数学基本方法之三--待定系数法

数学基本方法之三--待定系数法（共2篇）

篇1：数学基本方法之三--待定系数法

数学基本方法之三----待定系数法

陕西洋县中学（723300）刘大鸣

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：(1)利用对应系数相等列方程；(2)由恒等的概念用数值代入法列方程；(3)利用定义本身的属性列方程；(4)利用几何条件列方程;

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.【方法再现性题组】

x＋m，f(x)的反函数f1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为____

25555A., －2B.－，2C., 2D.－，－2 2222

112二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____ 231设f(x)＝

A.10B.－10C.14D.－1

43在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____

A.－297B.－252C.297D.207

4函数y＝a－bcos3x(b<0)的最大值为310531，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____ 22

5与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________

y2与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________ 42【方法探究过程】

1小题：利用互为反函数的对应关系，求出反函数认识恒等意义求解，由f(x)＝

－2m，比较系数易求，选C；

2小题：认识方程，函数，不等式之间的一一对应关系，根与系数关系简化求解，由不等式解集(－

可知－x＋m求出f1(x)＝2x211,)，23112、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D； 2

35523小题：注意多项式组成和二项式定理求解，分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D；

54小题：注意正余函数的有界性，由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案

2；

35小题：平行直线系的认识切入，设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

y

26小题：共同渐近线的双曲线系方程的使用，设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即

y2x2

得方程－＝1。

312

【经典问题回放】函数值域的“逆向思维” 中的“待定系数法”

mx24xn

例1已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

x2

1【解析】 求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。函数式变形为：(y－m)x2－43x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0，∴ △＝(－4)2－4(y－m)(y－n)≥0即：y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集为(-1,7)，则－

1、7是方程y2－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，m5m11(mn)mn120

代入两根得：解得：或

n1497(mn)mn120n55x24x1x24x

5∴ y＝或者y＝

x21x2

1此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：

mn6，解出m、n而求得函数式y。

mn127

【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程使用根与系数的关系.2函数和不等式证明中的“待定系数法”的沟通作用

例2已知a,b,c是实数，函数fxax2bxc,当1x1时,fx1.证明：1x1 时，gxcx2bxa1;(2)若f01,f11，求实数m.简析：函数和不等式网络交汇处问题，用“待定系数法”沟通函数关系，由不等式放缩法完成证明；研究对称轴和区间的关系确定参数.a2a2

112a

（1）由题设，特殊赋值，a

f1f12f0f1f1,b,cf0，由题设易知，2

2f1abc,f1abc,f0c,解出，f11,f11,f01，借助系数之间的关系，表

gxf0x2

示

f1f1x1f1f1f0f0x211f1x11f1x1x211x1x2222221

11x2x11x2x22





(2)研究对称轴 和

区间关系，赋值

a21,a0,a2.2aa2

f12a31,1a2,1,1,f

2a4a2a圆锥曲线问题求解中的“待定系数法”

例3 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－5，求椭圆的方程。

【解析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

a2b2c

22a22

∴aa(2b)解得：

b

5ac5x2y2

∴ 所求椭圆方程是：＋＝

1105

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：

bc



ac，更容易求出a、b的值。222abc

【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.数列探索性问题求解中的“待定系数法”

例4 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋„＋n(n＋1)＝

n(n1)

2(an＋bn＋c)对一切12

自然数n都成立？并证明你的结论.（89年全国高考题）

【解析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.假设存

1在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝

29a＋3b＋c。整理得：

abc24a3

4a2bc44,解得b11，9a3bC70c10

n(n1)于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋„＋n(n＋1)＝(3n2＋11n＋10)成立，下面用数

2学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

k(k1)

(3k2＋11k＋10)； 12k(k1)

当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋„＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k

k(k1)(k1)(k2)

＋2)2＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2＝（3k2＋5k＋12k＋24）＝

1212

(k1)(k2)

[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，12

假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋„＋k(k＋1)2＝

也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝

8、b＝

11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13＋23＋„＋n3、12＋22＋„＋n2求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)2＝n3＋2n2＋n得Sn＝1·22＋2·32＋„＋n(n＋1)2＝(13＋23＋„＋

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)

n)＋2(1＋2＋„＋n)＋(1＋2＋„＋n)＝＋2×＋＝

2n(n1)

(3n2＋11n＋10)，综上所述，当a＝

8、b＝

11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.1均值不等式求解中的“待定系数法”

例5.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【解析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。

∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x>0，7－x>0，x>0

设V＝

ab104

(15a－ax)(7b－bx)x(a>0,b>0)要使用均值不等式，则

15aax7bbxxab

1521

316415x21364364

解得：a＝，b＝，x＝3，从而V＝(－)(－x)x≤()＝×

4434443343

27＝576，所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”

求。本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx 或(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的abab

最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。导数和极限问题求解中的“待定系数法”

例6.已知fxx3bx2cxd在，0上是增函数，在0，2上是减函数，且方程fx0有3个根，它们分别为2，，.⑴ 求c;⑵ 求证f12；⑶ 求的取值范围

【解析】“选择不同形式待定系数”，利用导数化归二次区间上的最值求解

(1).f,00,c0;(2).f20,d4b2,f,x0的两根为0，-b3,f1bd1b4b2173b2;d

【巩固性题组】

2b2b,fx在0，2上递减，233

（3）选三根式沟通关系,fxxx2xx3bxcxdb2,d2,b2,,

24



b2216,b3,3.1函数y＝logax的x∈[2,+∞]上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____.A.2>a>1且a≠1B.02或0

2方程x2＋px＋q＝0与x2＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____

A.1B.－1C.p＋qD.无法确定

3如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－π对称，那么a＝_____

A.B.－C.1D.－1

4满足Cn＋1·Cn＋2·Cn＋„＋n·Cn<500的最大正整数是_____

A.4B.5C.6D.7

5无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－1n , 则所有项的和等于_____.n

A.－1B.1C.1D.与a有关(1＋kx)＝b0＋b1x＋b2x＋„＋b9x，若b0＋b1＋b2＋„＋b9＝－1，则k＝______。7经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。8 数列an满足：a02,a11,an1anan1，求数列an的通项公式 9已知fxax2bx,1f12,2f24,求f2的取值范围.(01上海高考)对于函数，若存在x0使fx0x0成立，则称x0为fx的“不动点”.已知函数

f(x)ax2(b1)x(b1)a0⑴ 当a1,b2时，求f(x)的不动点；⑵ 若对任意实数b,函数f(x)恒有

929

两个相异的不动点，求a的取值范围;⑶ 在⑵下，若yf(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两点关于直线ykx速解“一点通”注意图象的特征，两类下解不等式 loga21,loga1或loga1，注意底数范围分类得为B； 2 由根的意义，1为公共根，由根与系数关系选C；

12a1

对称，求b的最小值.辅助角y＝sin2x＋a·cos2x=a2sin2xarctana,2xarctanak4 反序求和有Cn＋1·Cn＋2·Cn＋„＋n·Cnn2

n

,kZ，验证选D ；

n2

1验证选 D；

a2121，选B ； 5 一般数列切入点，q,a1,s1112

aa1

222

1特殊赋值 x=1,k=–2；过两曲线交点的曲线系的应用，点坐标适合得 13x5y290;

8若注意到相邻三项满足线性递推关系，可待定系数法化为辅助数列为等比数列求解.由

a02,a11,an1

anan1知，若an1ankanan1，则对照系数有，k11,k1,故k1，于是有，2222

n1

111

ak1akakak1，即anan1是首项为1-2=-1，公比为的等比数列，则 anan11

222

.其实

质an为等差型数列求通项用“累加法”.由anan1

1

1

2

n1

取个等式累加有，n1

1121

ana1a0a2a1a3a2anan1a011a0

222

1

1nn1

21412

12121

1332212

9围

待

定

系

数

法

沟

通

关

系，线

性

表

示

求

函

数

值的n

范.1f1ab2,2f24a2b4,f24a2b3abab3f1f15,10.注：本题学生常常解出a,b的范围，再求出f2的范围使所求的范围扩大，只有用“待定系数法”线性用已知表示所求值，才不会扩大范围，其几何解释为“线性规划中的可行域”的认识.10信息迁移问题，阅读理解的基础上，待定系数法，两次构建二次函数的判别式求参数或范围;利用对称的意义和二次的韦达定理目标函数求最值.⑴ fxx2x3，由不动点意义，解fxx2x3x，得-1，3为fx的不动点；⑵ 由fx有两个不动点，则f(x)ax2(b1)x(b1)a0x，即ax2bxb10有两个不相等的实根，故b24ab10恒成立，注意到目标意识，选b为主元，即对任意bR,b24ab4a0恒成立，所以4a244a0，解得，0a1；⑶ 由上讨论知，是函数

f(x)的不动点，易知k1，即yx

xxb

,而题设yf(x)的图象上22a

A,B两点的横坐标



，设A,B的中点为E,则E2a,2a2,而由对称性2a12a1

a

bb

bb1

,0a1，当且仅当2a1,a知xEyE可得，2a2a2解出b212a1222aa2a

a

时，取得

最小值为

.陕西洋县中学（723300）刘大鸣电话（宅）09168215676

篇2：数学基本方法之三--待定系数法

采用间歇活性污泥法和呼吸计量法测定活性污泥数学模型中异养菌产率系数.研究结果表明,间歇活性污泥法测定结果受试验控制条件特别是污泥有机负荷的.影响非常大,且试验周期比较长;人工配水条件下,呼吸计量法测定异氧菌产率系数(YH)在0.71以上,比活性污泥数学模型推荐值高,其结果与底物性质有关,该方法准确性高,重现性良好.

作 者：周雪飞 顾国维 张冰 Zhou Xuefei Gu Guowei Zhang Bing 作者单位：周雪飞,顾国维,Zhou Xuefei,Gu Guowei(同济大学环境科学与工程学院,污染控制与资源化国家重点实验室,上海,92)

张冰,Zhang Bing(哈尔滨工业大学市政环境工程学院,黑龙江,哈尔滨,150090)