高数选修极限范文

第一篇：1高数选修极限范文

高数_第1章_极限计算方法总结

极限计算方法总结

一、极限定义、运算法则和一些结果 1.定义：

数列极限、函数极限，课本42页的表格必须认真填写并掌握。 说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim10;lim(3x1)5;limqn0,当q1等。 2x2n(n1)n定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可!(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2.极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在， 且(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)limf(x)g(x)AB

(3)limf(x)A,(此时需B0成立)

说明：极限号下面的极限过程是一致的;同g(x)B时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3.两个重要极限

sinx(11)xe

1 (2) lim(1x)xe ; lim(1) limxxx0x0x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

(2)一定注意两个重要极限成立的条件。

例如：lim1sin3x1，lim(12x)x0x03x12xe，lim(13)e;等等。

xxx34.等价无穷小

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。 定理3 当x0时，下列函数都是无穷小(即极限是0)，且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1 。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0)，仍有上面的等价 关系成立，例如：当x0时，

定理4 如果函数

e3x1 ～ 3x ;ln(1x2) ～ x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，

f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于lim。

xx0g(x)xx0g(x)xx0g(x)115.连续性

定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内

的一点，则有limxxf(x)f(x0) 。求极限的一个方法。

06.极限存在准则

定理6(准则1) 单调有界数列必有极限。

定理7(准则2) 已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

(1) ynxnzn,(n1,2,3,)(2) limyna，limznnan

则极限limxn一定存在，且极限值也是a ，即limxannn。

二、求极限方法举例

1. 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

例1 lim3x12x1x1

解：原式=lim(3x1)222x1(x1)(3x12)lim3x3x1(x1)(3x12)34 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limnn(n2n1)

n解：原式=limn[(n2)(n1)]分子分母同除以nn2n1lim3n312112nn例3 lim(1)n3nn2n3n

上下同除以3n(1)n1解：原式lim3n1 (2。 3)n12. 利用函数的连续性(定理6)求极限 1例4 limx2exx2

1解：因为x是函数f(x)x2ex02的一个连续点，

1 所以

原式=22e24e 。

3. 利用两个重要极限求极限 例5 lim1cosxx03x2

。

xx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26 。 3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则(第三章) 例6

2xlim(13sinx)

x016sinx3sinxx13sinx6sinxx解：原式=lim(13sinx)x0lim[(13sinx)x0]e6 。

例7 lim(nn2n) n1解：原式=lim(1n3)n1n13n3n1lim[(1n3)n1n13]3nn1e3 。

4. 利用定理2求极限

2例8 limxsinx01 x解：原式=0 (定理2的结果)。

5. 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

例9 limx0xln(13x)2

arctan(x)22x0

解：x0时，ln(13x)～3x，arctan(x)～x， 原式=limx3x3 。 2xexesinx例10 lim

x0xsinxesinx(exsinx1)esinx(xsinx)lim1 。 解：原式=limx0x0xsinxxsinx注：下面的解法是错误的：

(ex1)(esinx1)xsinxlim1 。

原式=limx0x0xsinxxsinx

正如下面例题解法错误一样：

tanxsinxxxlimlim0 。

33x0x0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx0sinx2xsin解：当x0时，111是无穷小，tan(x2sin)与x2sin等价， xxxx2sin

所以，

原式=limx01xlimxsin10 。

(最后一步用到定理2)

x0xx5. 利用极限存在准则求极限

例20 已知x1xn 2,xn12xn,(n1,2,)，求limnn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界(0

xn存在，limxna。对已知的递推公式 xn12xnn两边求极限，得：

a2a，解得：a2或a1(不合题意，舍去)

所以 limxn2。

n例21 lim(n1n1n21n21211nn2)

1nn2解： 易见：nn2n12n22nn12

因为 limnnnn21，limnnn11221

1nn2所以由准则2得：lim(n1n12n2)1 。

上面对求第一章极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用洛必达、定积分求极限等，后面再作介绍。

第二篇：高数极限

极限分为 一般极限 (发散的)， 还有个数列极限(前者的一种)， 解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2洛必达 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X趋近 而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)必须是 函数的导数要存在!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!)必须是 0比0 无穷大比无穷大!;当然还要注意分母不能为0

洛必达 法则分为3种情况

(1) 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 ;(2) 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了;(3)0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0) 3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !) E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 (对题目简化有很好帮助)

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则 最大项除分子分母! 5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。(面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!)

6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限)

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式(地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!

x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质对付递推数列时候使用 证明单调性!

16直接使用求导数的定义来求极限 ，一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

第三篇：高数极限求法总结

首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致

1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， (区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种)

2解决极限的方法如下：(我能列出来的全部列出来了!!!!!你还能有补充么???) 1 等价无穷小的转化， (只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等价于Ax 等等 。 全部熟记

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)

2落笔他 法则 (大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法)

首先他的使用有严格的使用前提!!!!!!

必须是 X趋近 而不是N趋近!!!!!!!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 (还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷!)

必须是 函数的导数要存在!!!!!!!!(假如告诉你g(x), 没告诉你是否可导， 直接用无疑于找死!!)

必须是 0比0 无穷大比无穷大!!!!!!!!!

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况

1 0比0 无穷比无穷 时候 直接用

2 0乘以无穷 无穷减去无穷 ( 应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于(指数幂数)方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ， ( 这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0)

3泰勒公式 (含有e的x次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意 !!!!)

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母!!!!!!!!!!! 看上去复杂处理很简单 !!!!!!!!!!

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了!!!

6夹逼定理(主要对付的是数列极限!)

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用(对付数列极限) (q绝对值符号要小于1)

8各项的拆分相加 (来消掉中间的大多数) (对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式(对付数列极限) 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 !!!!!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 。 地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式 (地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式 )(当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限)

11 还有个方法 ，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的!!!!!!!!!!!!!!!

x的x次方 快于 x! 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 (画图也能看出速率的快慢) !!!!!! 当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是从0到1的形式 。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性!!!!!!

16直接使用求导数的定义来求极限 ，

(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x加减麽个值)加减f(x)的形式， 看见了有特别注意)

(当题目中告诉你F(0)=0时候 f(0)导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义!!!!)

(从网上发现，谢谢总结者)

第四篇：高数极限习题及答案

练习题

1. 极限

(1)lim1xx3x32x(2)limx5x6x8x15x1x222x3(3)limx1x12x1(4)limx

x10limaxbxx1(5) 已知, 求常数a, b. xsin(6) 2limx0x1xlimxx21sinx

(7)

12x2

(8) limxx012x

(9)

limln(13x)sinx

x0(10) xlimxe1x

12. 函数的连续性

(1) 确定b的值, 使函数

2xbyf(x)x1e在x=0点连续. (2) 确定a, b的值, 使函数

x0x0

yf(x)lim在整个实数轴上连续.

x2n1axx2n2bx

n1(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. ① f(x)sixnx x211f(x)x21②

01x0x0

3. 连续函数的性质 (1) 设f(x)x(2) 若

nxn1x1, 证明：

f(x)A, f(x)有一个不大于1的正根. f(x)C(,),

且limx证明:

f(x)在(,)内有界. 提高 1ºf(x)在(,)内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A间的任意值C, 存在1,2, 使得

f(1)f(2)C. 2. 函数的连续性

(1) 确定b的值, 使函数

2xbyf(x)x1ex0x0 在x=0点连续. 解:f(0)limf(x)blimf(x)ex01x0

(2) 确定a, b的值, 使函数

yf(x)lim在整个实数轴上连续. 1x1x2axbxx1解:yf(x)1abx121abx12f(1)x2n1axx2n2bx

n1

1ablimf(x)1limf(x)ab x1x121ablimf(x)1lim_f(x)ab x1x12b1f(1)a0,

(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型. ① f(x)sixnx

解: x=0为可去间断点. x211f(x)x21②

0x01x0x0

解:limf(x)1limf(x)1, x=0为跳跃间断点.x0

3. 连续函数的性质 (1) 设f(x)x解: 若n=1, 则显然有解x=1. 若n>1, 则f(0)10,nxn1x1, 证明：

证明: f(x)有一个不大于1的正根. f(1)n10, 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若f(x)C(,), 且limxf(x)A, f(x)在(,)内有界. 解: 由limf(x)A可知: X0, 当xX时, f(x)A1, 故f(x)A1

x由f(x)C(,)可知f(x)C[X1,X1], 故M10,当xX1时, f(x)M1 取Mmax{M1,A1}即可. 提高 1ºf(x)在(,)内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A间的任意值C, 存在1,2, 使得

f(1)f(2)C. 证明: 若f(x)A, 则显然结论成立. 设存在f(x0)A, 则存在X>0, 当

f(x0)A2xX时, 有

f(x)A

于是:

f(x)f(x0)A2f(x0)由f(x)C[X,X], 可知存在[X,X]

f()maxf(x):x[X,X]f().

f(x0)

从而f(x)在(,)内有最大值对于任意的C, xX1时,

ACf(), 存在X1>0, 当

C有

f(x)CA2C于是有

f(X1)1CA2. 分别在闭区间[X结论2º.

,],[,X1]上使用介值定理即可得

第五篇：高数复习方案(函数和极限)

计算机科学与技术09级学生工作委员会—学习部

函数与极限

1. 集合：具有某种特性定性质的事物的总体成为集合

组成集合的事物叫做元素设元素为a集合为M那么aM

交集，子集，属于，不属于 包含于，并集，

空集

2. 设X，y是两个变量，D是数集，按照一定的对应关系，总有唯一的y和x相对应，则说

y是x的函数，记做y=f(x)，y是因变量，x是自变量。(简单一点说：x在一个对应法则的机器搅和搅和就出来一个y)

F(D)为值域xD是定义域

函数的三要素：定义域 值域 对应法则

注意： 强烈建议只要写函数就写定义域

eg：求下列函数的自然定义域

(1)yarcsin(2)ytan

(3)y(x3)(x+1)

3. 函数的特性

(1) 单调性：增函数和 减函数

如果对于arctan1 xI 上任意两点x1及x2 ，当

x1x2时，恒有f(x1)f(x2)成立，则称在I上f(x)是增函数，反之则是减函数注意：增减性在解间断点时候有重要性 (下文解释)

eg：设f(x)为定义在(-a，a)内的奇函数，若f(x)在(o，a)上单点增加，证明f(x)在(-a，0)上也单点增加

(2)有界性： xD, M0,f( x)M,则称f(x)为有界函数

f(x)M, xD, M0,则函数在D上面有界

注意：上界大于等上界下界小于等于最小值千万不要搞错了

(3) 奇偶性：奇函数特性

注意：奇偶性的定义与一定是对称的不对称就没有这个性质而言

(4) 周期性：正弦余弦就是明显的特点f(x+T)=f(x)

注意：如果一个函数关于两个直线对称，那么两个直线之间的距离是函

数周期大小的一半。

4. 反函数和复合函数：反函数的定义域和值域和原函数相反但是奇和

偶函数的反函数奇偶性质不变 。 复合函数的定于与要明确，增减为减增增 减减为增

5. 数列的极限：如果给定的数列{}，当变量n趋近于无穷大时，数列

趋近于一个常数a，则称a是数列的极限当然如果a不存在，说明这个函数是发散的注意：课本P34 例题5 有证明函数极限，这个很重要

Eg

：证明：当x00时，limxx06. 极限的性质：(1)唯一性，如果这个a存在，那么一定是唯一的假设不存在，那么不就和定义说函数是发散的吗

(2)有界性：若limf(x)a存在，则函数f(x)有界x

(3)保号性：若limxna(a0或a0)，则N，当nN时，xn(00)，n

反之，若xn(00)，则limxn(00)n

7.

n数列的存在准则：(1)夹逼准则(2)单调有界函数必有界 eg：证明limn(

8.

(1) (2) 111.......)=1n2n22n2n我主要讲讲极限的一些重要求的方法： 1xsinx)eli(有兴趣可以证明)1 xx0xx7个重要的等价无穷小且都x0 (1两个重要极限lim

(1x1(1)1

n1x(2)tanxx(3)arctanxx n

1-cosx(4)arcsinxx(5)

(3)

(4) 12(1x)x x(6)ex1x(7)ln2两个准则：夹逼 还有单调有界

(5)

(6)

(7)

(8)

(9) 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小常数与无穷小的乘积仍是无穷小利用极限的四则运算和指数预算 利用泰勒公式 洛比达法则 利用导数极限求极限 函数的性质求因为数列是特殊的函数

注意：这里就有一些小方法了，有换元等价代换拆项求和三角的和差化积 数列求和的公式…

(10) 间断点和连续性

间断点：除去不成立的点，一般都是间断点

连续性：区间上每一点都连续的函数，就是在该区间连续，一定是不间断的

注意：可导的函数一定连续连续的函数不一定可导

闭区间上连续函数一定有界

第一类间断点：可去和跳跃间断点

eg：yx(x1) 且x=1 y=0.5可去间断点

第二类间断点：无穷间断点和震荡间断点

y=tanxx=1为无穷间断点y=sinx=0为振荡间断点 2x

(11) 渐近线：当变量无穷大时利用函数求极限一般都有a值 (水平渐近线)

还有一些点怎么看这些点呢，一般都是间断点的地方有渐近 (铅直渐近线)0这点很重要

还有一个斜渐近线说明图像到达一个点变化的斜率很小这样的话 一般是图像上面有部分是直线

eg求e的渐近线



xo1xcos)x课后练习求下列极限(1

)limx(2)lim(sinx2x1x

3x)(3)lim(1x02sin(x)

(4

)x0(5

) x03x4x1

)x(6)lim(x02