高等数学在经济领域的应用

2022-09-10

随着数学手段的丰富和经济问题的多样化,管理定量分析越来越广泛地被应用,从而使高等数学知识在经济管理中也得到更广泛应用。下面就高等数学的有关知识在经济领域的应用做如下探讨。

1 导数与弹性理论

“弹性”是物理学中广泛应用的概念,意指一物体对外界作用力的反应能力。在经济分析中,也普遍使用这个概念,是用于描述因变量(一个经济变量)对自变量(另一个经济变量)变化反应敏感程度。弹性作为一种数量分析方法,它与导数紧密相连。对一元函数y=f(x),其导数意义为弹性意义为:二者虽然都反映了y的变化对x的变化或依存关系,但导数反映了x,y的值各变化了多少,与原在x,y的基值无关,而弹性反应了x,y各自变化的增减率,这与x,y的基值有关。如果说导数是y关于x的绝对的瞬间变化率(即绝对量的变化),则弹性就是y关于x的相对的瞬间变化率。

可见,弹性是就两个变量而言的,它是研究两个变量之间相互联系和相互影响的,比较客观地反映了一个经济量改变所引起的反映的敏感程度。它是一个与被衡量对象计量单位无关的数。正因为如此,弹性可以单独作为一种定量分析法而存在。弹性分析是相关分析与动态分析相结合的一种统计方法,在相互联系中分析其间变动的规律性。在经济管理中,弹性分析对于认识和掌握微观调控机制,达到最佳效益目标进行最优决策能发挥重大作用。

2 导数与边际理论

在经济管理问题中,常常会用到变化率这一基本概念,作为变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。所谓平均变化率就是函数增量与自变量增量之比,如经常遇到的年产量的平均变化率,成本的平均变化率和利润的平均变化率等;而瞬时变化率就是函数对自变量的导数。即若y=f(x)在x0处可微,则此式表示y关于x在“边际上”x0处的变化率,经济学中将达到x=x0前1个单位时y的变化称为边际变化。

设在点x=x0处,x从x0改变1个单位时y的增量∆y的精确值为,当x改变的“单位”很小或x的改变的“单位”与x0相比较很小时,则由微分的应用可知∆y的近似值为:。因此设函数y=f(x)在x点处可导,则称函数f′(x)为f(x)的边际函数,f′(x)在x=x0处的函数值f′(x0)为f(x)的边际函数值。

当函数为总成本函数时,其导数就是边际成本,边际成本可理解为当生产q个单位产品前最后增加的那个单位产量所花费的成本或生产q个单位产品后增加的那个单位产量所花费的成本;当函数为总收益函数时,其导数就是边际收益,边际收益可理解为当销售q个单位时,多销售1个单位产品或少销售1个单位产品使其增加或减少的收益;还有,边际利润等也可作类似的处理。

3 导数与经济领域中的最优化问题

利用导数求函数的最大(小)值与经济生活的最优化问题有密切联系,它可用来分析社会经济中诸如生产者和销售者的最大经济效益、资源的合理利用、费用的节省等一系列问题。而解决这类实际问题首先是如何将它转化为数学问题,再利用导数知识去分析它、解决它。如在分析收入最大化与利润最大化时,若价格不变,最大的产量导致最大收入,但收入最大时的产量不一定就能产生最大的利润。当产量为何值时才能取得最大利润,则可通过运用导数知识的优化解决。再如,费用的节省,是经济生活中常见的问题,无论是生产者,还是销售者,总想以最小的资金和劳动消耗去获得最大的效益。怎样在条件允许的范围内做到费用最省,也可应用导数知识来解决这类问题。

4 定积分概念与建立在社会福利框架下的最优价格原则问题

根据微分学原理,一个企业生产一种产品,为了自身利润的最大化,这种产品的最优定价p*应能满足边际利益等于边际成本方程,但是根据现代经济学理论,制定最优价格的原则应以“社会福利最大化”为原则。在经济学理论中,社会福利=总收益-总成本+消费者剩余(盈余)。如何计算这个某价格p上的消费者剩余?可先画出一条价格关于需求量的函数曲线(需求曲线的反函数曲线)(图1)。

利用定积分概念,在任何价格p处,其相应的需求量若记为x,消费者剩余CS便可表示

为:于是,在价格p

处,其相应需求量为x,并记C(x)为总成本函数,社会福利函数W(x)便可表示为:

这样,在社会福利最大化原则下,可得在处,达到最大值的充分条件为:

这样就得到了经济学中著名的边际成本定价法则——若在价格曲线与边际成本曲线交点处,或者边际成本曲线的斜率大于零、或者边际成本曲线的坡度比价格曲线的坡度更平缓,这两者之一发生时,这个交点的纵坐标p*便是最优定价。

5微分方程与经济增长模型

以建立在市场经济下价格变动模型问题为例,来说明二阶线性常系数微分方程求解公式应用。具体问题:建立一个价格随时间演变,以阻尼振荡方式逐渐趋于理性的商品供需平衡价格模型,描绘在健全的市场经济框架下,商品价格受市场机制调节,偏高或偏低的价格将会自动趋于平衡。(说明:“商品价格变化的两大特点”:平衡价格应是商品供需平衡的价位;趋于过程应具有惯性特征,呈现阻尼震荡过程特征。)

建模假设:(1)商品需求D(t)随价格p(t)的增大而下降。假定它们之间的关系近似为线性关系:(2)商品供应S(t)随价格p(t)的增大而上升。假定它们之间的关系也近似为线性关系:(3)商品价格的变化速度与市场的过剩需求有关。假定它们之间成正比:

其中。这说明商品价格是单调地趋向平衡价格。结论未能达到建模目的!

修改建模假设:(3)*商品价格的变化速度与市场的过剩需求对时间t的累积量有关(即考虑过剩需求的时间滞后效应。假定它们之间成正比:

则

由此可见,商品价格随时间演变而处在等幅震荡之中。结论还未能达到建模目的!

再修改建模假设:(3)**商品价格的变化速度不仅与市场过剩需求对时间t的累积量有关,仍假定它们之间成正比;还与当时的价格与平衡价格的偏差程度有关(即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),假定它们之间也成正比,且比例系数(强调政府宏观调控只是微调)。

则:

模型又一次建立:

商品价格随时间演变而呈现阻尼震荡现象。该结论达到建模目的!模型可采用。

上述高等数学知识的几则应用,只不过是数学在浩如烟海的经济应用中几滴晶莹的火花。数学知识在经济中的应用应该引起进一步的重视和探讨,这也是企业追求长期经济效益必不可少的有力工具,也是市场经济发展的根本要求。

摘要：数学知识在经济中的应用应该引起进一步的重视和探讨,这是市场经济发展的根本要求,也是企业追求长期经济效益必不可少的有力工具。本文根据数学与经济学之间的密切关系,论述了高等数学在经济领域的一些应用。

关键词：导数,微分,经济,高等数学