三角形内角和定理

三角形内角和定理（精选十篇）

三角形内角和定理 篇1

思路一:用平角等于180°求证三角形内角和等于180°.

说明:此思路证明结论需要作适当的辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移一个平角的位置上得出结论.下面列举三种常见辅助线供大家参考.

证法1:如图1, 延长BC到D, 过C作CE//AB

因为CE//AB,

所以∠1=∠A, ∠2=∠B.

又∠ACB+∠1+∠2=180°,

所以∠ACB +∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图2, 过A作DE//BC,

因为DE//BC,

所以∠1=∠B, ∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°.

所以∠B +∠BAC+∠C=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法3:如图3, 在BC上任取一点D, 过D分别作DE//AC交AB于E, DF//AB交AC于F.

因为DE//AC,

所以∠1=∠C, ∠2=∠3,

又∠DF//AB,

所以∠4 =∠B, ∠3=∠A,

所以∠2=∠A.

又∠1+∠2+∠4=180°,

所以∠C+∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

思路二:用平行线同旁内角互补求证三角形内角和等于180°

说明:此思路证明结论也需要作适当辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移到平行线同旁内角的位置上得出结论.下面举两种辅助线供大家参考.

证法1:如图4, 过A作AD//BC,

因为AD//BC,

所以∠1=∠C,

∠1+∠2+∠B=180°.

所以∠C +∠2+∠B=180°

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图5, 过点A、B、C分别作AD//BE//CF.

因为AD//BE//CF

所以∠1=∠5, ∠2=∠6,

∠5+∠3+∠4+∠6=180°.

所以∠1 +∠3+∠4+∠2=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

探索三角形内角和定理 篇2

教学目标：

知识目标：

（1）理解和验证“三角形的内角和等于180度”。（2）运用三角形内角和结论解决问题。能力目标：

（1）通过学生猜、测、拼、折、观察等活动，培养学生探索、发现能力、观察能力和动手操作能力。

（2）会用平行线的性质和平角定义证明三角形的内角和等于180度。（3）初步培养学生的说理能力。情感目标：

（1）让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念；（2）体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。

教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。

教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。课前准备：学生准备不同类型的三角形各一个，三角尺、量角器。

教学过程

一、情境导入

如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法得出某一个侧面的三角形中三个角的度数吗？（以小组为单位议一议）

预设学生回答：可以测出侧面三角形底边的两个角后，求出塔尖处的侧面角。进而引出三角形内角、内角和的概念。

二、探索过程

活动一：探索三角形的内角和定理

（1）以小组为单位测量一下一幅三角板的每个内角的度数，并求出两个三角板的内角和。

教师引导语：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？能否用你准备好的三角形验证一下？

（2）测量已准备好的三角形三内角的度数，得出任意一个三角形的内角和是180度。

设计意图：使学生通过最基本的测量的方法，经历从特殊到一般的探索过程，从“数”的方面引导学生探索定理，逐步渗透“化归”的数学思想。让学生直观的发现三角形三个内角和是180度。活动二：实验验证三角形内角和是180度

教师引导语：除了测量，你利用手中的三角形，还有别的方法验证三角形内角和是180度吗？

预设学生1：用剪拼的方法验证三角形内角和定理．（1）学生将三角形的三个内角剪下，分小组做拼角实验。

（2）各小组派代表展示拼图，并说出理由。

归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线（学生讨论，教师点评），为书写证明过程做好铺垫。

预设学生2：用折纸的方法验证三角形内角和定理．（若没有，教师适时引导：是否可以通过折纸的方法验证呢？）预设学生展示：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果。

（1）

（2）

（3）

（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ 设计意图：让学生动手操作，使学生从“形”的方面直觉感知三角形角的变化与内角和的关系，让学生产生需要，主动去发现，主动去探索，主动去解决问题，主动去证明，充分调动学生。学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。同时，让他们通过观察思考操作验证归纳的过程，为证明从“形”的方面提供思路。从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。活动三：证明三角形内角和定理

教师引导语：通过实验你对三角形的内角和是180度，还有怀疑吗？但这些还不够，数学中的真命题都需进行严谨的说理证明后，从能称之为定理。实际上前面的剪拼和折纸实验已经为我们的证明提供了思路，你发现了吗？接下来同学们分小组来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题。活动内容：

（1）小组合作用严谨的证明来论证三角形内角和是180度；（2）每小组派代表展示，比一比哪组同学想的方法多？（证明前，教师引导学生把命题证明题的已知、求证写出来）

已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°

预设学生展示1：

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）

即：∠A+∠B+∠C=180°。预设学生展示2：

证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB（同位角相等，两直线平行）∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）预设学生展示3：

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）

∴∠B+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）即∠B+∠ACB+∠ACE=180°

∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）

预设学生展示4：也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线

如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F ∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义）∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等）∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等）∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）

师总结：非常好，大家用不同的方法通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形的内角和定理。设计意图：教师指导学生从不同角度思考，展示证法的多样性。通过定理的证明使学生感受几何证明的思想，体会辅助线添加方法的多样性以及在几何问题解决中的桥梁作用，渗透“最优化”思想。

三、学以致用

学生独立完成，并找代表展示

（1）在△ABC中，∠B=58°，∠C=60°，则∠A的度数等于多少？（2）在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=？ 一个三角形中，能不能有两个角是直角或钝角？

（3）在△ABC中，∠B=∠C=1/2∠A，则∠A的度数是多少？

（4）在△ABC中，DE//BC，∠A=50°，∠C=70°，求证：∠ADE=60°

设计意图：设计四道阶梯式题型，目的面向全体学生，抓住“双基”让每一位学生都有成就感，（3）（4）题是提高题，让学生在不同层次上发展，以此提高学生分析问题，解决问题的能力，并突破重点.四、课堂小结

三角形内角和定理的应用 篇3

一、求角的度数

例1 （2012年广东省深圳市中考题）如图1所示，一个60 °角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）

A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°

分析 根据三角形内角和定理、平角定义可以求得∠1+∠2的度数。

解 如图2，根据三角形内角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，

又根据平角定义，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，

所以180°-∠1+180°-∠2+60°=180°。

所以∠1+∠2=240°。故答案选C。

点评 本题考查了三角形内角和定理、平角定义、三角形外角性质。解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件：三角形内角和是180°。

二、判定三角形的形状

例2 （2012年山东省滨州市中考题）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

分析 已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型。

解 三角形的三个内角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形。故答案选D。

点评 本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为180°×=105°>90°。

本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180°，解得x=15°，所以最大角为7×15°=105°。

三、用于解决实际问题

例3 （2012年宁夏回族自治区中考题）如图3，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB= 度。

分析 先求出∠CAB与∠ABC和的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答。

解 连接AB，因为C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，

所以∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

又因为三角形内角和是180°，

所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°。

故答案填70。

点评 本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB与∠ABC和的度数是解答此题的关键。

练习

1.（2012年浙江省嘉兴市中考题）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）

A.40° B.60° C.80° D.90°

2.（2012年内蒙古自治区呼和浩特市中考题）如图4，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 。

参考答案

1.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故答案选A。

2.解：因为三角形ABC的外角∠DAC的角平分线和∠ACF的角平分线交于点E，所以∠EAC=∠DAE，∠ECA=∠ECF。

又因为∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），

所以∠DAC+∠ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠ACB）==113.5°（外角和定理），

所以∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°。

三角形内角和定理 篇4

关键词：几何画板应用,折叠法,三角形内角和定理,验证过程

随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用多媒体教学，可以使教学变得更加方便。首先，可以突破以往教学的难点，易于展示抽象的内容，例如立体图形等都可以用多媒体展示给学生，使学生易于理解;也可以为教师节约时间，将要在课堂中或课下花费时间重复制作的教具用多媒体制作展示，例如，在验证三角形内角和定理时，制作教具三角形，让学生折叠三个角使之成为平角。这样的教具虽然简单，但是每次都重复制作也浪费时间和资源。在此，我将展示如何应用几何画板展示用折叠法验证三角形内角和定理的过程，分两种情况进行展示，即直角三角形的展示和锐角三角形、钝角三角形的展示。

一、直角三角形的展示

第一步：作点A，选取线段工具，移动鼠标到A点，单击左键，并按住Shift键作线段AC，再将鼠标移动到C点，单击左键并按住Shift键作线段CB，连接线段AB，则完成三角形ABC的制作。选取线段工具，在线段AB上取一点E，按住Shift键作BC的平行线EF交AC于F点，同理过E点作AC的平行线EG交BC于G点。

第二步：选中线段AC、BC、AB，按Ctrl+H键，隐藏线段AC、BC、AB，选择线段工具，连接线段AE、BE、AF、FC、BG、GC。

第三步：选中点E、A、C，点击菜单栏上构造菜单，构造过三点弧EAC。

第四步：选中弧EAC，点击构造菜单，构造弧上点A，连接线段AE、AD。

第五步：选中构造点A点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及弧EAC。则可完成折叠角A的过程。

第六步：过点E、B、C作过三点弧EBC，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBC。则可完成折叠角B的过程。

最终直角三角形的折叠如下：

观察图像可得结论：将角A和角B折叠后所得的角ECF为九十度，即角A加角B为九十度，而角C为直角,因此角A加上角B加上角C为一百八十度。可得此三角形内角和为一百八十度。

二、锐角三角形或钝角三角形的展示

第一步：选择作点工具，作点A、B、C，选择线段工具，连接线段AB、AC、BC，过A点作BC的垂线交BC于D点，隐藏垂线，连接线段AD，选取线段工具在线段AB上取一点E选中线段BC作BC的平行线交AC于F点，隐藏平行线，连接线段EF，同理过E点作AD的平行线EG交BC于G点，过F点作AD的平行线FH交BC于H点。

第二步：隐藏线段AB、AC、BC，连接线段AE、AF、BE、BG、GH、CF、CH、DE、DF。

第三步：作线段AD上的点，记为A，连接AE、AF，选中构造点A，选中点D，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及垂线段AD。则可完成折叠角A的过程。

第四步：过点E、B、D作过三点弧EBD。

第五步：选中弧EBD，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBD。则可完成折叠角B的过程。

第六步：选中点F、C、D，作过三点弧FCD，选中弧FCD，点击构造菜单，构造弧上点C，连接线段CF、CH。选中构造点C点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠C，再选中构造点C点，选中原C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原C。隐藏三角形上的点C，线段CF、CH及弧FCD。则可完成折叠角C的过程。

最终锐角或钝角三角形折叠如下：

观察图像可得结论：角A、角B、角C折叠后形成一个平角，即角A的度数加上角B的度数加上角C的度数为一百八十度，即三角形内角和为一百八十度。

三角形内角和定理的证明 教案 篇5

八（11）班

郭朋朋

一、教材：沪科版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第13章第2节

二、学习目标：

1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

三、教材分析

1、内容分析

三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。(2)实际生活、生产中有广泛的应用。(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。

三角形内角和定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供一个发展提高平台，其论证过程总体体现为化归思想。学过之后，这种思想方法可以类比运用到其它问题的探索与解决过程之中，其说理过程将成为“普通语言向符号语言转化”的可能，这一可能将随时间的推移与知识的积攒成为现实。

在证明过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法及数学逻辑，他们克服困难的勇气及对问题的好奇心和互相评价，学习方式的选择等等方面都将大有收获，说明了本节教材内容对学生非智力因素的影响还是非常大的。

2、学情分析：

（1）学生已经在小学的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。

（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。

（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。

3、障碍预测：

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。

四、教学重点、难点

重点：以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结合思想。

难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。

五、教学过程

（一）知识回顾，积累经验

1、平行线的判定：

2、平行线的性质：

3、证明一个文字命题的一般步骤：

（二）情景再现，导入新课

问题2：前面我们学习的三角形三个内角的和等于180，是如何说明的？ 【设计意图】通过回忆结论的得出，进行分析、对比，感受证明的必要性。

教师引导学生将命题进行图形语言、符号语言的转化，为定理的证明做准备。

问题3：我们已经学习的与“180”有关的知识有哪些？

【设计意图】从这里入手为探究实验的操作指明方向，同时从“数”的方面引导学生探索定理的证明思路，逐步渗透“化归”的数学思想。

探究活动

把准备好的三角形拿出来，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为

180？有几种拼法？拼完后与小组成员交流，比一比看哪组的拼法最多。

【设计意图】探究实验一方面可以激发学生的兴趣，另一方面为证明180从“形”的方面提供思路。从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。同时，学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。

师生活动：

让学生每人提前准备几个硬纸剪的三角形，并把角剪下来，拼在一起，让他们自己得出结论。

学生可以展示不同的拼法：

A1A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化归，证明定理

CB23C

根据前面给出的基本和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.结论：

三角形三个内角的和等于180°。

师： 这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三内角.求证:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）

【设计意图】培养学生运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力。

（四）开启智慧，分组探究

师：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？

1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。

2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。

4、分组探究，成果展示

教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。

【设计意图】1让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路．

（五）实践应用，培养能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求证∠C=90°

推论：直角三角形两锐角互余

2、已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求证： ∠ADE=50°

（六）知识回顾，拓展延伸，3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结

PB、PD，交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在一定的大小关系？

A B C

E

D

P

（七）畅谈收获，反思升华

三角形内角和教学反思点滴 篇6

关键词：反思；创新；关注；实践活动

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-187-01

数学教学，应该是结合学生的生活中的实际问题和已有的基础知识的教学。学生在认识学习和使用数学知识的过程中应初步体验数学知识之间的内在联系，并进一步感受数学与现实的密切联系。为实现这一目标，教师应该经常进行课后反思教学。基于此，我在上完“三角形内角和”这一课后做了以下课后反思。

一、数学学习要经过多实践，才能有创新

本节课的内容是在学生初步建立了“三角形的认识和分类”这一知识基础上进行教学的。针对教材内容以及学生现有的知识水平，在教学中我采用多实践的教学方法，让学生分组自己动手进行量一量、拼一拼、折一折等实践活动，然后全班进行交流，引导学生去认识三角形内角和是接近180度的这一抽象的概念。接着提醒学生眼睛的观察和量角器的测量都具有误差，三角形的内角和究竟是多少度？并把问题留给学生，让学生在思想上产生探究的需求，激发学生主动学习的积极性。学生们在探寻新知识的过程中采用了各种不同的方法：有把三角形的三个角撕下来拼在一起的，有用正方形和长方形对角一折，把长方形和正方形分成两个全等的三角形的，有把三角形的三个角折在一起拼成一个平角的等等，各种方法我都引导学生去动手实践，最终得出三角形内角和是180度这一结论。在此过程中对于学生错误的探索方法老师采取鼓励的方法，要肯定学生即使以错误的方法去探索的过程也是对正确的结论的一种辨析过程，从而使每个学生在数学课堂中到关注和肯定。

二、合作、交流是数学课堂上学生主动学习的一个必不可少的环节

每一个学生都带着自己已有的知识和经验来学习，在共同学习和分享这些知识的过程中师生之间、生生之间要互相学习取长补短，向着一个共同的目标努力。在课堂上教师要把这么多的个体联合在一起，就要在课堂上积极为学生创设交流合作的机会，从而增强学生在课堂上有效的学习。所以在“三角形内角和”这一课的教学中，当学生初步感受到三角形内角和接近180度时，让学生动手去做，把任意一个三角形的三个角撕下来拼一拼，看看结果会怎样，然后四人小组进行讨论、交流，互相了解其他同学的撕法和拼法。并针对出现问题的小组老师要及时引导并参与到他们的交流中，帮助他们建立正确的知识概念。在折的过程中有的同学折不出来，就要求同桌的同学帮助他，把学生的学习状态从孤军奋战变成互相帮助，互相依存的集体协作，让更多的学生都能获得更多的帮助和交流机会，提高全体学生的学习效率。

“三角形的内角和”教学设计 篇7

[教学目标]掌握三角形内角和是180°这一定理,并能运用这一定理解决简单的实际问题。

[教学重难点]组织、引导学生主动进行猜想、验证、推理,得出“三角形内角和是180°”这一定理,运用这一定理解决简单的实际问题。

[教学具准备]多媒体课件、各类三角形(直角三角形、锐角三角形、钝角三角形)、长方形、正方形、剪刀、练习卡、水果图片、量角器、小白板、三角板。

[教学过程]

一、复习导入

师:我们已经认识了三角形,谁能说出三角形有什么特点?

(几名学生回答后,教师边播放课件边进行简单小结)

师:3条线段围成三角形,在三角形内形成了3个角。(课件分别闪烁3条线段和3个角)

师:三角形还有一个重要的特点,同学们想知道吗?这节课老师就和大家一起来学习三角形的这个重要的特点。

(板书课题:三角形的内角和)

师:三角形里面的这3个角分别叫做三角形的内角,把这3个内角的度数加起来就是三角形的内角和。

[设计意图]通过复习旧知,借助课件直观强化,进一步巩固旧知,让学生在已有的基础和经验上进行学习,激发他们探索新知的欲望。

二、质疑猜想

师:同学们手中的两个学具三角板,第一个的内角度数分别是90°、60°、30°,第二个的内角度数分别是90°、45°、45°,请同学们算一算这两个三角板内角的度数和分别是多少?

师:同学们通过计算,都得出了这两个三角板内角的度数和是180°,猜一猜其它三角形内角的和又会是多少度呢?

[设计意图]有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。创设情境,组织学生计算、交流、猜想,会有效提高学生学习的积极性和主动性,激发学生主动进行学习。

三、探究验证

(组织合作学习,教师提出要求)

师:以4人小组为单位,合理分工,选择好学具和方法,选择一类三角形进行验证,内角和是否是180°?

师:比比哪一组的验证方法富有创意。

师:填写好学习卡。

[设计意图]组织学生合作探索,主动验证猜想,会再次提高学生学习的积极性和主动性,培养他们的合作意识。

四、小组交流

(组织各小组交流验证的方法和结果)

师(小结):有的小组是先量出三角形3个内角的度数,再把3个内角的度数加起来,3个内角的和等于或接近180°;有的小组是把三角形的3个角都向中间折,3个角拼在一起得到一个平角,平角是180°;有的小组是把三角形的3个角剪下来,然后把3个角拼在一起也是一个平角;还有的小组是把长方形或正方形沿对角剪开,得到2个直角三角形,长方形和正方形的内角和是360°,每个直角三角形的内角和就是180°。

(各组交流,全体分享,得出结论)

[设计意图]组织引导学生合作学习、交流讨论,让学生自主选择验证猜想的方法,学会归纳推理,得出结论,旨在最大限度地把学习的主动权交给学生,充分发挥学生学习的主体作用和能动作用。同时,发挥学生的创造性,体现解决问题策略的多样化。

五、拓展提升

(组织游戏活动——找朋友)

师:根据自己卡片上的度数找两个朋友,3张卡片上的度数能组成一个三角形的是好朋友,找到朋友后拉起手围成圆圈,确定一名代表准备交流。

(学生各组的代表交流是怎样找到“朋友”的)

师:4人小组合作帮助小福娃算一算,每个三角形中被遮住的角是多少度?

师:小福娃还有几个更难的问题,各小组再帮帮她?

问题1:她要用红纸剪一个等腰三角形的卡片,底角是70°,顶角是多少度?

问题2:她要用红纸再剪一个等腰三角形的卡片,顶角是50°,两个底角又分别是多少度?

问题3:小福娃掌握了三角形的内角和是180°的定理,她还想知道任意四边形(如右图)的内角和又是多少度?这个问题留给同学们课后去探究解决。

[设计意图]设计游戏活动,组织学生练习,既可以及时巩固新知,又可以缓解学生的疲劳,保持他们学习的兴趣。同时,设计有层次的练习,让他们解决的问题由易到难,有利于培养学生的发散思维。

六、教学反思

“三角形内角和”教学实录与评析 篇8

教学过程:

(一) 复习引入

师: (出示直角) 这是什么图形?

生:直角。

(教师画直角。)

师: (出示锐角和钝角) 直角、锐角、钝角中什么角大些?

(设计思路:用活动角复习直角、锐角和钝角的特征, 引导学生观察对比, 为猜测三类三角形 (按角分) 内角和大小埋下伏笔。)

(二) 引导猜想。1.认识内角。

师: (将板书的锐角添上一条边) 现在它成了什么图形?

生:锐角三角形。

师:在锐角三角形内你看到了几个角? (三个角。) 由三条边围成的三角形内的角叫做三角形的内角。

(教师板书:三角形的内角)

师: (将板书的直角和钝角分别添上一条边) 它们分别是什么图形?

生:一个直角三角形和一个钝角三角形。

师:在直角三角形中找到它的三个内角并请标注出来。 (学生用1、2和3标注直角三角形内角, 分别是∠1、∠2和∠3。)

(设计思路:帮助学生认识三角形内角, 找一找并标出三个内角, 强化对内角的认识, 为“撕角”拼角活动做准备。)

2.猜想一。

师:若分别将这三个三角形的内角相加, 你认为哪个三角形的内角和最大?为什么?

生1:我认为钝角三角形的内角和大, 因为它有一个最大的角。

生2:我认为锐角三角形的内角和大, 因为它的三个内角差别不大;钝角三角形虽然有一个最大的角, 但另外两个角却小。

生3:我认为三个三角形的内角相加起来一样大。

师:你们是怎么知道的?

生:……

(学生说不清楚, 教师及时引导探究三角形的内角和。)

(设计思路:引导学生构建知识, 从学生“说不清”了解到学生学习这一知识的基础, 准确把握了教学起点。)

3.猜想二。

教师演示 (提示学生注意观察) :顶角变大, 三角形的两个底角有什么变化。

师:从图中你看到了什么情况?

生:顶角越大, 三角形的两个底角越小。

师:猜想一下当两个底角小到极致, 三角形的顶角会变成 (近似) 什么角?

生:平角。

师:由此可以猜想出三角形内角和是多少度?

生:三角形的内角和可能是180度。

师:当然, 三角形的两个底角可以无限的接近0度, 但不会是0度, 否则三角形就不存在了。

(设计思路:教师抓住学生急于探究的心理诱导学生猜想。利用活动角围出的活动三角形, 让学生直观地感受到三个内角的大小变化情况, 体现了转化思想的合理运用。)

(三) 验证活动。

师:刚才同学们做了猜想, 怎样让大家认可我们的猜想是合理的呢?

生:证明给大家看。

师:你有什么办法证明呢?

生:分别测量三个角的度数, 然后加起来。

师:是个办法, 只是今天我们没有准备量角器, 这个办法行不通。

师:刚才我们发现三角形三个内角转化后与什么角有联系?

生:平角。

师:那么, 我们能通过平角等于180°来证明三角形内角和是180度吗?想想看, 三角形的三个内角怎样转化成一个平角? (先看任意一个直角三角形。)

生:把它们拼凑在一起看看是不是一个平角。

师:怎么拼呢?

生:把角剪 (或撕) 下来, 凑在一起。

师: (按学生描述操作故意出错) 是这样吗?

生:不是, 再下来一点使顶点对齐。

师:这个同学的意思我明白了, 你们听懂了就自己试试看。

(学生四人小组合作拼角。)

生:老师, 我可以不把角撕下来吗?

师:可以。你想怎么做呢?

生:我用折的方法验证。

教师发现学生折、拼的方法不规范, 很难有理有据地进行验证, 于是用课件进一步指导:

(1) 找到三个内角并标出角1、角2和角3。

(2) 把三个内角凑到一块看看是什么图形?

(学生根据要求继续操作活动。)

交流结论并展示不同的验证方法。

师:你们发现了什么?

结论:直角三角形三个内角和等于180度。

师:现在是不是可以说所有三角形的内角和都是180度了?

(学生有的说可以, 有的说不可以。)

师:我们不是验证了直角三角形了吗?

生:还有锐角和钝角三角形呢?

师:明白了, 直角三角形代表不了它们。你想研究哪一类三角形呢?

教师根据学生的意愿大致分工, 然后按下面步骤操作:

画一个三角形、做好内角标记、将角剪下、三个角共顶点贴在彩色纸上。

展示作品:按照对每一类三角形的验证进行粘贴。

学生观察这些拼出的图形都有一个共同的特点:都拼成了一个平角。

(设计思路:课堂上略去了教材中用量角器测量的活动, 留出更多时间让学生在轻松的氛围中学习。另外通过拼成平角来认识三角形的内角和比测量方法更为简洁直观且更具一般性。因此, 本节课重点用拼一拼的方法, 鼓励学生探寻三角形内角和的规律。)

(四) 练习提升。

1.要知道一个三角形的内角分别是几度, 最少要测量几次?为什么?

生1:每个内角测1次, 三个内角要测3次。

生2:我认为测量2次就可以了。

生3:测1次就可以了。

师:为什么测量2次就可以了?

生:用180度减去前两个角的和就知道第三个角有几度了。

师:你们能试一试吗?

师:那么测1次就知道三个内角的度数又是怎么回事?

生:在直角三角形中就可以这样推理。

师引导观察黑板上的直角三角形并让学生说一说。

(设计思路:学生自己发现的知识更容易掌握和运用。放手让四年级学生运用三角形内角和知识求出三角形的第三个内角, 增强了学生学习的信心。)

(五) 课堂延伸。

师:将一个三角形沿着一条高剪开, 剪后是什么图形?它们的内角和各是几度?

学生动手操作后发现, 沿三角形的一条高剪开得到的是两个直角三角形 (如下图) 。

师:把两个同样的直角三角形拼起来, 内角和会是多少度呢?

生:是180度。

师:为什么?

生:因为拼成的还是一个三角形。 (如下图。)

师: (课件拼出一个平行四边形) 这个平行四边形的内角和也是180度吗?

(启发学生由三角形的内角和推出。)

(设计思路:变式练习帮助学生牢固掌握三角形内角和, 在拼一拼的过程中加强对内角和的认识, 并将此“认识”迁移到对四边形的内角和认识中。)

评析:

张艳秋老师执教的“三角形内角和”一课的预设是在对学生做了深入调查、对比、分析的基础上做出的, 教学过程朴素、扎实, 初步达到了预设目标。

首先, 本课教学教师引领学生经历了体验、探索学习几何知识的一般过程。

1.猜想。猜想是学生学习活动的起点。张老师将猜想活动融入了问题情境:锐角三角形、直角三角形和钝角三角形哪个三角形的内角和最大?为什么?学生在猜想活动中充分发挥了空间想象和合情推理的能力。这一过程找到了学生学习的起点, 为教学的预设与生成搭起了桥梁, 同时使学生的学习思考活动逐渐数学化。

2.合情推理。合情推理是培养学生逻辑思维能力的重要手段, 它通过观察、类比、分析、综合、演绎等方法, 使学生解决问题的能力得到提高。如, 张老师让学生想象:当三角形两个底角已经小到极致, 三角形的顶角会无限接近什么角?由此推出三角形内角和的度数。让学生感受到了极限的数学思想方法, 这样的学习是有意义的和有价值的。接着, 张老师创设一个问题情境:用测量的方法知道一个三角形的三个内角分别是多少度, 最少要测量几次?为什么?这个问题的解决让学生感受到了“合情推理”的“威力”, 同时也体验到了数学思维的美妙之处, 有效地培养了学生学习数学的兴趣。

3.操作验证。用数学实验的方法进行“论证”。验证“三角形内角和是180度”, 传统的做法是让学生通过测量、折、拼、推理等进行论证, 让学生在此过程中感受数学方法的多样化, 发散学生思维, 培养创新精神。张老师经过调查, 发现在拼角这个简单的活动中, 很多学生存在剪拼前后“角”不能准确对应的问题, 于是产生了让学生给三角形三个内角做标记的方法, 进而使操作规范, 实验结果较为准确, 过程和效果确有独到之处。

其次, 本课教学重视了学生的空间想象和几何直觉思维能力培养。空间想象与几何直觉这两种素养的培养将伴随整个几何教育、教学的始终, 它们的发展影响着学生数学思想方法的形成, 影响着学生解决问题的决策水平。课堂上的猜想、推理、数学实验等, 张老师都努力渗透培养空间想象力这一主题。如, 把两个同样的直角三角形拼起来, 内角和是多少度?学生通过实验操作, 认识了两种情况:一是拼成一个三角形, 内角和还是180度, 二是拼成一个平行四边形, 内角和就成了360度。张老师多次设置这样的活动, 把课堂调节得和谐而生动。

“三角形的内角和”教学设计 篇9

教学目标:

1. 通过操作活动, 探索发现并验证三角形的内角和是180°。

2. 经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成过程, 实现自主发展。

3. 培养学生主动探究、动手实践的能力, 发展空间观念。

教学重点:经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成过程

教学难点:验证“三角形的内角和是180°”

学情分析:

本节课之前, 学生已经学习了角的度量, 掌握了三角形的特性和分类等知识, 形成了一定的空间观念。本节课的学习学生将面临两个困难:首先学生是第一次面临数学猜想, 如果让他们盲目进行, 那么猜想就会变得毫无价值;其次, 让学生通过撕拼学具进行研究学习, 对于学生来说是有难度的, 所以要教师要注意引导。

教学过程:

一、问题引入, 激趣生疑

1. 创设情境:三角形家族中两兄弟发生了争吵, 请同学们来评判。

2. 明确概念:什么叫内角?什么叫内角和?

3.问题引入:用什么方法可以知道谁大谁小呢?

揭示课题, 今天我们就来研究三角形的内角和。

二、产生猜想, 操作验证

1. 引发猜想

出示三角板, 师:这两个三角形大家很熟悉, 你能得出他们的内角吗?说说你的方法。

师:你能从学具中找到和这个三角尺一样的三角形吗?

师:你能用这两个完全一样的三角形拼成一个新的三角形吗?它们的内角和是多少度?

生1:可以拼成一个锐角三角形, 内角和是180°。

生2:可以拼成一个钝角三角形, 内角和是180°。

师:这几个三角形形状不一样, 每个角的度数也不一样, 可是它们的内角和都是180°。那么, 针对三角形的内角和, 你会产生怎样的猜想?

生1:所有三角形的内角和可能都是180°。

生2:三角形的内角和不一定都是180°。

无论学生猜想如何, 都开始验证:下面就请同学们小组合作, 合理分工, 利用学具验证你的猜想, 看看三角形的内角和会有怎样的规律?并完成记录单。

2. 分小组测量计算、自主探索

在黑板同步呈现各小组的测量数据, 大屏幕展示学生的测量记录单, 引导学生观察, 让他们观察所有的测量结果, 看看有什么发现。学生通过测量计算, 发现这些三角形的形状都不相同, 但是他们的内角和都差不多, 都接近180°。

3. 利用“撕、拼”操作验证

师:还有其他的验证方法吗?老师想了一个方法, 大家看看是否可行?

教师演示撕、拼的方法, 并用量角器测量证明会形成一个平角。学生动手尝试, 并进行展示。

师:请大家对比测量计算和撕拼的方法, 你更喜欢哪种方法?为什么?

3. 利用几何画板, 再次验证

我们用撕拼的方法证明了三角形的内角和是180°, 但其实在实际操作中很容易产生误差, 为了得到更加准确、肯定的结论, 我们可以借助几何画板进行精确测量, 再次验证我们的结论。

师生共同操作演示几何画板, 提问:仔细观察, 你发现了什么?

生:三角形的形状在变, 三个内角的度数也在变, 但是它们的内角和始终是180°。

师:对, 现在我们就能得到一个很肯定的结论:三角形的内角和是180°。

三、巩固练习

1.计算三角形未知角的度数

2.红领巾的形状是等腰三角形, 其中∠1=110°, 请你计算出∠2= ( ) °, ∠3= ( ) °

3. 把一个三角形沿虚线剪成两个小三角形, 每个小三角形的内角和是多少度?

4. 配玻璃。一块三角形玻璃被突然飞来的小球击碎了, 应该选择哪一块碎玻璃, 就能配出和原来一样大小的玻璃呢?

5. 猜一猜:

用布盖住三角形的两个角, 只露出一个60°的角, 你能判断出这是一个什么三角形吗?

三角形内角和定理 篇10

一、还应关注猜想的空间

任文在师生猜想之前作了铺垫———让学生量出从9个三角形中选出的直角三角形的三个内角的度数, 意在让学生感悟到直角三角形的内角和等于180°, 进而猜测任意三角形的内角和等于180°.其实我们的学生对“直角三角形的内角和等于180°”这一知识并非空白, 甚至有一定的认知基础.为什么呢?原因在于, 四年级上册在角的度量一课的教学中, 教师一般要挖掘学生身边的学习资源, 引导学生量一量文具盒中的特殊三角板三个内角的度数.即使教师没有要求, 也肯定有不少的学生出于兴趣在知道学具三角板中直角的度数等于90°的情况下, 会自然而然地量出另外两个角的度数.笔者于2008年3月曾对某农村学校未学过三角形内角和的四年级两个班109名学生进行调查 (调查前讲清内角和的含义) , 调查的内容是学生独立完成:学具中三角板的内角和 () 度, 任意直角三角形的内角和 () 度 (出示图形) , 任意三角形的内角和 () 度.调查的结果:填对的人数分别是62, 59, 14.可见, 让学生量出直角三角形的三个内角的度数后, 再进行师生的猜测活动, 学生缺少一定的猜想空间.笔者认为, 任文设计中的“激趣”环节应改为:先让学生任选一个三角形, 用量角器量出每个内角的度数后, 再让学生告诉教师同一个三角形中的两个角的度数, 老师猜测第三个角的度数……或者在学生回答三角板内角和的度数的基础上, 直接让学生猜测任意直角三角形内角和的度数, 进而猜测任意三角形内角和的度数.

二、还应关注探究的“支点”

任文在“验证”环节, 让学生以小组为单位, 利用信封中提供的三角形图片纸, 验证其他三角形的内角和是不是180°.学生在交流时汇报了“量角”、“撕角”和“折角”三钟方法.这样的设计, 从“按教材教”的角度分析是无可厚非的, 问题是学生“撕角”和“折角”的验证方法是怎样探究出来的.笔者所听到过的类似任文设计的十余节研讨课和比赛课中, 学生所汇报“撕角”和“折角”的验证方法几乎是书中看来或“家教”提前渗透的结果, 学生所扮演的角色是“操作员”, 起到的作用无非是确认“三角形内角和等于180°”这一猜想的准确性而已, 对学生思维能力的培养丝毫沾不着边.显然这样的定位是肤浅的, 是缺少深度的.笔者认为, “三角形内角和”的教学设计还应为学生提供一个探究的“支点”, 即提供恰当的“拐杖”使学生能想到“撕角”和“折角”的验证方法, 或者能思考先人想到用“撕角”和“折角”的方法来验证的缘由.请看下面的教学片断:

师:请同学们说说你知道的有关图形的度数或图形中所有内角和的度数.

生1:平角等于180° (师画出图形) .

生2:周角等于360°.

生3:长方形的内角和等于360° (师出示图形并板书) .

生4:我们学具中的三角板的内角和等于180°.

师 (出示一个直角三角形) :任意直角三角形的内角和等于几度呢?

生5:任意直角三角形的内角和等于180°.

师:你是怎样想的?

生5:添一条长方形的对角线, 长方形的内角和就分成了两个一样的三角形内角和, 所以任意直角三角形的内角和等于180° (从知识的逻辑体系角度分析, 学生的说理有颠倒之嫌, 但从学生的认知角度分析是属合情的推理) .

师 (出示一个三角形) :任意三角形的内角和等于几度呢?

生:等于180°.

师:请同学们以小组为单位, 利用信封中的图形, 验证一下锐角三角形和钝角三角形的内角和是不是等于180°, 并思考用量之外的其他方法来验证的理由.

学生在汇报时呈现了以下四种方法来验证:第一种是“量角”;第二种是“撕角”;第三种是“折角”;第四种是添一条三角形的内高, 把一个三角形的内角和转化成两个直角三角形的内角和减去两个直角的度数, 还阐述了想到第二种与第三种方法的理由———平角等于180°, 猜想三角形的内角和也是等于180°, 能否通过把三角形的三个内角移在一起与平角比较来验证;想到第四种方法的理由———任意一个非直角三角形都可以通过画内高, 把它变成两个直角三角形, 而直角三角形的内角和等于180°.

三、还应关注数学思想方法的渗透

任文无论是在“探究”环节, 还是在“应用”与“拓展”环节, 无论是设计, 还是评析, 都未涉及“转化”等数学思想的渗透, 这又是美中的一大不足.

数学基础与数学思想方法是数学教学的两条主线.数学基础知识是一条明线, 写在教材里;而数学思想方法是一条暗线, 一般体现在知识的形成过程中.对于数学思想方法教学的重要性, 日本数学家和教育家米山国藏曾经说过:学生在初中或高中所学到的数学知识, 在进入社会后, 几乎没有什么机会应用, 因为作为知识的数学, 通常在出校门不到一两年就忘掉了.然而不管他们从事什么业务工作, 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法, 却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用.而某一数学思想方法要在学生的脑海中“安家落户”, 绝对不是一朝一夕所能做到的.由此可见, 数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事.在进行数学基础知识的教学中, 渗透数学思想与数学方法, 应是小学数学教学一个十分重要的任务.