必在CZ上, 所以AX, BY, CZ相交于一点。

说明:若证明几条直线共点, 可先证其中两条直线相交, 再证这个交点分别在其余各条直线上, 则这几条直线必共点于此交点。

由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等, 所以以此交点为圆心, 以此点到各边的距离为半径作圆, 此圆必与三角形三边内切, 所以称此交点为三角形内切圆圆心, 简称内心。

二、外心

三角形三边垂直平分线的交点叫做三角形的外心, 即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示。

1、基础知识

性质1三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点;三角形的外心到三顶点的距离相等, 反之亦然。

性质2设O为△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A, 或∠BOC=360°-2∠A;∠AOC=2∠B, 或∠AIC=360°-2∠B;∠AOB=2∠C, 或∠AOB=360°-2∠C。

性质3设三角形的三条边长、外接圆的半径、面积分别为a、b、c, R、S△, 则。

性质4锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。

2、演绎证明

三角形三边的垂直平分线相交于一点, 此点称为三角形的外心。

已知:△ABC中, XX′, YY′, ZZ′分别是BC, AC, AB边的垂直平分线, 求证:XX′, YY′, ZZ′相交于一点。

分析:先证XX′, YY′交于一点O, 再证O点必在ZZ′上即可.证:因为XX′, YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线, 所以XX′, YY′必相交于一点, 设为O (否则, XX′∥YY′, 那么∠C必等于180°, 这是不可能的) .因为OB=OC, OC=OA, 所以OB=OA, 所以O点必在AB的垂直平分线ZZ′上, 所以XX′, YY′, ZZ′相交于一点。

说明由于O点与△ABC的三个顶点A, B, C距离相等, 所以以O点为圆心, 以OA长为半径作圆, 此圆必过A, B, C三点, 所以称此圆为三角形的外接圆, O点称为三角形的外心。

三、旁心

与三角形的一边相切, 又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆。一个三角形有三个旁切圆.旁切圆的圆心简称为三角形的旁心。因此每个三角形有三个旁心。

性质1直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半;