二次函数的应用说课材料

二次函数的应用说课材料（共14篇）

篇1：二次函数的应用说课材料

二次函数的应用——拱桥问题说课稿

梁海莲

一、教材分析 1．教材的地位和作用

二次函数的应用是初中数学的重点和难点之一。

2.从内容上看：

二次函数的应用是二次函数学习的深化阶段,要使学生感受二次函数是探索自然现象,社会现象的基本规律的工具和语言,也为学生进一步学习函数,体会函数思想奠定基础和积累经验;3.从思想层次来看：

它涉及到数形结合思想,方程函数思想,和建模思想.这些内容和思想将在以后学习中产生广泛而深远的影响.4.新课标的主旨：

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

探究3：二次函数的应用问题——根据实际问题求出函数解析式，根据解析式解决实际问题。

新教材的这种安排，既承前启后，又分散了难点，符合认知理论中的渐近性原则。5.本节内容说明

本节是第三课时，着重通过抛物线拱桥的问题来突出二次函数应用中的研究方法、它生活背景丰富，学生比较感兴趣，目的在于让学生通过学习这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习二次函数及其应用后的巩固与延伸，又为以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、教学目标及重难点的确立

结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标与重难点如下： 学习目标：

1、会建立直角坐标系解决实际问题；

2、会解决桥洞面宽度问题。学习重点：

利用二次函数图象解决实际问题。学习难点：

从实际情景中抽象出函数模型。

三、教学方法与策略指导

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，“授人以鱼，不如授人以渔”。在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑问的方法，找准解决问题的关键。

四、教学过程设计

为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，课堂教学我按以下五个环节展开。环节

1、复习回顾： 环节

2、讲授新课： 环节

3、课堂小结 环节

4、课堂训练 环节

5、课堂反思

篇2：二次函数的应用说课材料

课题：22.1 二次函数（第一节课时）

一、教材分析：

1、教材所处的地位：

二次函数是沪科版初中数学九年级（上册）第22章的内容，在此之前，学生在八年级已经学过了函数及一次函数的内容，对于函数已经有了初步的认识。从一次函数的学习来看，学习一种函数大致包括以下内容：通过具体实例认识这种函数；探索这种函数的图象和性质，利用这种函数解决实际问题；探索这种函数与相应方程不等式的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。本节课的主要内容在于使学生认识并了解两个变量之间的二次函数的关系，为二次函数的后续学习奠定基础

2、教学目的要求：

（1）学生经历从实际问题中抽象出两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；

（2）让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系；

（3）知道实际问题中存在的二次函数关系中，多自变量的取值范围的要求。

（4）把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。

3、教学重点和难点

本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点： 重点：

（1）二次函数的概念

（2）能够表示简单变量之间的二次函数关系．

难点：

具体的分析、确定实际问题中函数关系式

二．教法、学法分析：

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

1、教法研究

教学中教师应当暴露概念的再创造过程，鼓励学生不但要动口、动脑，而且要动手，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会主动学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。本节课的设计坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

2、学法研究

初中学生的思维方式往往还是比较具象的，要让他们在问题的探究过程中充分体验问题的发现、解决及最终表述的方式方法，遇到困难可以和同伴、老师进行交流甚至争论，这样既可以加深学生对问题的理解又可以让学生体验获得学习的快乐。

3、教学方式

（1）由于本节课的内容是学生在学习了《一次函数》和《正比例函数》的基础上的加深，所以可以利用学生已有的知识在问题一、二中放手让学生先去探究探究两个问题中的变量之间的关系，在得到具体的关系式后，再引导学生观察关系式都有着什么样的特点，可以和多项式中的二次三项式或一元二次方程比较认识，并最终得出二次函数的一般式及二次项系数的取值为什么不为零的道理。

（2）要特别提醒学生注意：二次函数是解决实际生活生产的一个很有效的模板，因而对二次函数解析式中自变量的取值范围一定要从理论上和实际中加以综合讨论和认定。

（3）可以多让学生解决实际生活中的一些具有二次函数关系的实例来加深和提高学生对这一关系模型的理解。

三．教学流程分析：

本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：

温故知新—揭示课题自我尝试—探求新知

合作探究—内容深化小试身手—循序渐进

课堂回眸—归纳提高课堂检测—测评反馈

这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

1、温故知新—揭示课题

由回顾所学过的正比例函数，一次函数入手，引入函数大家庭中还会认识那一种函数呢？再由例子打篮球投篮时篮球运动的轨迹如何？何时达到最高点？引入二次函数。

2、自我尝试、合作探究—探求新知

通过学生自己独立解决运用函数知识表述变量间关系，即自我探讨环节；合作探究环节，学生间互动，集群体力量，共破难关，来自主探究新知，从而通过观察，归纳得到二次函数的解析式，获取新知。（课本第三页问题1、2）.3、小试身手—循序渐进

本组题目是对新学的直接应用，目的在于使学生能辨认二次函数，准确指出a、b、c，并应用其定义求字母系数的值，能应用二次函数准确表示具体问题中的变量间关系。本组题目的解决以学生快速解答为主，重点对第2题分析解决方法。这一环节主要由学生处理解决，以检查学生的掌握程度。（课本P3练习第1、2）

4、课堂回眸—归纳提高

本课小结从内容、应用、数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识是有很大的促进的。方法以学生畅谈收获为主。

5、课堂检测—测评反馈

共有6个题目，由学生独自处理第1、2、3、4、5小题，再发表自己的看法，第6小题可由学生或独自或同组交流均可。教师多以巡视为主，注意掌握学生对本节的掌握情况。

6、作业布置

作业我选择“同步作业”里的题目，其中基础训练为必做题，全员均做；综合应用为选做题，可供学有余力的学生能力提升用。

四、对本节课的一点看法

篇3：浅谈二次函数的应用

高中阶段是在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例来加以更深地认识函数的概念。

二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 这里ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素X在值域中的像, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题:

例1已知f (x) =2x2+x+3, 求f (x+1)

这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值。

例2设f (x+1) =x2-4x+1, 求f (x)

这个问题理解为, 已知对应法, 则f下定义域中的元素x+1的像是x2-4x+1, 求定义域中元素X的像, 其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1) 把所给表达式表示成x+1的多项式。

f (x+1) =x2-4x+1= (x+1) 2-6 (x+1) +6, 再用x代x+1得f (x) =x2-6x+6。

(2) 变量代换:它的适应性强, 对一般函数都可适用。

令t=x+1, 则x=t-1。∴ (t) = (t-1) 2-4 (t-1) +1=t2-6t+6, 从而f (x) =x2-6x+6。

二、二次函数的单调性, 最值与图像

在高中阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=a x2+b x+c在区间 上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。

例3画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像。

例3:设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 并画出y=g (t) 的图像。

解:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2。

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t) =-2。

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1。

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2。

首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之变化, 为了巩固和熟悉这方面知识, 可以再给学生补充一些练习。

如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域。

三、二次函数的知识, 可以准确反映学生的数学思维

例4设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足

(1) 当X∈ (0, x1) 时, 证明X

(2) 设函数f (x) 的图像关于直线x=x0对称, 证明

解题思路:

本题要证明的是x

(1) 先证明x

因为00, 又a>0, 因此f (x) >0, 即f (x) -x>0, 至此, 证得x

c=a x1x2f (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时f (x)

即x

函数f (x) 的图像的对称轴为直线 , 且是唯一的一条对称轴, 因此, 依题意, 得 , 因为x1, x2是二次方程ax2+ (b-1) x+c=0的根, 根据违达定理得,

篇4：二次函数的实际应用

学习了二次函数的有关知识后，灵活应用这些知识，可以帮助我们解答一些生产、生活中的实际问题，现以2007年的部分中考题为例介绍，供同学们参考。

例1 (2007年烟台市)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件。

(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；

(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

析解：(1)当生产第x档次的产品时，每件利润为[10+2(x-I)]元，每天产量为[76-4(x一1)]件。

因为每天总利润=每件利润×每天产量。

所以y=[10+2(x-1)][76-4(x一1)]

即有y=-8x²+128x+640

(2)要求产品的质量档次，只要求x的值即可

在y=-8x²+128x+640中

因为y=1080，

所以-8x²+128x+640=1080

整理．得X²16x+55=0

解之，x₁=5，X₂=11(不合题意，舍去)

所以当一天的总利润为1080元时，应生产第5档次的产品。

例2 (2007年佛山市)如下图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴．顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)一辆货运卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗?

(3)如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0．4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

析解：(1)设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，要求y关于x的解析式，应找到三组x和y的数值．

因为点E、点A、点D的坐标分别为(0，6)、(-4，2)、(4，2)，

(2)要判断高为4.5m，宽2.4m的货车能否从该隧道内通过，其实质在于确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于2.4m，若大于2.4m，就可以通过；否则，就不能通过。

所以货车可以通过。

(3)如果隧道内设双行道，且在隧道正中间没有O．4m的隔离带，那么要判断这辆货车是否可以顺利通过，只要确定隧道的截面内，距地面高4．5m的两点之间的水平距离是否大于(2.4x2+0.4)m，即是否大于5.2m，若大于，就可以通过；否则，就不能通过。

所以如果隧道内设双行道，且在隧道正中间设有0.4m的隔离带．则这辆货车不能顺利通过。

例3(2007年贵阳市)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高l元，平均每天少销售3箱。

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元／箱)之间的函数关系式。

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

析解：(1)当每箱的销售价为x元时，它比每箱50元的价格提高(x-50)元，那么销售量将减少3(x-50)箱。

所以y=90-3(x-50)，

即有y=-3x+240，

(2)当每箱的销售价为x元时，每箱的销售利润为(x-40)元，每天的销售量为y箱，即(－3x+240)箱．

所以w=(x-40)(-3x+240)，

即有w=-3x²+360x-9600

(3)要问每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润，只要求出x为何值时w有最大值,为此，应把w与x的二次函数关系式进行配方变形。

因为w=-3x²+360x-9600

=－3(x-60)²+1200，

又，x≤55，且x<60时，w随x的增大而增大

所以当x=55时，w有最大值=-3x(55-60)²+1200=1125．

所以当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

练习

1．(2006年鄂尔多斯市)某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

x(元)

20 25

30 35

y(件)

30 25

20 15

(1)在草稿纸上描点，观察点的分布，确定y与x的函数关系式．

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

答案：(1)y=-x+50；(2)每件产品的销售价应定为30元，此时每日销售利润是400元。

2．(2007年青岛市)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：

(1)求y与x的关系式；

(2)当x取何值时，y 的值最大?

(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售价不得高于90元／千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

篇5：二次函数复习课说课稿

本节课选自华东师大版初中数学九年级下册第26章26、1的内容。函数是描述现实世界变化规律的数学模型。二次函数是基本的初等函数，也是初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，对二次函数的研究将为学生进一步学习后续函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。在学习了一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数的知识奠定基础。

教材在本节提出了两个求实际问题中变量最大值的问题。通过对实际问题的分析得到变量之间的数量关系，并对照函数的概念判断它们是否是函数，然后引导学生思考这些函数的共同特点，从而归纳得出二次函数的概念，一般形式。通过归纳具体函数的共同特点来定义二次函数的概念，体现了研究代数学问题的一般方法，同时在实际问题情境中体会二次函数的意义。

二、说学情

接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。九年级学生的思维已逐步从直观的形象思维向抽象的逻辑思维过渡。因此在教学中需要老师多加以引导，多发挥学生主观能动性，要求学生主动概括归纳二次函数的概念。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标：

（一）知识与技能

掌握二次函数的概念，体会二次函数的实际意义。

（二）过程与方法

经历从实际问题中抽象为数学模型的过程，了解二次函数是刻画现实世界数量关系的又一个重要的数学模型，发展合情推理能力。

（三）情感、态度与价值观

在自主参与活动的过程中，进一步体验学习成功带来的快乐。

四、说教学重难点

我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：二次函数的概念。教学难点是：二次函数概念的抽象概括过程。

五、说教法和学法

篇6：二次函数的应用说课材料

教材背景分析

一、教材的地位与作用

《二次函数的图像与性质》是九年级下册第26章的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程的联系》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识。它在教材中起着非常重要的作用。另外，本节课，最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。

二、教学重点与难点

通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。我认为这节课的重点是：作出函数y=ax2+c

222的图象，比较函数y=ax和函数y=ax+c的异同，了解它们的性质；函数y=ax+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。

教学目标设计 知识目标

（1）会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（2）了解抛物线y=ax2上下平移规律。能力目标

本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。情感目标

引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。教学结构设计

建立以“实施主体性教学，培养学生自主探究的能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式。让学生先自己动手画图，然后由老师来演示，这样从直观的看图观察，思考，提问，容易激发学生的求知欲望，调动学生学习的兴趣。以“学教结合”为模式的课堂结构设计为“三个阶段”：

①准备阶段。教师先从回忆函数y=ax2图象与性质，从而导入二次函数y=ax2+c的图像与性质，进而带出本节课的学习目标。

②参与阶段。学生围绕目标自我表现，相互交流，启发理解。

③应用与升华阶段。这一阶段是让学生从“学会”到“会学”的升华。延伸

阶段要做到“三化”，一是知识的深化，二是知识向能力、技能的转化，三是学习方法的固化，即演练巩固，牢固掌握其方法。

教学媒体设计

充分利用多媒体教学，将powerpoint、《几何画板》两种软件结合起来制作上课课件。制作的课件，不仅课堂所授容量大，而且，利用作二次函数图像的动画性，更加形象的反映出作图的过程，增加数学的美感，激发学生作图的兴趣。

教学评价设计

本节课，我合理、充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，特别是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数y=ax2的有关性质，充分体现了“数形结合”的数学思想。为了突出重点，攻破难点，我要求学生“先观察后思考”、“先做后说”、“先讨论后总结”，“师生共做”充分体现了教学过程中以学生为主体，老师起主导作用的教学原则。本节课，让学生有观察，有思考，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习兴趣，从而为高效率、高质量地上好这一堂课作好了充分的准备。

《二次函数的图像与性质》教案

和平中学 王霞

教学目标：

1、了解二次函数图像的特点。

2、掌握一般二次函数yax2bxc的图像与yax2的图像之间的关系。

3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例2的解题思路与解题技巧。教学设计：

一、回顾知识

1、二次函数ya(xm)2k的图像和yax2的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题

对于函数yx22x1，请回答下列问题：

（1）对于函数yx22x1的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

yx22x1思路：把yx22x1化为ya(xm)2k的形式。=(x22x1)(x22x1)2(x1)22(x1)22

在y(x1)22中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？

二、探索二次函数yax2bxc的图像特征

1、问题：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式 ？ yax2bxc

bcb2b2cb24acb22b=a(xx)axx()()a(x)

aaa2a2aa2a4a2由此可见函数yax2bxc的图像与函数yax2的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。

练习：课本第37页课内练习第2题（课本的例2删掉不讲）

2、二次函数yax2bxc的图像特征

（1）二次函数 yax2bxc(a≠0)的图象是一条抛物线；

bb4acb2（2）对称轴是直线x=，顶点坐标是为（，）

2a2a4a(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

151、例

1、求抛物线yx23x的对称轴和顶点坐标。

22有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点坐标公式。

2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题

3、（补充例题）例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为（-1，2），且图像过点（1，-3）。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)分析与启发：（1）在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？

4、练习：（1）课本第37页课内练习第3题。

（2）探究活动：一座拱桥的示意图如图（图在书上第37页），当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

1、点A

2、点B

3、抛物线的顶点C 所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

1、函数yax2bxc的图像与函数yax2的图像之间的关系。

2、函数yax2bxc的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

3、函数的解析式类型：

一般式：yax2bxc顶点式：ya(xm)2k

五、布置作业

二次函数图象与性质的教学反思

和平中学 王霞

本节课的教学目标是：①能根据已知条件确定二次函数的解析式、开口方向、顶点和对称轴。②理解并能运用二次函数的图象和性质解决有关问题。本节课的重、难点是：二次函数图象和性质的综合应用。我立足于学生自主复习，师生合作探究的形式完成本节课的教学任务。

首先我让学生课前完成二次函数图象和性质的基础训练，促使学生对二次函数图象和性质的知识点全面梳理和掌握。课上我用投影仪检查一名学生完成课前复习情况，其他学生交换批改，发现最后一小条有部分学生有问题，我及时评讲分析，帮助学生解决。

接着，师生合作探究本节课的例题。本例是用已知抛物线解决7个问题，这7个问题是我从全国近年中考试题中整理出来的，它代表了中考的方面。问题1是用顶点式求出抛物线的解析式再通过解析式求与坐标轴的交点，通过观察图象我又提出了x为何值时，y>0，y<0？以及图中△AOC与△DCB有何关系，进一步培养学生发现问题解决问题的能力。问题

2、问题

3、问题4是抛物线的平移、轴对称和旋转的题目。主要是让学生抓住抛物线的顶点和开口方向来完成。这种类型的题目也有少数同学从坐标点的对称角度来解决也是可行的，并且方便记忆，对于这两种方法我让学生作了及时的归纳小结。问题5和问题6是关于抛物线的最值问题。问题5是利用抛物线的对称性解决三角形的周长最小的题目。学生通过作图能独立解决并求出点的坐标。问题6是本节课的重点，它通过建立目标函数解决四边形面积的极值。本题目关键是引导学生如何设点的坐标，将四边形的面积转化成我们熟悉的三角形（或直角梯形）来建立函数关系式。通过这条题进一步培养学生建立函数模型的思想。本题让学生充分合作交流，最后，让学生在自主探索中获取新的知识。通过观察图象求出了四边形的面积后，我又提出如何求△BCF的面积的最大值的问题，让本题得到进一步的升华，培养学生的创新思维。问题7是在抛物线上探求点存在性问题，引导学生先作出符合条件的平行四边形，再判断点是否在抛物线上，本题着重培养了学生数形结合的思想方法。

这7个问题由浅入深，循序渐进推出，符合学生的认知规律，使学生对二次函数图象和性质有了进一步的理解和提高。

篇7：二次函数的应用说课材料

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一、教材分析 1.教材的地位和作用

这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

2.教学目标和要求

(1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力。

(3)情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心。

3.教学重点：对二次函数概念的理解。

4.教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。

二、教法学法设计

1.从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程。2.从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程。3.利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程。

三、教学过程(一)复习提问

1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?(一次函数，正比例函数，反比例函数)2.它们的形式是怎样的?(y=kx+b，k≠0;y=kx，k≠0;y=k/x，k≠0)3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k≠0的条件? k值对函数性质有什么影响? 【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。

(二)引入新课

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。(电脑演示)

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例1圆的半径是r(cm)时，面积s(cm²)与半径之间的关系是什么? 解：s=πr²(r>0)例2设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)? 解： y=100(1+x)² =100(x²+2x+1)= 100x²+200x+100(0 教师提问：以上两个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点? 【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系：(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。

(三)讲解新课

以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数叫做二次函数。巩固对二次函数概念的理解：

1.强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式)。

2.在 y=ax2+bx+c 中自变量是x，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。(如例1中要求r>0)3.为什么二次函数定义中要求a≠0 ?(若a=0，ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了)4.在例2中，二次函数y=100x2+200x+100中，a=100，b=200，c=100。5.b和c是否可以为零? 由例1可知，b和c均可为零。若b=0，则y=ax2+c;若c=0，则y=ax2+bx;若b=c=0，则y=ax2。

注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式。【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。

判断：下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数，指出a、b、c。(1)y=3(x-1)²+1

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(2)s=3-2t²(3)y=(x+3)²-x²(4)s=10πr²(5)y=2²+2x(6)y=x4+2x2+1(可指出y是关于x2的二次函数)【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。

(四)巩固练习

1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。

(1)当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积;(2)设这个直角三角形的面积为Scm2，其中一条直角边为xcm，求S关于x的函数关系式。

【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。

2.已知正方体的棱长为xcm，它的表面积为Scm2，体积为Vcm3。(1)分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子;(2)这两个函数中，那个是x的二次函数? 【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

3.设圆柱的高为h(cm)是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm，圆柱的体积为Vcm3(1)分别写出C关于r;V关于r的函数关系式;(2)两个函数中，都是二次函数吗? 【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。

4.篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。

(五)拓展延伸

1.已知二次函数y=ax2+bx+c，当 x=0时，y=0;x=1时，y=2;x=-1时，y=1.求a、b、c，并写出函数解析式。

【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。

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2.确定下列函数中k的值

(1)如果函数y= xk^2-3k+2 +kx+1是二次函数，则k的值一定是______(2)如果函数y=(k-3)xk^2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值一定是______ 【设计意图】此题着重复习二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0。

(六)小结思考

本节课你有哪些收获?还有什么不清楚的地方? 【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。

(七)作业布置 必做题：

1.正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗? 2.在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。

选做题：

1.已知函数 是二次函数，求m的值。

2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和y=-x2图象

【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。

四、教学设计思考 以实现教学目标为前提 以现代教育理论为依据 以现代信息技术为手段

篇8：二次函数在中学阶段的应用

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深刻地认识函数的概念。二次函数是从一个数集A(定义域)到数集B上的对应f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0)与集合A的元素x对应，记为f (x)=ax2+bx+c (a≠0)。这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在集合B中的对应元素，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

题型I：已知f (x)=2x2+x+2，求f (x+1).

这里不能把f (x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

题型Ⅱ：设f (x+1)=x2-4x+1，求f (x).

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1在集合B中的对应元素为x2-4x+1，求定义域中元素x的在集合B中的对应元素，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

f (x+1)=x2-4x+1=(x+1) 2-6 (x+1)+6，再用x代x+1得f (x)=x2-6x+6.

(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用。

令t=x+1，则x=t-1，所以f (t)=(t-1) 2-4 (t-1)+1=t2-6t+6，从而f (x)=x2-6x+6.

二、二次函数的单调性、最值与图像

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)在区间上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习与二次函数有关的一些函数的单调性。

题型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数表示，然后画出其图像。

题型Ⅳ：设f (x)=x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t)，求：g (t)，并画出y=g (t)的图像.

解：f (x)=x2-2x-1=(x-1) 2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t)=-2

当t>1时，g (t)=f (t)=t2-2t-1

当t<0时，g (t)=f (t+1)=t2-2

首先要使学生弄清楚题意。一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域.(可适当改变区间)

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

题型Ⅴ：设a为实数，函数f (x)=2x2+(x-a)|x-a|.

(1)若f (0)≥1，求a的取值范围;

(2)求f (x)的最小值;

(3)设函数h (x)=f (x), x∈(a，+∞)，·直·接·写·出(不需给出演算步骤)不等式h (x)≥1的解集.

解析：本小题主要考查函数的概念、性质、图像及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

(1) 若f (0) ≥1, 则

综上

篇9：浅析二次函数的应用

一、深入理解函数概念

高中阶段函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来更深的认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ：A→B，使得集合B中的元素y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），这里ax2＋bx＋c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知ƒ（x）＝2x2＋x＋2，求ƒ（x＋1）。

这里不能把ƒ（x＋1）理解为x＝x＋1时的函数值，只能理解为自变量为x＋1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1，求ƒ（x）。

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x＋1的象是x2－4x＋1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x＋1的多项式。

ƒ（x＋1）＝x2－4x＋1＝（x＋1）2－6（x＋1）＋6，再用x代x＋1得ƒ（x）＝x2－6x＋6。

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t＝x＋1，则x＝t－1，∴（t）＝（t－1）2－4（t－1）＋1＝t2－6t＋6，从而ƒ（x）＝x2－6x＋6。

二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y＝ax2

＋bx＋c在区间（－∞， ］及［ ，+∞）上的单调性的结

论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y＝x2＋2|x－1|－1 （2）y＝|x2－1| （3）y＝x2＋2|x|－1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ：设ƒ（x）＝x2－2x－1在区间［t，t＋1］上的最小值是g（t），求g（t）并画出y＝g（t）的图象。

解：ƒ（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，在x＝1时取最小值－2。

当1∈［t，t＋1］时，即0≤t≤1，g（t）＝－2。

当t＞1时，g（t）＝ƒ（t）＝t2－2t－1，当t＜0时，g（t）＝ƒ（t＋1）＝t2－2。

t2－2（t＜0）

g（t）＝ －2 （0≤t≤1）

t2－2t－1（t＞1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y＝3x2－5x＋6（－3≤x≤－1），求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维。

类型Ⅴ：设二次函数ƒ（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）方程ƒ（x）

－x＝0的两个根x1，x2满足0

1．当X∈（0，x1）时，证明X＜ƒ（x）＜x1。

2．设函数ƒ（x）的图象关于直线x＝x0对称，证明x0＜ 。

解题思路：

本题要证明的是x＜ƒ（x），ƒ（x）＜x1和x0＜ ，由题中所

提供的信息可以联想到：①ƒ（x）＝x，说明抛物线与直线y＝x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ（x）－x＝0可变为ax2＋（b－1）x＋1＝0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法；②利用一元二次方程根与系数关系；③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。現以思路②为例解这道题：

（1）先证明x<ƒ（x），令ƒ（x）＝ƒ（x）－x，因为x1，x2是方程ƒ（x）－x＝0的根，ƒ（x）＝ax2＋bx＋c，所以ƒ（x）＝a（x－x1）（x－x2）。

因为0＜x1＜x2，所以，当x∈（0，x1）时，x－x1<0，x－x2＜0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此ƒ（x）＞0，即ƒ（x）－x＞0。至此，证得x＜ƒ（x）。

根据韦达定理，有x1x2＝ ，∵0＜x1＜x2< ，c＝ax1x2＜x

＝ƒ（x1），又c＝ƒ（0），∴ƒ（0）<ƒ（x1），根据二次函数的性质，曲线y＝ƒ（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y＝ƒ（x）在闭区间［0，x1］上的最大值在边界点x＝0或x＝x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ（x1）>ƒ（0），所以当x∈（0，x1）时，ƒ（x）<ƒ（x1）＝x1，即x <ƒ（x）< x1。

（2）∵ƒ（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋（c ）（a＞

0）。

函数ƒ（x）的图象的对称轴为直线x＝ ，且是唯一的一

条对称轴，因此，依题意，得x0＝ ，因为x1，x2是二次方程

ax2＋（b－1）x＋c＝0的根，根据违达定理得x1＋x2＝ 。

∵ x2－ <0；

∴ x0＝ ＝ （x1+x2－ ）< ，即x0＝ 。

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

篇10：二次函数的应用教案

教学目标

知

识

与

技

能

通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。过

程

与

方

法

通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。情感、态度与价值观

通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。

教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：(1)正确构建数学模型

(2)对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用

一、复习引入

1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2、（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。

（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、抛物线在何位置取最值？

二、新课讲授

1、讲解例题教师提出问题，引导学生观察思考，学生独立研究解决方案、展示

师生共同分析解决问题，引导学生讨论、交流、归纳，深入参与讨论，重点关注是否准确建立函数关系及讨论自变量取值范围 汇报、展示

师生共同小结并反思，加深理解

2、归纳总结复习提问让学生回忆二次函数图象、顶点与最值，求最值方法；实际问题中，提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量取值范围这个条件的制约才有意义，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。

例题及练习的设计是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从学生身边较熟悉的事情

入手，让学生初步体会数学不能脱离生活实际，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，从而提炼出解题方法。让学生对自变量的意义有更深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

小结过程中让学生体会到数学思想与方法。

三、练习

篇11：二次函数的实际应用的反思

张珺瑕

二次函数的实际应用，根据自己书写的教案，从教材分析、教学方法、学法及教学手段的选择、教学过程设计等方面做出具体的说明。

教学内容的地位、作用和意义，二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。

本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。教学目标：（1）、使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。（2）、培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。教学重点：（1）、使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）、使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．

教学方法、学法及教学手段的选择

二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合我所教班级的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。

关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境 → 学生自主+合作完成数学建模 →一题多解思维拓展 → 掌握建模关键点形成解题技能。

篇12：二次函数的图象性质应用结题报告

学 科：数学课 题：班 级：高一（指导教师：魏立珍

三角函数的图象性质应用1,2）班

研究性学习活动结题报告

组长: 组员:

指导老师:魏立珍

摘要：三角函数是高考的重点内容，学习中学生能够熟练地对三角函数解析式配方、确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值、奇偶性等性质及其图像范围，培养学生分类讨论的思想。渗透数学思想与方法（如化归、映射的思想，换元的方法）的学习，发展学生的思维能力。

正文：

三角函数的基本知识点的整理

小组成员心得体会

研究性学习是个集体项目，它不仅培养了我们的合作精神，而且也培养了大家的团结友爱，互助协作的精神。组成小组后，我们组就常常在一起讨论题目，等到讨论成熟后，就进行计算研究。俗话说，三个臭皮匠顶个诸葛亮。大家在一起如果做出一些东西来，就会有一种成就感，这是研究性学习带给我们的乐趣所在。

研究性学习培养的是一种创新精神，以及快速解决问题的能力。参加 研究性学习小组，给了我们一次简单的科学研究工作的体验。科学工作所需要的严谨，大胆都在这样活动中有着完整的体现。使我们体会到了科研工作的艰辛，这些将对我们今后的学习与工作产生积极的作用和深远的影响。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。

研究性学习转变了我们的学习观念，改变学习方式。以我的小组而言吧，我们选择了似简单却又挺麻烦的课题——三角函数图像特点的应用。说它简单，最终成果只是一个简单的结果。但是，真是搞起来，要多方面考虑，还要收集有关资料，再加以运用，这自然会遇到许多麻烦，它给我们很大创新空间和实践机会，转变我们对学习和生活缺少独立思考新发现的一些依赖观念，改变我们“死读书”的学习方式，创造另一种学习的风气，营造更优的学习环境。这对学习科学文化的学生来说也是一个运用科学知识解决问题的良好机会。教师评价

研究性学习是一个崭新的课题，对于初初接触这个课题的新生来说，的确是件棘手的事情，一方面是因为以前没接触过，没什么经验，不知从何入手，另一方面是高中学习负担重，如何协调好学习和研究课题之间的比例关系，成了学生们烦恼的事。但是我们小组的成员这点做得不错，协调好两者，学习和研究课题双双丰收。从开题到结题，作为指导老师的我，并没有一步一步教他们如何做，而是提些学生没注意到的问题，在他们困惑之时引导他们如何拨开迷雾，指出他们研究中出现的一些小问题，毕竟研究性学习是要学生独立完成的，指导老师太过入戏的话，研究性学习就没多大意义了。总体来说，我们小组完成得不错，继续加油！

篇13：浅议二次函数在高中阶段的应用

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域) 上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为ƒ(x)= ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型I:已知ƒ(x)= 2x2+x+2,求 ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为,已知对应法则 ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x24x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ ( x + 1 ) = x2- 4 x + 1 = ( x + 1 )26(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。

令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)24(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性,最值与图像

在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞,-b2a]及[-b2a,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ:画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像。

类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间 [t,t+1]上的最小值是g(t)。

求:g(t)并画出y=g(t)的图像

解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)= ƒ (t+1)=t 2 -2

t2-2, (t<0)

g(t)= -2,(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1a。

( Ⅰ ) 当X ∈ ( 0 , x1) 时 , 证明X<ƒ(x)<x1。

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x0< x2。

解题思路:

本题要证明的是x<ƒ(x),ƒ(x)<x1和x0<x2,由题中所提供的信息可以联想到:1ƒ(x)=x,说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;2方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1) x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式,因此解题思路明显有三条1图像法2利用一元二次方程根与系数关系3利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路2为例解决这道题:

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x)=ƒ(x)-x, 因为x1, x2是方程 ƒ ( x ) - x = 0的根 , ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(xx2)

因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时,x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a >0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)

根据韦达 定理 , 有x1x2= c a ∵ 0 <x1<x2<1a,c=ax1x2<x=ƒ(x1),又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根据二次函数的性质,曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=ƒ(x)在闭区间[0,x1] 上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到, 由于ƒ(x1)>ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时 ƒ(x)<ƒ(x1)=x1,

即x<ƒ(x)<x1

(Ⅱ)∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(c-),(a>0)

函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=- b/2a,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b/2a,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a,∵x21a<0,

∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)<x2,即 x0=x2。

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

篇14：二次函数的应用说课材料

例1证明：-33≤sinx2-cosx≤33.

证明依题设结构，构造以±33为零点的二次函数，记f（t）=t-33t+33，由二次函数图像性质，欲证-33≤sinx2-cosx≤33成立，只需证f（sinx2-cosx）≤0即可.由f（sinx2-cosx）=sin2x2-cosx2-13=3sin2x-2-cosx232-cosx2=-1-2cosx232-cosx2≤0成立，故原不等式成立.

点评此题证明没用到三角中变形求值域方法，而是由结构巧妙构造二次函数零点式，依二次函数的函数值与不等式解集之间的紧密关系，数与形有机结合，方法美妙，令人印象深刻.对于证a≤f（x）≤b的形式的不等式，一般可考虑构造二次函数零点式来解决.

例2（数学通报201412期问题征解2217）设长方体的长宽高分别为a，b，c（a>b>c），p为长方体各棱长之和，为表面积，d为一条对角线，求证：a>13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.

解析由求证结构形式，不妨构造以x1=13p4+d2-12s，x2=13p4-d2-12s为零点的二次函数，由韦达定理知x1+x2=p6=23a+b+c，x1x2=19p216-d2+12s=19[a+b+c2-a2+b2+c2+ab+bc+ac]

=13ab+bc+ac，构造二次函数f（x）=3（x-x1）（x-x2）=3x2-2a+b+cx+ab+bc+ac，由函数对称轴为x=a+b+c3，又a>b>c，故a>a+b+c3>c，又由f（a）=3a2-2a+b+ca+ab+bc+ac=

a2-ab+bc-ac=（a-b）（a-c）>0，f（c）=3c2-2a+b+cc+ab+bc+ac=c2+ab-bc-ac=（c-b）（c-a）>0，故c

点评此题用一般方法较难下手，而构造二次函数的零点式，问题的解决得以易乎寻常的顺畅.2巧比大小

例3设函数f（x）=ax2-x，g（x）=x-a（a>0），若p，q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0

证明由f（x）-g（x）=0的两根为p，q，构建零点式，则f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），由x∈（0，p），且00，即f（x）>g（x）.

又f（x）-p-a=g（x）+a（x-p）（x-q）-p-a=x-p+a（x-p）（x-q）=x-pax-q+1a，由0

综上所述，gx

例4已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，方程f（x）-x=0的三根满足0

解析由题意，x1，x2，x3为方程f（x）-x=0的三根，构建零点式得f（x）-x=x-x1x-x2x-x3，由-ca+b+c=-f（0）[f（1）-1]=x1x2x31-x11-x21-x3，又由0

点评例3与例4是涉及到二次或三次函数的根的不等关系的证明问题，若按常规采用一般式方程进行处理，问题将变得较为复杂.一般地，一些二次或三次函数的题目中涉及方程的根时，常利用其零点式进行化归处理，可大大优化解题过程与步骤.

例5（2010年湖北龙泉中学考试题）已知实数a1

a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3，且a1

A.1B.2C.3D.4

解析由三次方程根与系数关系，构建三次函数f（x）=x-a1x-a2x-a3=x3-a1+a2+a3x2+

a1a2+a1a3+a2a3x-a1a2a3，a1

b1b2+b1b3+b2b3x-b1b2b3，b1

b1b2+b1b3+b2b3，则函数g（x）即为函数f（x）向下作了部分平移而得，如右图示：

故由图知（1）（2）显然正确，且a1a2a30，即（1-a1）（1-a2）（1-a3）>（1-b1）（1-b2）（1-b3），

则（4）不对.故正确的为2个，选B.

点评在一些题目中，根据一元二次方程或一元三次方程的根与系数的关系可构造二次函数或三次函数零点式，巧妙解决一些数学问题，可起到让人耳目一新的效果.3解决不定方程问题

例6两个正整数的和比积小2015，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是.

解析由两正数的和与积，联想二次函数零点式，不妨设此两正整数分别为m，n（m>n>0），记f（x）=（x-m）（x-n），依题意，mn-m-n=2015，故f（1）=（1-m）（1-n）=2016=25×7×32，由m，n中有一个为完全平方数，则m-1=672，

n-1=3，或m-1=84，

n-1=24，或m-1=288，

n-1=7.故m=673，

n=4，或m=85，

n=25，或m=289，

n=8.所以m-n=669或60或281.

例7已知函数f（x）=x2+ax-a+2（a∈Z）有两个不同的正整数零点，求整数a的值.

解析不妨设此函数零点为m，n，则f（x）=x-mx-n，则由题意，m+n=-a，mn=2-a，故mn-m-n=2，则f（1）=1-m1-n=3，由m，n为不同的正整数零点，则m-1=1，

n-1=3，或m-1=3，

n-1=1.

所以两正整数只能为2，4，则a=-6.

点评当涉及两数和与积结构时，可联想二次函数零点式，在解决不定方程问题时，有时可使有关问题的解法变得简洁、明快.

零点式的应用是相当广泛的，不但二次与三次可利用其零点式解决问题，甚至一次函数也是如此.如像不等式证明中af（x）可构建一次函数零点式f（t）=t-a，也可用零点视角来研究.当然二次函数与三次函数零点式的应用肯定不止本文中所提到的这些，由于本人知识水平有限，欢迎同行进行交流与补充.作者简介黄旭东，1975年6月生，湖北黄石人，中级职称.主研方向为中学数学解题规律与教学规律.发表文章若干篇.