初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)

初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)（精选2篇）

篇1：初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)

三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）

三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。

首先我们证明这个问题。

已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。求证：PD、NE、MF交于一点O。

思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。

证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。

∵MF⊥AB于F，AF=FB；

∴OA=OB；

∵NE⊥AC于E，AE=EC；

∴OA=OC；

∴OB=OC；

∵OD⊥BC于D；

∴ POD是BC边上的中垂线。

∴ NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。

结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。

第1页（共4页）

相关练习题：

一、判断题

1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点

2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点

3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等

4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称

二、填空题

5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度

.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_________度.三、作图题

11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC

（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：

当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；

反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想

12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.答案：

一、1.√2.√3.√4.×

二、1.==2.===505080100

3.=AC4.==72° 5.BEDCEDBADCAD等腰6.60°

三、1.略（2）内部斜边的中点外部

四、类比联想：略

篇2：初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)

一.选择题

(1)若为第三象限，则A．3(2)以cossin

2

2sincos

2的值为（）

D．－1 能成B．－

3下

各

C．1 式

中立的是

（）

A．sincos

B．cos

且tan2 C．sin

132且tan3D．tan2且cot

(3)sin7°cos37°－sin83°cos53°值A．

B．132 C．2 D．－2

(4)若函数f(x)=sin12x, x∈[0, 

3], 则函数f(x)的最大值是(A 12B 2

C 22D 2

(5)条件甲sina，条件乙sin

cos



a，那么（A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的充要条件

C．甲是乙的必要不充分条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

(6)、为锐角a=sin()，b=sincos，则a、b之间关系为（）A．a＞bB．b＞a C．a=bD．不确定(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的()

A-2B2C1D-1(8)为第二象限的角，（）A．tan

2＞cot



2B．tan

＜cot

C．sin







＞cos



D．sin

＜cos

(9)在△ABC中，sinA=45，cosB=1213，则cosC等于A．5665B．1656

163365 C．6

5或65 D．65

(10)若a>b>1, P=algb, Q=

12(lga+lgb)，R=lg ab

2, 则（A．R

二.填空题

(11)若tan=2，则2sin2－3sincos

（）

值

则必（）））

是有

1）

(12)若sin－cos7，∈（0，π），则tan。(13)sincos，则cossin范围。(14)下列命题正确的有_________。

①若－2＜＜＜2，则范围为（－π，π）；②若在第一象限，则2

在一、三象限； ③若sin=m342m3m5，cosm5，则m∈（3，9）；④sin2=5，cos

42=

5，则在一象限。

三.解答题

(15)已知sin(＋)=－35，cos()=1213，且

＜＜＜34，求sin2.(16)（已知42a)1

242a)4,a(4,2),求2sinatanacota1的值.(17)在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.(18)设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解α、β.(Ⅰ)求α的取值范围;(Ⅱ)求tan(α+β)的值.参考答案

一选择题:1.B

[解析]：∵为第三象限，∴sin0,cos0

则

cos2sin

sin2



coscos2

|cos|2sin

|sin|12

32.C

[解析]： 若sin

12且tan3则2k



6(kZ)

3.A

[解析]：sin7°cos37°－sin83°cos53°= sin7°cos37°－cos7°sin37°

=sin(7°-37°)

4.D

[解析]：函数f(x)=sin12x, ∵x∈[0, 1

13],∴2x∈[0, 6

],∴sin2x

25.D

[解析]：sin(sin





2cos2)2|sin2cos2

|, 故选D

6.B

[解析]：∵、为锐角∴0sin1,0cos

1又sin()=sincoscossin

∴ab

7.B

[解析]：(1+tan25°)(1+tan20°)=1+tan250tan200tan250tan200

1tan(250200)(1tan250tan200)tan250tan20011tan250tan200tan250



28.A

[解析]：∵为第二象限的角

∴

2角的终边在如图区域内∴tan

2＞cot2

9.A

[解析]：∵ cosB=

3，∴B是钝角，∴C就是锐角，即cosC>0，故选A 10.B

[解析]：∵a>b>1,∴lga>0,lgb>0,且lgalgb

∴lgalgb<

lgalgb1ab

22lg(ab)lgablg

故选B 二填空题:11．

[解析]：2sin2

－3sincos=2sin23sincos2sin2cos2tan23tan

tan2

1

12．

43或3

[解析]： ∵sin－cos75>1，且∈（0，π）∴∈（，π）∴(sin－cos)2

(75)2∴2sincos=242

5∴sin+cos1

∴sin=433

45cos=5或sin=5cos=5

tan=43

3或4

13．



12,1

2[解析]：∵sincoscossin=sin()∴cossin=sin()1

∴



312cossin2

又sincoscossin=sin()

∴cossin=1

sin()∴13

2cossin2

故11

2cossin2

14．②④

[解析]：∵若－

2＜＜＜，则范围为（－π，0）∴①错 ∵若sin=m342m5，cosm

m5，则m∈（3，9）

又由sin2cos2

1得m=0或 m=8

∴m=8 故③错

三解答题:(15)解:∵



＜＜＜34∴32,04

∵sin(＋)=－35，cos()=124

513∴cos(＋)=5

sin()=13

∴sin2sin[()()]=

.(16)解: 由sin（

42a)42a)= 42a)42a)=1224a)12cos4a14, 得cos4a12.又a(5

4,2),所以a12

.于是

2sin2

tancot1cos2sin2cos22cos2

sincoscos2

sin2

==(cos55

362cot6)=(22)52(17)解：∵sinA+cosA=2cos(A－45°)=2，∴cos(A－45°)= 1

.又0°

11=－2－3.∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

24

.∴S1263ABC=2AC²AbsinA=1

2·2²3²4=4(2+6).(18)解:(Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(13

2sinx+2cosx)=2 sin(x+3),∴方程化为sin(x+)=-a2.∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,∴sin(x+33)≠sin

3=2

.又sin(x+

)≠±1(∵当等于2和±1时仅有一解),∴|-a2|<1.且-a

≠2.即|a|<2 且a≠-3.∴a的取值范围是(-2,-)∪(-3, 2).)∵α、β是方程的相异解,∴sinα+cosα+a=0①.sinβ+3cosβ+a=0②.①-②得(sinα-sinβ)+(cosα-cosβ)=0.∴ 2sin

cos



-23sin





sin

2

=0, 又sin



≠0,∴tan



=

.2tan



∴tan(α+β)=

2tan

2