用极限定义证明

2024-04-15

用极限定义证明（共14篇）

篇1：用极限定义证明

例

1、用数列极限定义证明：limn20 nn27

n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn

2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2

n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n[]，故取N=max{7, 2

44[]}。这样当n>N时，有n>7，n[]。因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1

|不等式（4）能成立，因此当n>N时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。n27n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．

2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n40 nn2n

1n4n4n4时nn2n2(1)|20|22 nn1nn1nn1n2n

22不等号（1）成立的条件是n[],故取N=max{4, []},则当n>N时，上面的不等式都成例

2、用数列极限定义证明：lim

立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2n1n

2n2n1n

nnn22

n(n1)2n

1(1)n

例

3、已知an，证明数列an的极限是零。2(n1)

(1)n1(1)1(2)

证明：0(设01)，欲使|an0|||成立 22(n1)(n1)n1

11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n1

1数n都是成立的，因此取N[1]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式

和不等式均成立，所以当n>N时，|an0|。

在上面的证明中，设定01，而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？

在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N[1]就有1



可能不是正整数，例如若＝2，则此时N＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定01，这样就能保证N是正整数了。

那么对于大于1的，是否能找到对应的N？能找到。按照上面已经证明的结论，当＝0.5时，有对应的N1，当n>N1时，|an0|＜0.5成立。因此，当n＞N1时，对于任意的大于1的，下列式子成立：

|an0|＜0.5＜1＜，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N，则对于较大的．．．

就自然能找到对应的N。

篇2：用极限定义证明

用定义证明函数极限方法总结:

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节xa

不同。

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xah()，从而得h()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xah()，从而得

h()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定0xa1，得f(x)cxa，解xa，得：xah()，取min1,h()。

用定义来证明函数极限式limf(x)c，方法： x

方法1：从不等式f(x)c中直接解出(或找出其充分条件)xh()，从而得Ah()。

方法2：将f(x)c放大成xa，解xa，得xh()，从而得

Ah()。

部分放大法：当f(x)c不易放大时，限定xA1，得f(x)cxa，解xa，得：xh()，取AmaxA1,h()。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：lim(2x3)7。x2

证明：0，要使：

(2x3)72x2，只要 2x2，即0x2

取2，

2，即可。

x212。例2 证明：lim2x12xx13

x1x212x12分析：因为，放大时，只有限制22xx132x1332x1

0x1，即0x2，才容易放大。

证明：0，限制0x1，即0x2，要使；

x1x1x1x1x212x12

，只要

32x2x132x1332x132x13

即0x3，取min(1,3)，即可。

例3

证明：（a1）。

xa

证明：0，限制0xa

1a1a

1，要使：，所以x

22





，只要

1a,，即可。，取min，即0xa

22



x3,x1

例4 设f(x)，证明:limf(x)1。

x1

2,x1

证明：当x1时，f(x)1x1x1xx1

限制0x1，则xx112，xx17。0，要使：

f(x)1x1x2x17x1，只要7x，即x1



7，取



min，当0x1时，有：

7

f(x)，limf(x)1

x1

说明：这里限制自变量x的变化范围0x1，必须按自变量x的变化趋势来设计，xa时，只能限制x在a点的某邻域内，不能随便限制！

错解：设x1，则xx13，要使：

f(x)1x1x2x13x1，只要0x1

，取min1,，3

当0x1时，有：f(x)1。limf(x)1。

x1

例5 证明:lim

1。

x12x1

2x11

证明：考察，2x12x1112x1 1

2x12x1

限制0x1

111，则2x112x11。0，要使： 422

2x1

4x1，只要4x，即x1，42x12x1

1

44

1，2x1

取min,，当0x时，有：lim

x1

1。

2x1

1，则4

说明：在以上放大f(x)A（即缩小2x1）的过程中，先限制0x1得：2x1

11。其实任取一个小于的正数1，先限制0x11，则22

0x1或0x1，则不2x1x1112m（如果是限制0

例6 证明:lim

能达到以上目的）。

2。

x24x7

证明：考察

7x271x，仅在x的邻域内无界，所以，限制2

44x74x74x7

171

0x2（此邻域不包含x点），则4x74x2114x2。

842

0，要使：

7x27x2x

只要14x2，即x2，214x2，144x74x714x2

取min,x1，当时，有：2，0x2

4x7814

2。

x24x7

x0

lim

例7 用定义证明极限式：lima1，（a1）

证明：0（不妨1），要使：

ax11ax1loga1xloga1（由对数函数

。于是，取minloga1, loga10，f(x)logax是单调增函数）

当0x0时，有：a1。故lima1。证毕

x0

例8 设f(x)0，limf(x)

A，证明：lim

xx0



n2为正整数。

证明：（用定义证明）因为，f(x)0，由极限保不等式性知，A0；当A0时，0，由limf(x)A，知：0，当0xx0时，有：f(x)A



xx0





f(x)A

n1





n2

n2



n1



f(x)A

n1





n1，故：lim

xx0



im(f)x0当A0时：0，由l

xx，知：

0，当0xx0时，有：

f(x)

 0lim

xx0

篇3：用极限定义证明

其实,对于几类黎曼积分的定义,均是以无穷和式的极限方式给出.既然如此,一些相关的无穷和式可以考虑用黎曼积分的定义求解.

1.几何形体上黎曼积分的统一的定义

定义1[6]设Ω为一几何形体(它或者是直线,或者是曲线段,或者是一块平面图形、一块曲面、一块空间区域等),这个几何形体是可以度量的(也就是说它是可以求长的,或者是可以求面积的,可以求体积的,等等),在这个几何形体Ω上定义了一个函数f(M),M∈Ω.将此几何形体Ω分为若干个可以度量的小块△Ω1,△Ω…△Ωn,既然每一小块都可以度量 ,故它们皆有度量大小可言,把它们的度量大小仍记为△Ωi,(i=1,2n).并令n{△Ωi的直径},在每一块△Ωi中任意取一点Mi,作下列和式(也称黎曼和数,或积分和数):,如果这个和式不论对于Ω的怎样分划及Mi在△Ωi上如何取法,只要当d→0时恒有同一极限I,则称此极限为f(M)在几何形体Ω上的黎曼积分,记为,也就是)△Ωi. 这个极限是与分法及Mi取法无关的.

根据黎曼积分的定义, 显然我们可以构造出各类利用黎曼积分的定义求无穷和式的极限的问题. 下面我们将一一作叙述.

2.利用定积分的定义求极限

定义2(6)(定积分 )若函数f(x)在闭区间 [a,b]上有定义且,它被称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.

利用定积分的定义可以构造出一些无穷和式的极限问题. 在一般的数学分析教材和一些高等数学教材及一些辅导书上,这样的例子很多,它们常常将区间[a,b]等分,ξi取左端点xi-1或者右端点xi,其他类型的习题鲜见 ,这可能会让学生在众多练习中对定积分定义产生误会.下面举例说明.

例1:计算下列极限

解:考察函数在[0,1]上的定积分,将[0,1]分成n等分,第i段区间为.我们取,则所求的极限式恰好是

3.利用二重积分的定义求极限

定义3[6] (二重积分)如果几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ,函数为f(M)=f(x,y),我们把图形σ划分成可求面积的n个小块,设{△σi的直径},在△σi任意取一点Mi(ξi,ηi),作和式)△σi极限式存在,我们称之为f(x,y)在σ上的二重积分,记为

类似于定积分的定义, 构造一个实例说明可利用其定义解一类无穷和式问题.

例2.计算下列极限

解:考察函数在[0,1;0,1]上的二重积分,将[0,1;0,1]分成nm份 ,在矩形区间m→∞n→∞}中.我们取

则所求的极限式恰好是

当然,上式中我们对于二重积分的极限形式可以有多种形式出现.如:任意给出一个

4.利用三重积分的定义求极限

定义4[6](三重积分)如果几何形体Ω是一块可求体积的空间几何体V,密度函数为f(M)=f(x,y,z),把这块体积划分成n块小体积△V1,△V2,…△Vn,并在每一块小体积上任取一点Mi(ξi,ηi,ζi),那么每一个小体积△Vi的质量近视地等于f(ξi,ηi,ζi)△Vi(i=1,2,…,n),三重积分即

利用三重积分定义求无穷和式的数列极限, 同样关键在于根据所给积和式正确确定被函数和积分限(积分区间).

例3.计算下列极限

解:类似于二重积分,我们利用三重积分的定义式可以得到

类似地, 我们可以通过利用多重积分的定义构造一些无穷和式,如:

当然,对于第一类曲线积分和第一类曲面积分而言,其定义也是由极限的方式给出, 因此也可以构造出一些相关的无穷和式的习题,这里不再一一叙述.我们撰写本文的目的仅仅在于唤起广大理工科大学生学习积分的兴趣, 并在学习数学知识时能够融会贯通、举一反三,同时供同行参考.

摘要：利用定积分的定义求极限是现行数学分析教材和高等数学教材上无穷和式的极限的计算的一种重要方法,不少参考文献也着力总结和归纳该方法.但是,几乎没有文献研究除定积分外的其他黎曼积分对应的无穷和式的极限问题.本文着力于从黎曼积分的定义出发,构造相关的无穷和式极限问题.

篇4：重新定义残缺的极限

高中时，她是学校里的垒球运动员、滑雪小能手；大学时，她参加了残疾人田径比赛，首次参赛就打破了国家纪录。1996年，她参加了美國亚特兰大残奥会，她穿着仿照猎豹的后腿制成的碳纤维假肢，创下了两项世界纪录，这之后，她来到乔治大学攻读外交专业。节假日的时候，就在五角大楼实习当情报分析员，249人的部门里，她是唯一一个女性。但没多久，她又为自己的人生选择了新的方向——靠腿吃饭的模特。

从小到大，父母给她配备了整整一打的假肢，假肢对她来说跟化妆品差不多，每天出门之前，她都会挑选出最搭的一双。假肢赋予她超能力——速度、美丽和额外6英寸的身高，它们让她重新定义了身体的极限。

1999年，亚历山大·麦昆时装秀上，她的表现赢得了全场掌声。走完秀回到后台，其他模特好奇地说：“高跟鞋这么难穿，台步还走得这么好。”她掀起裙子，给她们看那双手工雕刻的木制假肢。没有脸红，没有自卑。她叫艾米·穆林斯，一个可以改变自己身高的大美女。她从一个用“残疾”来形容的人，变成了一个拥有潜能的人，甚至可能有“超能力的人”。

极品咖啡摘自《润》

（心的选择，就是人生最正确的方向。本文适用于人生态度方面的作文。）

篇5：函数极限的定义证明

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明因为

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

lim(x)lim(x),

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

篇6：极限操作定义

妙E秒羊秒吹秒C的极限操作的可能性分析：以张飞为例子，若阴影地飞出来的张飞的T妙吹妙羊的可能性几乎为零。飞飞到你面前完成T的时间只需要0.1秒钟(鸟房张飞的飞at除外)当张飞飞到你面前，你才开始反应然后左手手按到风或者羊的技能键，右手操作鼠标点到张飞身上，完成整个过程需要受过反应训练的人也至少需要0.25妙的时间。那么极限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戏中经常出现的这个极限操作的假象是怎么做到的呢？关键原因就是距离。张飞的飞和各种限制技能都是有距离的限制，当CR 或者41保持与张飞飞T的极限距离外，不停按技能又不停的S那么这个时期张飞飞过来刚好在自己使用技能的距离内，那么妙限制飞的假象出现了。但是这绝不是极限操作，而是有意识的反复操作达到的效果。郭嘉的极限C张飞的情况就有两种，一种是郭嘉释放C技能的时候张飞自己刚好飞到C的方向上，T还没放出来就被C住，这种情况发生在上路郭嘉妙关的时候特别常见，这个纯属运气，与极限操作扯不上半点关系。还有一种情况与上所诉妙E妙吹情况类似，但是这个距离就比妙E妙吹时候需要的距离精确的多，当飞在郭嘉点人C的极限距离外起飞，那么绝对被秒C，一旦张飞进入这个极限距离内那么张飞没有飞起来之前被C或者张飞飞起来躲掉了郭嘉C.第二种情况极其少见，因为成功率取决于飞的位置和郭嘉的想法，大多数郭嘉不会为了妙C张飞而去冒险释放这个团战终极技能，张飞飞到郭嘉面前再C这个是极限操作但是需要的时间如果地板C需要0.15妙点人C也需要0.25妙，理论上也是不可以的。

那么哪些操作的的确确是极限操作了？玄武躲技能，飞躲飞T，妙T这绝对是极限操作，玄武躲技能这个操作一般选手都有这个意识而且成功率不说百分百，也有百分之八十。因为这些个躲限制技能的技能是没有距离限制(飞躲飞T除外)，只能在对方释放技能前使用自身技能或者道具才能出现极限“妙X”的画面。这些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能键上，当出现非瞬发限制技能(极需要释放时间的技能点飞T41 E 郭嘉C)这些技能的释放时间大于或者等于0.1妙，而一般人开启玄武的反应时间小于0.1S，所以我们经常看见玄武躲技能的操作，因为常见，很多人认为玄武躲技能不算极限操作，但是却是理论上的极限操作。但是玄武是无法躲瞬发限制技能，这个问题我在以前的问题中讨论过的，瞬发限制技能入风吹羊变和CR的E 只要这些技能释放出去，对手就必须受的。而飞鞋躲飞T这个和玄武躲技能的道理一样，但比玄武躲飞T多一些预判断时间，所以玄武躲技能可以在没有视野的情况完成。但是飞躲阴影飞T却很难，因为自己起飞躲飞T的反应时间大于0.1S..妙T更难，完全是自己判断+运气这个不多复述了。

篇7：数列极限的定义

教材：数列极限的定义（N）

目的：要求学生掌握数列极限的N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限。过程：

一、复习：数列极限的感性概念

二、数列极限的N定义



3．小结：对于预先给定的任意小正数，都存在一个正整数N，使得只要nN 就

有an0<

4．抽象出定义：设an是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任

意小的正数，总存在正整数N，使得只要正整数nN，就有ana<，那么就说数列an以a为极限（或a是数列an的极限）

Xupeisen110高中数学

记为：limana 读法：“”趋向于“n” n无限增大时

n

注意：①关于：不是常量，是任意给定的小正数

②由于的任意性，才体现了极限的本质

③关于N：N是相对的，是相对于确定的，我们只要证明其存在④ana：形象地说是“距离”，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于

例四1．lim

n

证明

证明2：设是任意给定的小正数

要使3n13 只要

2n1

12n1





n

54



取N51当nN时，3n13恒成立

篇8：用论证法来证明数列极限的研究

首先, 针对学生高中所接触的极限的通俗定义来切入。即当n无限增大时, xn趋向于A。这种通俗的定义方法只能定性而不能定量来描述数列的极限过程, 如何把这两句话转化为ε-N精确定义是关键, 也就是说如何刻画“无限增大”和“无限趋向”这两种定性语言。首先看“xn趋向于A”这句话, 也就是说xn和A很接近, 那么我们任意的给定一个很小的正数ε, 都有|xn-A|比我们给定的ε还要小, 这里用到了ε的任意性;再看“当n无限增大时”这句话, 并不是n从第一项或者第二项就满足|xn-A|<ε的, 也就是说不是一开始就能保证数列{xn}逼近A, 而是找到一项N, 从第N项之后的那些xn满足|xn-A|<ε, 所以这里的N是存在性, 只要能说明N存在即可。注意到N的选取是受到ε的制约的, ε越小, 则N越大, 从而把极限的通俗定义转化为定量的精确定义。

下面将数列极限的定义叙述出来:当n>N时, 有|xn-A|<ε。由上面定义可以看出证明极限存在的步骤: (1) 从|xn-A|<ε中反解出n成立的条件; (2) 取出N。所以如何寻找N是证明的一个重点。在多数证明极限存在的题中, |xnA|<ε并不是直接可以解出来的, 将|xn-A|<ε适当放大到合适的g (n) , 通过g (n) <ε寻找N, 这样放缩后解题更为简单。下面用例子来说明如何放缩成最为合适的g (n) 。

在上述证明过程中, 不等式放大的地方需要注意以下问题。

其次, 在极限定义式中, ε是任意的, 可以任意大也可以任意小, 但是, 定义中我们主要强调的ε是的任意小性。因此通常限定0<ε<1, 但不能限定ε>1。

总之, 对于数列极限, 特别是用ε-N定义来证明时, 在证明过程中用到缩放时, 要层层剖析, 由浅入深, 注意放缩的技巧, 把握ε-N定义证明的内涵。

参考文献

[1]罗守山.高等数学[M].国家行政学院出版社, 2008.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

篇9：巧用定积分定义求极限

关键词：定积分和式极限夹逼法

中图分类号:G642.3文献标识码:A 文章编号: 1673-1875(2009)03-139-01

定积分的定义是一个和式极限:其中:ξi是将区间[a,b]分成若干个小区间后,第i个小区间[xi-1,xi]上的点,而△xi是这个小区间的长度,

表示最大的小区间的长度。由ξi的任意性可以用n等分的方法分割区间[a,b],这时有,。

假如函数f(x)的积分区间是[0,1]时,显然，

若我们在求和式极限时,发现其形式上象定积分定义式,就可以考虑把它转化为定积分来求解。

例1:求

若积分区间为某一区间[a,b]，同样可用上述方法求其极限。

例3：将区间[a,b](a>0)分成n等分,设分点为

求

解:设 ,两边取对数，有

因为

所以

有些极限本身不是求和式极限,直接求解较困难,若先把它转化为和式极限,再用上述方法求解较容易。

例4：求

解：令

因为

所以

因此

从而得

所以

通过以上各例可以看出利用定积分定义来求某些和式极限时可以使问题得到简化。

参考文献:

[1]杨则燊,邱忠文.高等数学解题方法[M].天津大学出版社，1997

[2]冯翠莲,刘书田.微积分学习辅导与解题方法[M].高等教育出版社，2003

[3]刘光祖,卢恩双.大学数学辅导与考研指导[M].科学出版社出版，2002

篇10：关于数列极限的两个定义

定义1．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0N，对任意正整

数nN，有 ana，则称数列an的极限是 a。

定义2．设有数列an，a 是有限常数。若对任意0，对任意正整数

nN，有 ana，则称数列an的极限是 a

定义1 是课本第46面的原文，定义2 是我讲课时用的。这两个定义的区别只在对N的要求：定义1 要求N是正整数，而定义2只要求N是实数，这是很低的要求，故定义2比定义1较便于应用。

由于两个定义对N的要求不同，易使人误认为两个定义界定的对象不一样，即：两个定义不等价。实际上，这两个定义完全是等价的！为说明这两个定义的等价性，我们需要两个显然的命题：

命题1．对于任意实数r均存在正整数n，使得nr。

命题2．对于任意实数r，若正整数n，成立nr，则对于每一个正整数m均有nmr。要证明定义1与定义2等价，我们只需证明这两个定义界定的极限一样即可。证明：设有数列an。

（1）若有限常数a是定义1 界定的极限，由于正整数N是实数，因此，常数a也

是定义2 界定的极限。

（2）若有限常数a是定义2 界定的极限，由定义2，对任意0，存在实数N，对任意正整数nN，有 ana；对于实数N，必有正整数M使得MN（命题1）；当nM时，必有nN；故对于正整数M，当nM时必有ana。因此，常数a也是定义1 界定的极限。

说明：（2）中的正整数M即是定义1 中的N。极限证明中关键是由 nN 保证

ana，而不是N是否是正整数。

篇11：§1-1 函数极限暂时的定义

近代微积分是建立在近代极限理论的基础上，可是近代极限理论对于刚步入大学的一年级大学生来说，是很难接受的。为了减少初学者学习微积分的难点，我们有意避开了近代极限理论，而用“无限接近”的说法，暂时定义了函数的极限。关于极限概念的这种“无限接近”说法，最早出现在法国数学家达朗贝尔(DAlembert，J.L.，1717-1783)的著作中。它的优点是直观明白，而缺点是简单粗糙，甚至连有关函数极限的简单结论，也无法用它来证明。幸好，这一章中那些应当用近代极限理论证明的结论也都是如此明白，读者凭借直觉也会相信它们都是正确的。关于极限概念的精确化，以及极限基本性质和连续函数主要性质的证明，那是微积分产生和发展了一百多年以后才逐步完成的。我们将在本书第二篇中讲述它。

§1-1函数极限暂时的定义

1.函数在某点的极限一个变量y能够无限制地接近某一个常量(数)C，就说“C是变量y的极限”。那么，“变量y能够无限制地接近C”是什么意思呢？它的的意思是说，“预先给出任何正数，不管它多么小，变量y在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值yC小于或不超过那个正数，即yC”。对于作为变量的函数yf(x)来说，设函数yf(x)在点c的近旁有定义。当自变量x无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C，简记成limf(x)C 或 f(x)C(xc)xc

则称“常数C为函数f(x)在点c的极限”(图1-1)。

类似地，设函数yf(x)在点c的左旁有定义。当自变量x从点c左边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数A(图1-2)，简记成limf(x)A xc

则称“常数A为函数f(x)在点c的左极限”。同理，设函数yf(x)在点c的右旁有定义。当自变量x从点c右边无限制地接近c且又不等于c时，若函数值f(x)能够无限制地接近常数B(图1-2)，简记成xclimf(x)B

则称“常数B为函数f(x)在点c的右极限”。

§1-1函数极限暂时的定义

3函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。从图1-1和图1-2上看出，若函数f(x)在点c的两边近旁都有定义，则

limf(x)C的充分必要条件是limf(x)limf(x)C

xc

xcxc

例1证明：lim

sinx



1x0x

证如图1-3中的单位圆，当0x时，则有

sinxxtanx(见下注)

由此得

cosx

从而有

sinx

1 x

图1-3

xxsinx1

011cosx2sin22x20(x0)

2x22



可见，当x0时，函数值

sinxsinx

1；而左极限为无限制地接近1，即得右极限lim

x0xx

sinxsin(x)sinx

limlim1 x0x0xxx

x0

lim

(sinx是奇函数)(用x替换x)

因此有 lim

sinx

。1（因为左右极限相等）

x0x

和EBED是因为点到直线的距离垂线最短；CBCEEB是因为右端是左端弧【注】ABCB

CEEBCEEDCD，即sinxxtanx。长的过剩近似值。因此，ABCB

【问与答】

问：圆弧长度是怎么定义的？

答：首先说一下实数基本性质之一，即“实数连续性质”。在§0-2中，我们曾形象地把它说成“实数能够一个挨一个地填满整个数轴，而不会留下一个空隙”，而在近代数学中是把它说成“有上界的（非空）实数集合必有最小上界”，或者“有下界的（非空）实数集合必有最大下界”（出现在§5-3中）。因为圆弧所有可能外切折线长度组成的集合有下界,所以它有最大下界。我们就把这个最大下界定义为圆弧的长度。

2.函数的连续点和间断点特别，若函数f(x)在含点c的某个区间内有定义，且满足条件limf(x)f(c)，则称点c为函数f(x)的连续点图1-4)；并称函数f(x)在点c是连续xc的。y

图1-

5令xxc(称为自变量x的增量)，其中是大写希腊字母delta（读作“得儿塔”），而把yf(cx)f(c)（图1-5）称为函数yf(x)在点c(相应于x)的增量。因此，limf(x)f(c)limf(cx)f(c)limy0

xc

x0

这就是说，函数yf(x)在点c连续，说明自变量变化很小时，函数值的变化也很小。它表示自然界中变量连续变化的特征(不是跳跃式变化)。“连续”一词当初就来源于此。请读者特别注意，limf(x)C与limf(x)f(c)的明显区别是：前者不考虑函数f(x)

xc

在点c是否定义有函数值f(c)；后者中函数f(x)不仅在点c定义有函数值f(c)，而且必须满足条件limf(x)f(c)。在函数极限limf(x)C的定义中，规定xc(xc)是想让极

xc

限概念的“外延”（逻辑学中的术语）更加宽广，而有limf(x)f(c)仅是一种特殊情形。

xc

若函数f(x)在点c不能满足条件limf(x)f(c)，则称点c间断点。函数

xc的间断点可能是下面的情形之一：

可除间断点称点c为函数f(x)的可除间断点，若有极限limf(x)，且或者函数f(x)

xc

在点c没有定义函数值[但在点c近旁定义有函数值f(x)]，例如函数

sinx

有可除间断点0(图1-6)

yx或者函数f(x)在点c定义有函数值f(c)但limf(x)f(c)，例如函数

xc

x2,x2f(x)

1,x2

x2(x2)

x

2图1-6

有可除间断点2(图1-7)，因为limf(x)limx24f(2)1。

2图1-7

第一类间断点称点c为函数f(x)的第一类间断点，若在点c同时有左极限和右极限,f(x)limf(x)，例如符号函数sgnx(图1-8)，因为但是lim

xc

x0

limsgnx1limsgnx1

x0

所以点0是符号函数sgnx的第一类间断点。

§1-1函数极限暂时的定义

【注】有的教科书中把可除间断点也称为第一类间断点。

第二类间断点函数的其他间断点(即既不是可除间断点，又不是第一类间断点)，都称为第二类间断点。例如，图1-9和图1-10中点0都是第二类间断点(前者为无穷间断点，后者为摆动间断点)。函数在第二类间断点c处，f(x)和右极限limf(x)左极限lim

xc

中，至少有一个不存在。

图1-10

图1-9

研究函数的间断点及其分类，目的是研究当函数有间断点时，它对函数的某些性质(譬如函数的可积性等)会造成多大的影响。

3.函数在无穷远的极限设函数yf(x)对于绝对值足够大的x有定义。当自变量x按绝对值无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数C(图1-11)，简记成limf(x)C 或 f(x)C(x)

x

则称常数C为函数f(x)在无穷远处的极限或当x时的极限。

例如，极限lim

sinxsinx

0(见图1-6)。请你把它与极限lim1区别开来。

xxx0x

类似地，设函数yf(x)对于足够大的x有定义。当自变量x无限制地变大时，若函数值f(x)能够无限制地接近一个常数A(图1-12)，简记成limf(x)A

x

则称常数A为函数f(x)当x时的极限。同理(图1-13)，我们可以定义记号

limf(x)B

x

并称常数B为函数f(x)当x时的极限。

x

极限limf(x)A和limf(x)B也称为单侧极限，并且也有结论：

x

有极限limf(x)C

x

 limf(x)limf(x)C

(充分必要)

xx

请读者注意，其中的“x”、“x”、“x”都是记号，依次读作“x趋．．．．．向无穷大”、“x趋向正无穷大”、“x趋向负无穷大”。再请读者注意，它们只有同函数的变化联系在一起时才有意义，而单独谈论它们是没有意义的！

例2函数

1

y1(x1或x0)x

1

属于幂指函数(图1-14)。当x或x时，函数y1的极限都是e，即

x1

lim1e(其中e是无理数，近似等于2.71828)。证明它属于高等微积分，你暂且记xx

住它就可以了。

图1-14

1

把数列极限看作函数极限的特殊情形时, 则也有lim1e。实际上，在近代极

nn11

限论中，先是证明数列极限lim1e，而后又证明了函数极限lim1e【证

xnxn

明在本书第二篇（§5-5）中】。

§1-1函数极限暂时的定义 7

1

根据极限lim1e，则有

xx

lim1x

x0

1

z1xx

1

lim1e zz

【问与答】

问：函数（或数列）在什么情形下才有极限？

篇12：考研数学知识点：极限的定义

(1)数列的极限(ε-N语言)

(自然数)，使得当n>N时，|xn-A|<ε

极限存在时称为数列是收敛的.，极限不存在时称数列是发散的.

(2)函数的极限

・当x→∞时函数的(双侧)极限(ε-N语言)

，使得当|x|>X时，|f(x)-A|<ε.

・当x→x0时函数的(双侧)极限(ε-δ语言)

，使得当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε.

(3)函数的单侧极限

x→+∞(x→-∞)时函数的极限

，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε.

，使得当x>-X时，|f(x)-A|<ε.

・当时函数的极限

，使得当时，.

篇13：利用导数定义求极限

实际上利用导数定义求极限同利用洛必达法则求极限一样重要, 它们是完全等价的, 然而人们往往忽视了它, 本文比较了这两种方法并讨论了如何利用导数定义求极限

2. 利用导数定义求极限和利用洛必达法则求极限的比较

在一般的教材中, 洛必达法则的证明都是运用拉格朗日中值定理来完成的, 实际上洛必达法则的证明也可直接利用导数定义来证明, 为此我们先给出两个引理.

引理1 (达布定理) 若函数f (x) 在区间[a, b]上有有穷导数, 则f′ (x) 必至少有一次取得介于f′ (a) 与f′ (b) 之间的每一个值.

引理2假定函数f (x) 在区间[a, a+δ] (δ>0) 内是连续的, 并且当x>a时有有穷导数f′ (x) , 若存在着有穷或无穷极限=K, 则在点a处f (x) 的右导数也等于K.b

洛必达法则 (型)

若 (1) 函数f (x) 和g (x) 在 (a, a+δ) 上有定义, 且

(包括A=∞的情形) ;

显然F (x) , G (x) 在[a, a+δ]上连续, 在 (a, a+δ) 内可导且G′ (x) ≠0, 由引理1知G′ (x) 在 (a, a+δ) 内恒大于0或恒小于0, 即G (x) 为 (a, a+δ) 上的严格单调函数, 因此G (x) 在 (a, a+δ) 上存在反函数x=G-1 (y) , 且在区域C={y∶y=G (x) , x (a, a+δ) }内也是可导的, 并注意到y=0时, x=a, 即x→a+0时, y→0, 所以有:

上述极限即为函数F (G-1 (y) ) 在y=0处的导数值.复合函数F (G-1 (y) ) 在区域C上可导, 其导数为:

由引理2可知:

对于其他情况可类似地证明.

从上面的证明过程中可以看出利用洛必达法则求极限完全等价于利用导数定义求极限, 但应用洛必达法则求极限时更为方便和直接, 应用导数定义求极限则需要变换.

显然这样做是繁琐的, 这就是不重视导数定义求极限的直接原因.当然有时候利用导数定义求极限是简单的和迅速的, 下面我们专门来探讨这一问题.

3. 利用导数定义求极限

一般地, 能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求, 值得注意的是许多从表面看起来不能直接用导数定义但经过恒等变形后却可以直接利用导数定义来求.

令y=ax-xa, 当x→a时, y→0, 故

实际上形如的极限也可直接利用导数定义来求, 注意下列定理:

定理1 f (x) 在x=0处可导, 当x→a时, A (x) →0, B (x) →0, 且

x→aA (x) -B (x)

显然定理仍然成立.

推论1 f (x) 在x=0处可导, 且α≠β, 则下列结论成立:

解令f (x) =xx, A (x) =2x, B (x) =sin x, 显然当x→0时, A (x) →0, B (x) →0, 满足定理1条件, 故

原式=f′ (0) = (ax) ′|x=0=ln a.

令f (x) =ex, A (x) =x2ln a, B (x) =x2ln b,

显然, 当x→0时, A (x) →0, B (x) →0且

例4求

定理2 f (x) 在x=0处可导, 当x→a时A (x) →0, B (x) →0, 若存在一个a的去心邻域0<|x-a|<δ使

注意到当0<|x-a|<δ时, 有界,

推论2 f (x) 在x=0处可导, 当x→a时A (x) →0, B (x) →0且A (x) , B (x) 在a的某一去心邻域保持异号, 则

证明A (x) , B (x) 在a的某一去心邻域保持异号, 则

解f (x) =ax, A (x) =x2, B (x) =-sin2x, 显然A (x) , B (x) 在x=0的任何去心邻域异号, 故有

原式=f′ (0) = (ax) |x=0=ln a.

定理3若f (x) 在a的一个去心邻域 (a-δ, a+δ) 可导且f′ (x) 在x=a点连续, 当x→x0时A (x) →a, B (x) →a, 则

证明当x充分靠近x0时, 可以有|A (x) -a|<δ, |B (x) -a|<δ, 对函数f (x) 应用中值定理:

注意到ξx位于A (x) 及B (x) 之间, 而当x→x0时, A (x) →a, B (x) →a, 由两边夹法则ξx→0 (x→x0) , 再有f′ (x) 在x=a点连续, 得到

参考文献

[1]华中科技大学数学系编.微积分学.北京:高等教育出版社, 2002.

篇14：谈数列极限定义的教学设计

【中图分类号】O171-4

极限是高等数学最重要的概念之一，它是研究微积分学的必备工具。怎样合理有效地讲授数列极限的定义，才能让学生真正理解和掌握其思想方法，而不只是简单地理解定义和形式地掌握使用方法？重要的是如何引导学生从数列极限的描述性定义向“ ”定义的过渡和转化。下面从七个环节对数列极限定义的教学过程进行设计。

一、无穷数列本质是整标函数

无穷数列可以看作自变量只取正整数的一类特殊函数，称为整标函数，即，其中称为数列的通项或一般项。数列作为整标函数，也具有有界性和单调性。

二、从几何问题到代数问题，引出极限思想

先介绍我国魏晋时期大数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法-----割圆术。首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正八边形、内接正十边形…，从数值角度而言，当边数无限增大时，内接正多边形的面积无限接近于圆的面积。再介绍公元前四世纪，我国古代哲学家庄周著作《庄子·天下篇》所引用一句话“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，从数值角度而言每天截去一半所余的尺数为一等比数列，然后启发学生思考如何从数列的变化趋势解释“万世不竭”的本质。通过讲授分析得出结论：“当越来越大时，越来越接近0，但永远不等于0，即万世不竭。”进而提出问题：对于数列，主要研究当无限增大时，数列无限接近于哪个数？这就是所谓极限存在性问题。

三、归纳给出数列极限的描述性定义

由第二环节现归纳出数列极限的描述性定义：“如果无限增大时，数列无限接近于一个常数，则称为该数列的极限，记作或。否则，称发散。

四、将描述性定义转化为“ ”定义

一般情况下描述性定义容易理解但并不精确，因此必须将“无限增大”、“无限接近”这些定性描述用数学语言转换为定量描述。然后以数列为例来探究怎样用精确的数学语言来阐述“当无限增大时，无限接近于常数1”变化趋势。首先，“ 无限接近于常数1”就是要可以任意小，也就是可以小于预先任意给定的、无论怎样小的正数；“ 无限增大”就是要充分大，大到足以保证小于这个预先给定的、无论怎样小的正数。具体而言，就是对于任意给定的，无论怎样小，相应地总能找到一个大于或等于的正整数，即，使当时的一切都满足。

由于的任意性，上述不等式就精确地刻画了数列随无限增大（记作）而无限接近于常数1这一变化趋势。也就是说，我们用的数量关系把“当无限增大时，无限接近于常数1”的含义作了精确的描述。数列的极限概念就是来源于对数列进行这种变化趋向的研究，而运用的数量关系就能对极限概念作精确的阐述，于是就给出数列极限的“ ”定义。

五、几何解释

将“ ”定义的数学语言转化为几何语言：不管多么小，总能找到一个正整数從项开始后面的所有项都落在点的邻域内，而此邻域外最多只有有限项。通过对极限定义的几何解释，使学生利用数形结合形式进行理解和掌握。

六、“ ”定义的进一步说明

为了更好理解“ ”定义，作以下几点说明。

（1）数列的敛散性与其前有限项的大小无关，而是由后面无限多项的大小而定。

（2）具有三重性。一是任意性，它不是一个固定的常数，是用来刻画无限接近于常数的程度；二是固定性，一旦给定就固定下来，以便去寻找与之有关的自然数。三是表达式的多样性，定义中若取、、也可。

（3）的相应性。依赖于，但并不唯一，因此也不是的函数。事实上，未必一定是正整数，若取正数显然也成立。当给定后，才能找到与之有关的，当满足时，才有，一般情况下寻找到即可。

（4）不等号的推广。由的多样性和的不唯一性，在“ ”定义中，若把“ ”变为“ ”，或把“ ”变为“ ”也成立。

七、举例说明如何使用“ ”定义证明极限

利用“ ”定义证明，关键是对于任意给定的正数，寻找一个与之有关的正整数使得当时恒有。那么怎么寻找呢？首先从这个关于和的不等式出发，解出的形式，其中涉及不等式适当放大的技巧，此时取即可。事实上，若取或其他也可，并不唯一。然后利用此方法证明几个常见极限，要求学员达到熟能生巧、举一反三的能力。

以上从七个环节介绍了数列极限定义的教学设计，采用两个学时授课，而收敛数列的性质下次课再讲授。在此教学过程中，将数列极限的“ ”定义内容进行了合理优化，学生充分理解和掌握极限的本质，而不是简单地理解定义和形式地掌握使用方法，同时为函数极限的讲授提供了有力的帮助，并奠定了坚实的基础。

参考文献