高中数学必修五不等式

高中数学必修五不等式（共10篇）

篇1：高中数学必修五不等式

第三章 不等式

必修5 3.1 不等关系与不等式

一、教学目标

1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；

2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；

3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点：

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点：

使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程：

（一）导入课题

现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系 我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：

1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点：

1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式ab的含义.不等式ab应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一个正确，则ab正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab<0a

1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数；

（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”； 解：（1）ab0；（2）h4.2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用

不等式表示上述关系（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解：由题意知5010ab60,5010ab60,5011a260

ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7<0, ∴（a+3）（a-5）<（a+2）（a-4）.（三）提升训练

1.比较x23与3x的大小，其中xR.222233333解：x33xx3x3x3x3x

24422220，x233x.方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x，y，则x，2x5y20,y应满足关系式xN，yN.3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的，白球与黑球的个数之和至少

为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（x,y,zN*）.yxz,解：32

yz55.（四）课后巩固

p74练习题：1,2.p75习题3.1 A组：1,2.4

篇2：高中数学必修五不等式

班级姓名座号分数

一、选择题

1、若ab0,下列不等式成立的是()

A a

2b2Ba

2abC

ba

1D

1a



1b2、若xy,mn,下列不等式正确的是()

AxmynBxmynCxyn

m

Dmynx3、设a0,1b0,那么下列各式中正确的是()

Aaabab

2Bab

2abaCabaab2 Dabab

a4、若角,满足



2



2,则的取值范围是()

A(,0)B(,)C(

3

2,2)D(0,)

5、不等式2x3x20的解集是A{x|-1＜x＜3}B{x|x＞3或x＜-1} C{x|-3＜x＜1}D{x|x>1或x＜-3}

6、二次不等式ax

2bxc0的解集是全体实数的条件是A a0a0a0a00BC0D0



07、设xy0,则下列各式中正确的是()

Ax

xyxy

2xyyBy

2xyx Cxxy2

y

xyDy

xy2



xyx8、已知x,yR,2xy2,cxy,那么c的最大值为()

A 1B 1C

222

D

4-1-

（））

（9、下列不等式的证明过程正确的是()A 若a,bR,则b

aa

b2ba2B 若x,yR,则lgxlgy2lgxlgy ab

xC 若xR,则x

4x2x4 D 若x

R,则2x2x

210、设a,b为实数且ab3,则2a2b的最小值是()A 6B 42C 22D 2611、不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的()

A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方

12、在直角坐标系内，满足不等式x-y≥0的点(x,y)的集合(用阴影表示)是（）

二、填空题（44=16分）

13、不等式x2x30的解集是_________。

x4y

3

14、数x,y满足3x5y25，则z2xy的最大值是，最小值是。

x1

15、三角形三边所在直线方程分别为3x4y30,y3,12x5y330,用不等式组表示三角形内部区域（包含边界）为.16、不等式

2-22x2x1x12的最小值.（10分）

20、已知1ab5,1ab3，求3a2b的取值范围。（10分）

21、下表给出了甲、乙、丙三种食物的维生素A，B的含量和成本,营养师想购买这三种食物共10kg，使之所含的维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，(1)试用所购买的甲、乙两种食物的量表示总成本；

篇3：高中数学不等式解法探讨

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号 (“>”、“<”等符号) 连接的两个数或代数式, 并表示它们之间不等的关系, 这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种:

1.一元一次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式:含有两个未知数且未知数的最 高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式:未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式:含有分式且分母中含有未知数的不 等式.

6.无理不等式:含有根号且根号中含有未知数的不等 式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

当a<0时, 可以在不等式的两边同时乘以-1, 从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

在用这种方法解不等式时, 首先要求不等式的右边为零, 左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小, 在线轴上标根时要考虑根的大小, 而不是根的距离;其次曲线要从左上方开始;最后遇到重根时, 奇次重根则要穿透线轴, 偶根穿而不透, 做到“奇穿偶回”.写不等式解集时, 应做到:遇“=”取根, 无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式, 都应通过变形将其变为“左边分式, 右边为0”的形式.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知, 解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号, 一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

(1) 平方法

当不等式两边都是非负数时, 可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

三、结语

为了提高不等式教学的效果, 教师在教学过程中要做到以下几点: (1) 明确教学目标.让学生通过学习感受现实世界的不等关系, 理解不等式所表达的意义[5].具体教学目标是:要求学生学会解一元二次不等式, 并能运用不等式知识解决一些实际问题;其次能够刻画简单的函数图像和线性规划.根据要求掌握不等式的教解方法; (2) 树立新的教学思想, 转变过去“填鸭式”的教学方法, 以启发性教学为主, 培养学生解决问题的能力; (3) 注重数形结合方法的运用.数与形是数学学习的必备工具, 通过数形结合来处理数学问题, 可以将抽象问题具体化.如在讲解“不等式的解法”中, 采用与函数图像相结合的方法, 画出不等式的解集.借助几何图形帮助学生具象地了解不等式的背后的关系[6]. (4) 注重数学思想在不等式教学中的运用.因为数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度概括的认识, 对数学教学具有指导意义.

相信通过教师不断地探索不等式的教学方法, 可以很好地帮助学生学习和掌握不等式知识.

参考文献

[1]韩瑞.高中数学新课程中“不等式选讲”专题有效教学策略研究[D].兰州:西北师范大学, 2011.

[2]刘瑞.在不等式教学中渗透数学思想[J].新课改革, 2011 (6) :456.

[3]王铭炜.建构观下的中学数学教学研究[J].长沙:湖南师范大学, 2012.

[4]庄梅, 潘振嵘.高中新课程集合与不等式教学刍议[J].中学数学月刊, 2010 (6) :245-255.

[5]梁松林.关于高中数学不等式教学的几点建议[J].新课程学习, 2011 (1) :12.

篇4：高中数学不等式解法探讨

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是数学知识的重要组成部分，是数学对现实世界中不等关系的反映，是学生以后研究数量大小关系的基础，也是学习数学和其他学科的基础.加强不等式的解法指导，提高不等式的教学效果，可以很好地提高学生的数学能力.下面笔者就此谈谈几点体会.

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号（“>”、“<”等符号）连接的两个数或代数式，并表示它们之间不等的关系，这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种：

1.一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有两个未知数且未知数的最高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式：未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知数的不等式.

6.无理不等式：含有根号且根号中含有未知数的不等式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0两种形式.在高中解一元二次不等式时，应该结合一元二次函数[2]，利用二次函数的图像帮助学生理解不等式的解集.如，当a>0时，一元二次不等式解集如下：（1）当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根，且x10的解集为{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集为{x10的解集为{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集为；（3）当Δ<0，方程ax2+bx+c=0无实根，不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集为.

当a<0时，可以在不等式的两边同时乘以-1，从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

一元高次不等式为f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），当x>xn时，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲线在x轴下方的负区间则是f（x）<0的解集，这就是根轴法解一元高次不等式[3].

在用这种方法解不等式时，首先要求不等式的右边为零，左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小，在线轴上标根时要考虑根的大小，而不是根的距离；其次曲线要从左上方开始；最后遇到重根时，奇次重根则要穿透线轴，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.写不等式解集时，应做到：遇“=”取根，无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式，都应通过变形将其变为“左边分式，右边为0”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化为3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根为xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集为{x∣x<-1/2或14}.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知，解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号，一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

（1）平方法

当不等式两边都是非负数时，可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集为{x∣0

（2）讨论法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根据不等式的意义可知.当x<0或者x=0时，这个不等式是恒成立的.所以我们要讨论x>0的情况.

当x>0时，不等式可化为x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

篇5：高中数学必修五不等式

【三维目标】：

一、知识与技能

1.使学生掌握高次不等式的解法及分式不等式的解法； 2.掌握利用图象求解一元二次不等式的方法；

二、过程与方法

三、情感、态度与价值观

掌握数形结合的思想方法 【教学重点与难点】：

重点：高次不等式的解法及分式不等式的解法； 难点：高次不等式的解法及分式不等式的解法； 【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

问题：对于高次不等式及分式不等式如何求解

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 解下列不等式：

（1）9x1)(x1)(x2)(x3)0；（2）(x2)(x2x1)0；（3）(x2)2(x1)0；（4）(x2)2(x1)0；（5）(x21)(x25x6)0；

小结：高次不等式的求解步骤：

①分解因式并化各因式系数为正； ②在数轴上标根（注意空心还是实心）； ③穿线（从右上方开始，奇穿偶回）； ④写出解集（注意不等式方向及有无等号）

x23x2例2 解下列不等式：20

x2x3说明：解分式不等式的解题思路：向整式转化，注意同解变形．

四、巩固深化，反馈矫正 1.解下列不等式：

（1）(x21)(x1)(x2x2)0；（2）(x1)2(x2)2(x1)0；（3）(x1)2(x2x2)0 2.解下列不等式：（1）x21182x71； ；（2）2x10x10x3x2 1

(3x2)(x2)(2x2)(x2)(x1)(x1)2(x2)3（3）；（4）0(x4)2(x4)

2五、归纳整理，整体认识 1．高次不等式的求解方法：

2．分式不等式的求解方法：

六、承上启下，留下悬念 1．解下列不等式：

（1）(x1)2(x1)(x4)0；（3）(x2)(x1)2(x1)3(3x)0；（5）x14x1；（7）2x1x32x13x2；

七、板书设计（略）

八、课后记：

(x3)4(x4)5(x5)62）(x2)(x1)2(x1)3(3x)0； 4）(x21)(x1)(x2x2)0；

3x26）14x14x26x81 8）(x1)2(x2)(x3)(x4)0 2

篇6：高中数学必修五不等式

一、不等关系是普遍存在的问题1．限速10km/h 的路标，指示司机前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过10km/h.写成不等式是.问题2：设点A与平面的距离为d, B 为平面上的任意一点，则可得到不等式.d≤|AB| 必修5 第74 页问题1 今天的天气预报说：明天早晨最低温度为9℃，明天白天的最高温度为16℃，那么明天白天的温度t℃满足什么关系？

二、用不等式（组）来表示不等关系答案：9≤t≤16

二、用不等式（组）来表示不等关系问题2 某种杂志原以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元销售量就可能相应减少2000 本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢？问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种规格。按照生产的要求，600mm 的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：设截得500mm 的钢管x根，截得600mm 的钢管y根

二、用不等式（组）来表示不等关系练习1：某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.练习2: 学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19 人，如果每间住6人，只有一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数.问题4 b 克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式.答案：

二、用不等式（组）来表示不等关系

三、不等式基本原理ab = 0 <=> a = b a-b < 0 <=> a < b 归纳逻辑过程：练习：

篇7：高中数学必修五不等式

通过一个实际的问题情景抽象出二元一次不等式组，提出本节要研究的主要问题，即：如何确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域.并通过一个具体的例子讨论直线l把直角坐标平面分成三部分的点的坐标所满足的数量特征，让学生通过解决例1，抽象概括出一般结论，通过例3让学生掌握如何画出不等式组表示的平面区域.例4和例5是本节内容在实际问题中的应用.三维目标

1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；

教学难点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域。

教学建议：

本小节蕴涵了充分利用信息技术的可能性，建议在教学中利用几何画板、图形计算器等工具进行教学，以得到生动形象的教学效果.作为新内容第一节课，一定按教学梯度进行，通过五步：思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，这样可以分散难点，层层递进，突出重点，学生易于接受.设计方法时，一定要注意启发到位.新课导入设计

导入一

[实例导入] 一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需要支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？

设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意x不小于240，y不小于180，x与y之和不

xy500

超过500，用不等式组可表示为x240

y180.如果将上述不等式组的一个解(x,y)视作平面直角坐标系上的一个点，那么使问题转化为确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域，由此展开新课.导入二

篇8：高中数学中不等式的向量证明

关键词：不等式,向量方向,构造则新

向量已进入中学数学, 它的进入为中学生提供了一种有别于数域的新的代数结构的模型, 它不但揭示了数学知识之间的纵横联系, 进一步发展和完善了中学数学知识结构体系, 而且也拓宽了研究和解决问题的思维空间.同时也为激发和培养学生探索精神、创新意识提供了一个崭新的平台.如何将向量的有关内容与中学数学的传统内容融会贯通、互为所用也就成为中学数学教学所面临的新的课题.

不等式是中学数学的重要内容之一, 对它的研究也几乎贯穿在整个中学数学中.本文试图构造向量对高中数学中有关不等式给出证明, 并在此基础上对所证不等式予以推广.

引理 设α, β是两个非零向量, 则|α·β|2≤|α|2|β|2, 当且仅当α, β共线时取等号.

证明略.

题1 (文献[1]第21页) 已知a, b都是正数, a≠b, 求证a3+b3>a2b+ab2.

证明 所给不等式等价于

$\frac{a{}^2}{b}+\frac{b{}^2}{a}＞a+b.(1)$

设$\mathit{m}=\left(\frac{a}{\sqrt{b}}‚\frac{b}{\sqrt{a}}\right)‚\mathit{n}=(\sqrt{b}‚\sqrt{a})$, 则由引理可得

$(a+b){}^2＜\left(\frac{a{}^2}{b}+\frac{b{}^2}{a}\right)(a+b).$

从而不等式 (1) 得证.

类似地, 若设

$\begin{array}{l}\mathit{m}=\left(\frac{a{}_1}{\sqrt{a{}_2}}‚\frac{a{}_2}{\sqrt{a{}_3}}‚\cdots ‚\frac{a{}_n}{\sqrt{a{}_{n+1}}}\right)‚\\ \mathit{n}=(\sqrt{a{}_2}‚\sqrt{a{}_3}‚\cdots ‚\sqrt{a{}_{n+1}})‚\end{array}$

规定a1=an+1, 可证得 (1) 的推广:

推广1 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, 则有${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{a{}_i^2}{a{}_{i+1}}}＞{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i$ (规定a1=an+1)

题2 (文献[1]第23页) a, b, c>0, 且不全相等, 求证a (b2+c2) +b (c2+a2) +c (a2+b2) >6abc.

观察欲证不等式的特点, 发现其等价于

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}＞6.(2)$

而要证明 (2) , 只需证明

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)＞9.(3)$

证明 设$\mathit{m}=(\sqrt{a}‚\sqrt{b}‚\sqrt{c})‚\mathit{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}‚\frac{1}{\sqrt{b}}‚\frac{1}{\sqrt{c}}\right)$, 由引理知不等式 (3) 显然成立.类似地证明又可得 (2) 的推广:

推广2 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, n≥2, 且${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i=k$, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{k-a{}_i}{a{}_i}}＞n(n-1).$

题3 (文献[1]第41页) 已知a, b, c是互不相等的正数, 求证

$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}＞\frac{9}{a+b+c}.$

证明 显然不等式等价于

$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＞\frac{3}{2}.(4)$

$\begin{array}{l}\text{设}\mathit{m}=\left(\sqrt{\frac{c}{a+b}}‚\sqrt{\frac{a}{b+c}}‚\sqrt{\frac{b}{c+a}}\right)‚\mathit{n}=\left(\sqrt{\frac{a+b}{c}}‚\sqrt{\frac{b+c}{a}}‚\sqrt{\frac{c+a}{b}}\right)‚\text{同}\text{样}\text{由}\text{引}\text{理}\text{可}\text{得}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)＞9‚\\ \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＞\frac{9}{\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)}.\end{array}$

再据题2可得 (4) 成立.

类似地证明可得 (4) 的推广:

推广3 设ai>0且互不相等, i=1, 2, …, n, n≥2, 又${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i=k$, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{a{}_i}{k-a{}_i}}＞\frac{n}{n-1}.$

题4 (文献[1]第35页) 已知a, b为实数, 证明

(a4+b4) (a2+b2) ≥ (a3+b3) 2. (5)

证明 设m= (a2, b2) , n= (a, b) , 由引理可得 (5) .类似地证明可得 (5) 的推广:

推广4 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, n≥2, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^4{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^2＞\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^3\right){}^2.$

题5 (文献[1]第25页) , 已知a, b, c>0, 求证$\frac{a{}^{2}b{}^2+b{}^{2}c{}^2+c{}^{2}a{}^2}{a+b+c}\ge abc.$

要证的不等式可以化为

a2b2+b2c2+c2a2≥a2bc+b2ac+c2ab. (6)

证明 设m= (ab, bc, ca) , n= (ac, ba, cb) , 由引理即得 (6) .类似地证明可得 (6) 的推广:

推广5 设ai>0, i=1, 2, …, n, n≥2, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^{2}a{}_{i+1}^2\ge {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^{2}a{}_{i+1}a{}_{i+2}$, 规定an+k=ak, k=1, 2.

题6 (文献[1]第41页) 设x1, x2, x3, …, xn∈R+, 且x1+x2+x3+…+xn=1, 求证

$\frac{x{}_1^2}{1+x{}_1}+\frac{x{}_1^2}{1+x{}_2}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{1+x{}_n}\ge \frac{1}{n+1}.(7)$

证明 设$\mathit{m}=(\frac{x{}_1}{\sqrt{1+x{}_1}}‚\frac{x{}_2}{\sqrt{1+x{}_2}}‚\cdots ‚\frac{x{}_n}{\sqrt{1+x{}_n}})‚\mathit{n}=(\sqrt{1+x{}_1}‚\sqrt{1+x{}_2}‚\cdots ‚\sqrt{1+x{}_n})$, 由引理得

$\begin{array}{l}1=(x{}_1+x{}_2+\cdots +x{}_n){}^2\\ \le \left(\frac{x{}_1^2}{1+x{}_1}+\frac{x{}_2^2}{1+x{}_2}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{1+x{}_n}\right)({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i+n)‚\end{array}$

即 (7) 式得证.类似地证明可得 (7) 的推广:

推广6 (第二十四届全苏数学奥林匹克试题) 设x1, x2, x3, …, xn∈R+, 且x1+x2+x3+…+xn=1, 则

$\frac{x{}_1^1}{x{}_1+x{}_2}+\frac{x{}_2^2}{x{}_2+x{}_3}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{x{}_n+x{}_1}\ge \frac{1}{2}.$

推广7 (1991年亚太地区数学竞赛题) 设x1, x2, …, xn;y1, y2, …, yn都是正实数, 且${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x}{}_k={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}y}{}_k$, 则有${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{x{}_k^2}{x+y{}_k}}\ge \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x}{}_k.$

题7 (文献[1]第40页) 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明

a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da. (8)

证明 设m= (a, b, c, d) , n= (b, c, d, a) , 由引理即得 (8) .类似地可得 (8) 的推广:

推广8 设x1, x2, …, xn是不全等的正数, 则有${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i^2＞{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{i}x{}_{i+1}$ (规定xn+1=x1) .

参考文献

篇9：高中数学必修五不等式

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

篇10：高中数学必修五《海伦公式探究》

背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。

过程：海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。

如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。

证明Ⅰ：

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变

a2b2c2形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：cosC

2abS1absinC① 21ab1cos2C② 21(a2b2c2)2③ ab12224ab141414144a2b2(a2b2c2)④

(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤ [(ab)2c2][c2(ab)2]⑥

(abc)(abc)(abc)(abb)⑦

abb 2abcabcabc,pb,pc, 则pa222设p上式(abc)(abc)(abc)(abc)

16p(pa)(pb)(pc)

所以，S△ABC

p(pa)(pb)(pc)

证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为：

原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积．

证明：如 图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22又 h=b-u，三角形面积=a．h/2

此即：，其中c>b>a.将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的 所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =

1(a+b+c),则 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R­­­­2sinAsinBsinC =

=p(pa)(pb)(pc)

p(pa)(pb)(pc)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记其中，S△ABC =载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的变形

S=p(pa)(pb)(pc)

(abc)(abc)(acb)(bca)

① [(ab)2c2][c2(ab)2] ②(a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)] ③ 4a2b2(a2b2c2)④ 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =

证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =导出海伦公式。

1aha入手，运用勾股定理推2

证二：根据斯氏定理证明。

根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：

｛已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积｝

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形(pa)(pb)(pc)(pd)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）

代入解得s83

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p==(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

abcd,则S

2四边形

SEABfbb2e∴== = aefcdS四边形ABCDd2b2解得： e =b(abcd)b(adbc)① f = ②

d2b2d2b2d2b2由于S四边形ABCD =S△EAB

b2b(d2b2)将①，②跟b =代入公式变形④，得：22db

所以，海伦公式的推广得证。

三、海伦公式的推广的应用

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。

例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =求：四边形可能为等腰梯形。解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：