高等数学不等式的证明

第一篇：高等数学不等式的证明

高二数学不等式的证明(二)

[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

1. 换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

2. 放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

3. 反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，

证明格式

[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。

4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

证明格式：

(1)当n=n0时，命题成立;

(2)假设当n=k时命题成立;

则当n=k+1时，证明出命题也成立。

由(1)(2)知：原命题都成立。

[本周教学例题]

一、换元法：

1. 三角换元：

例1. 求证：

证一：(综合法)

即：

证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,

[0,π]

则

∵-1≤sin2≤1

例2. 已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

证一：

证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

例3. 若x2+y2≤1，求证：

证：设

则

例4. 若x>1，y>1，求证：

证：设

则

例5. 已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

小结：若0≤x≤1，则可令

若x2+y2=1，则可令x=cos， y=sin (0≤θ<2π)

若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan (0≤θ<2π)

若x≥1，则可令

2. 代数换元：

，若xR，则可令

例6：证明：若a>0，则

证：设

则

即

∴原式成立

小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

二、放缩法：

例7. 若a,b,c,dR+，求证：

证：记

∵a,b,c,dR+

∴1

例8. 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9. 求证：

证：

三. 反证法

例10. 设0

证：设

则三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

与①矛盾

例11. 已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾

又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

四. 构造法：

1. 构造函数法

例12. 已知x>0，求证：

证：构造函数

由

显然

∴上式>0

∴f(x)在 上单调递增，∴左边

例13. 求证：

证：设

用定义法可证：f(t)在

上单调递增，

令：3≤t1

2. 构造方程法：

例14. 已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

则有两个实根。

例15. 求证：

证：设

当y=1时，命题显然成立，

当y≠1时， △=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

例16. 已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数

∴要证：(xy)≥ac+bd

只需证

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac+bd

证二：(综合法)

证三：(三角代换法)

∵x2=a2+b2， ∴不妨设

y2=c2+d

2五. 数学归纳法：

例17. 求证：设nN，n≥2，求证：

分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。

当n=k时，命题成立，即：成立。

当n=k+1时，左边

又

;且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1);

于是可得：

即当n=k+1时，命题也成立;

综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

[本周参考练习]

证明下列不等式：

1.

提示：令

，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。

2. 已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证：

提示：分

3. 若x>0，y>0，x+y=1，则

提示：左边

令t=xy，则

在 上单调递减

4. 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：

，提示：用三角换元。

5. 设x>0，y>0，，求证：a

放缩法

6. 若a>b>c，则

10.

左边

11. 求证：高二数学不等式的应用

三. 关于不等式的应用：

不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

2. 会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

四、不等式的应用问题举例：

例10. 已知a、b为正数，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

解：由可得；

小结：如果本题采用

两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

；则出现了错误：“=”

例11. 求函数的最小值。

分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

解：

即f(x)最小值为-1

此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

例12. 若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。

的某一个

分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。

解：

当且仅当：4a2+2=3b2+6，即

时取等号，y的最大值为8。

小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)

例13. 已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，

也即：；当且仅当时取等号。

也即；时，取等号。

例14. 设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：

的最小值。

分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

2. 另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

小结：本题如果采用三式类加，得到：

，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

例15. 已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。

分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，

综上所述，可得：b>c>a

小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

例16. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，

=648(m2)

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.

例17. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因为函数上为增函数，

当1≤n≤3时，

当n≥4时，

∴仅当n≥4时，Bn>An。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。

五、本周参考练习

1. 已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明：

2. 如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：

3. 已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：

4. 已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证：

5. 已知a，b，c∈R+，求证：

6. 已知a>0，求的最值。(答最小值为)

7. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

8. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？

(答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。) 高二数学练习三

1. xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是(

)

A. |x|<1

B. x<1

C. |x|>1

D. x<-1或|x|<1

2. 已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值(

)

A. 一定是正数

B. 一定是负数

C. 可能是0

D. 无法确定

3. 已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0(

)

A. 有两个不相等的实根

B. 有两个相等的实根

C. 没有实数根

D. 要依a，b，c的具体取值确定

4. 设0

)

A.

C.

5. 设a,bR+，

，则A，B的大小关系是(

)

B.

D.

A. A≥B

B. A≤B

C. A>B

D. A

6. 若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是(

)

A.

B.

C.

D.

7. 设a，b，cR+，则三个数

A. 都大于2

B. 都小于2

(

)

C. 至少有一个不大于2

D. 至少有一个不小于2

8. 若a，bR+，满足a+b+3=ab，则

9. 设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则

的取值范围是_____

的最大值为_____

10. 使不等式

答案：

1. A 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B

7. D 8. 9.

10. a>b>0且a-b>1

都成立的a与b的关系是_____

第二篇：数学归纳法证明不等式的本质

成都外国语学校邓忠全

在近几年的高考中，有关不等式的综合证明题做为压轴题的非常多，其中相当一部分又是用数学归纳法证明的。但是，各种参考书或杂志在研究此类问题时，都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明，并落列了一些题解的过程，而没有深入探讨：数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题，转化为能用数学归纳法证明?，本文拟针对上述三个问题，进行分析研究。

数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题(本文不讨论)。凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)g(n)(nN)的形式或近似于上述形式。 这种形式的关键步骤是由nk时，命题成立推导nk1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记左nf(k1)f(k)，右ng(k1)g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

上述四步中，两个“=”和“<”都是显然成立的，(其中f(k)g(k)是由归纳假设而得)，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“左k右k”若成立，既可用数学归纳法证明;若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，数学归纳法证明不等式的本质是证明“左增量≤右增量”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增量≤右增量”是否成立。 例1.06福建高考的最后一题的最后一问：

已知an2n1，求证：an1a1a2nn(nN) 23a2a3an12

本题要证后半节的关键是证

2k111 中k右k即证k2212

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k11 左k中k即证k2221

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)g(n)(nN)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，

且f(n)0,g(n)0是显然成立的。此时，可记

左kf(k1)g(k1)，右k f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由nk时，成立推导nk1成立，可表述为

f(k1)f(k)左kg(k)左kg(k)右kg(k1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“左k右k”若成立，既可用数学归纳法证明;若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

例2.求证n22n(n5) (k1)2

本题中左k ， 右k2 k2

左k右k(k5)是显然成立的，所以可以用数学归纳法。

例3.06江西高考最后一题的最后一问可以转化为： 11111(1)(12)(13)(1n)(nN) 23333

1此题的左k1右k1k1 3求证：

左k右k不成立，不能用数学归纳法证明。

通过上述论述我们能清晰地知道哪时可用数学归纳法证明不等式，哪时不能用数学归纳法证明不等式，但我们还必须知道有些不能用数学归纳法证明的不等式，可以引入中间量改进为可用数学归纳法证明的不等式。下面先从理论上探讨。

命题：f(n)g(n)

若左k右k(左k右k)不成立时

可将命题f(n)g(n)改为

f(n)h(n)g(n)

其中左k中k(左k中k)成立，f(n)h(n)就可用数学归纳法证明，而h(n)g(n)很容易被其它方面证明，此时，改进就是成功的。

上述例3可改为证明

11111111123n(1)(12)(1n) 23333333

其中前半节用等比求和易证，而后半节可用数学归纳法证明。

第三篇：大学数学中不等式的证明方法

龙源期刊网 http://.cn

大学数学中不等式的证明方法

作者：吴莹

来源：《学园》2013年第01期

【摘 要】不等式在科学研究中的地位很重要，但对不等式的证明有些同学无从下手，用什么方法是个难题，所以本文对大学数学中遇到的不等式的各种证明方法进行归纳总结，并给出了相应的例子。

【关键词】数学归纳法 导数 单调性 中值定理 最值 积分

【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810(2013)01-0076-02

第四篇：高中数学2.5不等式的证明教案

2.5不等式的证明

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

(一)作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，

也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号(将差和0作比较)，从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数

的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

1 / 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

(二)作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

2 / 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若

，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知(1)

，求证：

(2)

证：(1)

3 / 6 (2)

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有 ，如果有

，那么只要证明了

，就有

4 / 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

5 / 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用

6 / 6

第五篇：中学数学不等式证明的常用方法

不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等[4].在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.

一、一般思路

不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法.但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法. 利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述.

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.

二、典型方法分析

(1)放缩法

不等式的传递性，若A>B，B>C则A>C告诉我们要证明A>C时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A>C;同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A

分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母

1n

=22n2nn12(nn1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当. 证明:1n=22n2nn12(nn1)，

∴1312<2(2-1)，

2(32),

„„

1n11n2(n1n2),

<2(nn1).

121n以上各式相加，得1+所以原不等式成立.

+„<2n-1<2n.

【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递.

例2 已知数列an,an=122334Ln(n1)

n(n1)(n1)2an<. 求证：22n(n1)是前n个自然数的和，与an比较只须缩小为12﹑2﹑3„„n即可.仿此把各项放大2﹑3﹑„„(n+1)所得结论过弱，只能放

n(n1)弃，于是转而联想到关系式n(n1)，右边的不等式证明，由此可证

2得.

证明 由于 分析: 注意到左边的式子an=122334n(n1) >122233n2 =1+2+3+„+n =n(n1) 22n1n(n1)<

22又由n(n1)3572n1有an=122334n(n1)<

22221(n1)

2<[1357(2n1)]22n(n1)(n1)2an<综上所述. 22

【评注】放缩法的基本思路: ab,bc,ac.[3]技巧与方法:(1) 适当添上

131或舍去某些项,例:(a)2(a)2;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子

242或分母,如:11111 2放大缩小切记适度.k(k1)kk(k1)k1k(2) 判别式法

有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式;或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2].

2xyz8x70例 已知x,y,z是实数，且满足条件22

yzyz6x60求证：1x9.

证明 由已知等式得：

yz=x28x7

(yz)2yz6x6 x28x7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2(x1)t(x28x7)=0的两个实根 △=(x-1)2-4(x28x7)>0解得1x9.

【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和yz的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解.用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去. (3) 换元法

有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2].

1125例1 设a,bR且a+b=1.求证：(a)2(b)2.

ab2 证明： a+b=1可设：a=sin2,b=cos2

x2y2xy 又 则

2211(a)2(b)2

ab111(ab)2 2ab1112)=(sin2+cos2+2

2sincos2142125)(14)2=(1.

2sin2222例2 设a,b>0，求证：3a3b+3a3b23a. 证明：设3a3b=m,3a3bn,则m3n3=2a 于是要证的不等式等价于(mn)3<4(m3n3) 只要证：4(m3n3)-m33m2n3mn2n30 而3m3+3n33m2n3mn2 =3m2(mn)3n2(nm)

=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(mn)34(m2n2) 成立. 【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有: (1)若a2b21,可设acos,bsin(为参数); (2)若a2b21,可设arcos,brsin(为参数);

(3)对于1x2,x1,由cos1或sin1知，可设xcos或xsin; (4)若xyzxyz,由tanAtanBtanCtanAtanbtanC知,xtanA,y

tanB,ztanC.(ABC)

(4)函数法

有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明. 例:求证:|x1x2xn||xn||x1||x2| 1|x1x2xn|1|x1|1|x2|1|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1x1x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)=

x 1xf(x1)f(x2)x1xx1x2 21x11x2(1x1)(1x2)当x1x20时,显然f(x1)f(x2) 所以函数f(x)当x0时是增函数

Q|x1x2Lxn||x1||x2|L|xn|

x1x2xn|xn|1 1|x1x2xn|1|x1|x2||xn|1|x1||x2||xn|

|xn||x1||x2|1|x1|1|x2|1|xn|

【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利 用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.

不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.