高中数学不等式选讲

高中数学不等式选讲（精选10篇）

篇1：高中数学不等式选讲

人教数学（A版）培训手册之三十九──“不等式选讲”简介

人教A版普通高中数学课程标准实验教科书（选修4-5）《不等式选讲》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的选修4系列第5专题“不等式选讲”的要求编写的。根据课程标准，本专题介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用

一、内容与要求1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。（1）证明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）证明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）证

明：

≥。4．用22222参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：5．用向量递归方法讨论排序不等式。6．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

8．会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。9．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

二、内容安排 本专题内容分成四讲，结构如下图所n

示：

本专题的内容是在初中阶段掌握了不等式的基本概念，学会了一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，多数学生在学习高中必修课五个模块的基础上展开的．作为一个选修专题，教科书在内容的呈现上保持了相对的完整性．第一讲是“不等式和绝对值不等式”，它是本专题的最基本内容，也是其余三讲的基础．

本讲的第一部分类比等式的基本性质，从“数与运算”的基本思想出发讨论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则．接着讨论基本不等式，介绍了基本不等式的一个几何解释：“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”，并把基本不等式推广到三个正数的算术—几何平均不等式．对于一般形式的均值不等式，则只作简单介绍，不给出证明．在此基础上，介绍了它们在解决实际问题中的一些应用，如最基本的等周问题，简单的极值问题等。第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值的不等式具有重要的意义．

绝对值三角不等式是一个基本的结论，教科书首先引导学生借助于实数在数轴上的表示和绝对值的几何意义，引导学生从数的运算角度探究归纳出绝对值三角不等式，接着联系向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式的几何解释，最后用代数方法给出证明．这样，数形结合，引导学生多角度认识这个不等式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三角不等式可以解决形如的函数的极值问题，教科书安排了一个这样的实际问题

对于解含有绝对值的不等式，教科书只讨论了两种特殊类型不等式的解法，而不是系统地对这个问题进行研究。教科书引导学生探讨了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．学生通过这两类含有绝对值的不等式能够基本学到解含有绝对值的不等式的一般思想和方法。第二讲是“证明不等式的基本方法”．对于不等式的深入讨论必须首先掌握一些基本的方法，所以本讲内容也是本专题的一个基础内容。本讲通过一些比较简单的问题，介绍了证明不等式的几种常用而基本的方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法． 比较法是证明不等式的最基本的方法，比较法可以分为两种，一种是相减比较法，它的依据是：

另一种是相除比较法，是把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系，它的依据是：当b＞0

时，在比较法的两种方法中，相减比较法又是最基本而重要的一种方法。在证明不等式的过程中，根据对于不等式的条件和结论不同探索方向作分类，证明方法又可以分为分析法和综合法。在证明不等式时，可以从已知条件出发逐步推出结论的方法是综合法；寻找结论成立的充分条件，从而证明不等式的方法就是分析法．证明不等式的方法还可以分为直接证法和间接证法，反证法是一种间接证法．它从不等式结论的反面出发，即假设要证明的结论不成立，经过正确的推理，得出矛盾结果，从而说明假设错误，而要证的原不等式结论成立

在证明不等式的过程中，有时通过对不等式的某些部分作适当的放大或缩小达到证明的目的，这就是所谓的放缩法． 教科书对以上方法都结合实例加以介绍。本讲内容对进一步

讨论不等式提供了思想方法的基础． 本讲的教学内容中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。第三讲是“柯西不等式和排序不等式”．本讲介绍两个基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它们的简单应用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用。在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式。接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明。教科书在讨论排

序不等式时，展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是数学课程标准正式引入到高中数学教学中。第四讲是“数学归纳法证明不等式”．本讲介绍了数学归纳法及其在证明不等式中的应用．对于某些不等式，必须借助于数学归纳法证明，所以在不等式选讲的专题中安排这个内容是很有必要的。教科书首先结合具体例子，提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题．然后，类比多米诺骨牌游戏，引入用数学归纳法证明命题的方法，并分析了数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题（两个步骤缺一不可）．接着举例说明数学归纳法在证明不等式中的应用，特别地，证明了贝努利不等式。本专题的教学重点：不等式基本性质、基本不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用； 教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式；

本专题教学约需18课时，具体分配如下（仅供参考）第一讲 不等式和绝对值不等式

一、不等式约３课时

二、绝对值不等式约２课时第二讲 证明不等式的基本方法

一、比较法约1课时

二、综合法与分析法约2课时

三、反证法与放缩法约1课时

第三讲 柯西不等式与排序不等式一、二维形式的柯西不等式约1课时二、一般形式的柯西不等式约1课时

三、排序不等式约2课时

第四讲 数学归纳法证明不等式

一、数学归纳法约2课时

二、用数学归纳法证明不等式约2课时

学习总结报告约1课时

三、编写中考虑的几个问题

根据课程标准，本专题应该强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，我们在教科书的编写中努力去实现课程标准的思想。

(一)重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解

数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面，不等式则是从数量关系的角度来刻画现实世界的。我们一般借助于代数方法证明不等式。代数证明要经过一系列的变形，人们常常不能很直接地看出其中的数量关系。而借助于几何的方法，把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来，则往往能很好地指明不等关系，使学生从几何背景的角度，直观地，从而也是直接地理解不等式。本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教科书注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质。如对于是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量和三角形中的边长关系，柯西不等式是借助于向量运算，排序不等式是借助于三角形的面积。这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径

(二)重视数学思想方法的教学

数学思想是对于数学知识（数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握。本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化的思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教科书都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会。

(三)重视引导学习方式和教学方式的改进

在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够。学生的问题意识不强，发现问题的能力不强，独立地解决问题的能力也不强。针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生通过类比提出问题及其解决方法，对于数学结论进行特殊化、作推广。例如，在讲述了基本不等式以后，教科书就提出了一个思考问题：“对于三个正数会有怎样的不等式成立呢？”在证明了关于三个正数的均值不等式以后，又直接给出了一般的均值不等式；在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究。”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见。

(四)注意发展数学应用意识

重要不等式在许多实际问题中可以得到应用，在实际工作中常常能起到节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本专题中，教科书注意体现数学在实际工作中的广泛应用，编写了一些体现数学应用的例、习题。如经典的等周问题、盒子体积问题、施工队临时生活区选点问题、关于面积和体积的最值问题。通过这些简单的应用问题，使学生体会数学在实践中的作用。

四、对教学的几个建议

(一)注意把握教学要求

无论是不等式还是数学归纳法，都已经发展成为内容非常丰富的初等数学分支，也出版了一些专门的论著，老师们对于这些内容一般都有丰富的教学经验，很容易把这些内容作一

些拓展和补充。所以，在这个专题的教学中，要特别注意把握好教学要求，不要随意提高教学要求，而应该按照数学课程标准的要求来控制教学的深广度。课程标准对于本专题的几个教学内容都明确的教学要求，如：对于解含有绝对值的不等式，只要求能解几种特殊类型的不等式，不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式。对于数学归纳法在证明不等式的要求也只要求会证明一些简单问题。只要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法，会利用所学的不等式证明一些简单不等式，等等。

另外，在不等式和数学归纳法的许多问题中，常常需要一些技巧性比较强的恒等变形，在本专题的教学中则要控制这方面的教学要求，不要使教学陷于过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中，教学中不要补充一些代数恒等变形过于复杂或过于技巧化的问题和习题，以免冲淡对于基本思想方法的理解，也不要引入一些过于专业和形式化、抽象化的数学符号语言，对于数学归纳法的理解，不必要求学生对于方法的理解水平提高到专业数学工作者才需要的数学理论高度，而只需要通过一些学生容易理解的数学问题中加深对于方法的理解和掌握。对于大多数的学生来说，要重视通过比较简单的问题让学生认识、理解和掌握这部分的基本数学思想和方法。

当然，对于部分确有余力的学生，仍可以适当对于教学内容作一些拓展，如可以介绍一般的均值不等式的证明及其应用，以使学生对于这一重要不等式有一个比较完整的了解。

(二)要抓住教学重点

无论对于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，还是解含有绝对值的不等式，不等式证明的方法，或数学归纳法的教学，都要抓住教学重点，抓住基本思想基本方法的教学，力求以简驭繁。对于几个重要不等式，最基本的是二元(二维)的情况，核心的思想也是在二元(二维)的不等式中得到直接的体现；对于不等式的证明的最基本的方法是比较法；解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；让学生能对数学归纳法思想真正理解和掌握，就能使学生灵活地加以应用。这样，学生就能掌握本专题最基本也是最重要的知识。

篇2：高中数学不等式选讲

课 题：

不等式的基本性质

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0 abab0 abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么nanb(nN，且n>1)。

课 题：

含有绝对值的不等式的证明

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab（3）abab（4）

aba(b0)b请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和

aba(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而b绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？

显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。

所以，abab。

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。

cc例

4、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

课 题：

含有绝对值的不等式的解法

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。例

5、已知xx，如果x0 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是，如{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a）图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。课 题：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“=”）

证明：a2b22ab(ab)2

当ab时，(ab)2022ab2ab 2当ab时，(ab)01．指出定理适用范围：a,bR 强调取“=”的条件ab。

2、定理2：如果a,b是正数，那么

ab）ab（当且仅当ab时取“=”证明：∵(a)2(b)22ab ∴ab2ab

即：ababab 当且仅当ab时 ab 22 注意：1．这个定理适用的范围：aR；

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果a,b,cR，那么a3b3c33abc（当且仅当abc时取“=”）

证明：∵a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abc

(abc)[(ab)2(ab)cc2]3ab(abc)

(abc)[a22abb2acbcc23ab] (abc)(a2b2c2abbcca)

1(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2] 2∵a,b,cR ∴上式≥0 从而a3b3c33abc 指出：这里a,b,cR ∵abc0就不能保证。

推论：如果a,b,cR，那么

abc3（当且仅当abc时取“=”）abc。证明：(3a)3(3b)3(3c)333a3b3c

abc33abc

abc3abc

34、算术—几何平均不等式： ①．如果a1,a2,,anR,n1且nN 则：na1a2an叫做这n个正数的算术平均数，na1a2an叫做这n个正数的几何平均数；

②．基本不等式： a1a2an≥na1a2an（nN*,aiR,1in）

n这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

ab③．ab的几何解释：

2以ab为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则CD2CACBab，ab从而CDab，而半径CDab。

2课 题：

不等式的证明方法之一：比较法

课 题：

不等式的证明方法之二：综合法与分析法 课 题： 不等式的证明方法之三：反证法

课 题：

不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式

篇3：高中数学不等式解法探讨

一、不等式的概念及形式

所谓不等式就是由数学符号 (“>”、“<”等符号) 连接的两个数或代数式, 并表示它们之间不等的关系, 这个式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下几种:

1.一元一次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为一次的不等式.

2.一元二次不等式:含有一个未知数并且未知数的 最高次数为二次的不等式.

3.二元一次不等式:含有两个未知数且未知数的最 高次数均为一次的不等式.

4.高次不等式:未知数的最高次数大于2的不等式.

5.分式不等式:含有分式且分母中含有未知数的不 等式.

6.无理不等式:含有根号且根号中含有未知数的不等 式.

下面简单分析、探讨高中数学部分不等式的解法.

二、不同类型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

当a<0时, 可以在不等式的两边同时乘以-1, 从而转化为a>0时来解.

2.根轴法解一元高次不等式

在用这种方法解不等式时, 首先要求不等式的右边为零, 左边因式的最高次项的系数要为正.同时要分清方程根的大小, 在线轴上标根时要考虑根的大小, 而不是根的距离;其次曲线要从左上方开始;最后遇到重根时, 奇次重根则要穿透线轴, 偶根穿而不透, 做到“奇穿偶回”.写不等式解集时, 应做到:遇“=”取根, 无“=”不取.

3.分式不等式的解法

无论何种分式不等式, 都应通过变形将其变为“左边分式, 右边为0”的形式.

4.含绝对值的不等式的解法

众所周知, 解含有绝对值的不等式关键就是要去绝对值符号, 一般方法主要有公式法、零点区间讨论法和平方法[4].

(1) 平方法

当不等式两边都是非负数时, 可以进行平方处理且不等号的方向不会发生改变.

三、结语

为了提高不等式教学的效果, 教师在教学过程中要做到以下几点: (1) 明确教学目标.让学生通过学习感受现实世界的不等关系, 理解不等式所表达的意义[5].具体教学目标是:要求学生学会解一元二次不等式, 并能运用不等式知识解决一些实际问题;其次能够刻画简单的函数图像和线性规划.根据要求掌握不等式的教解方法; (2) 树立新的教学思想, 转变过去“填鸭式”的教学方法, 以启发性教学为主, 培养学生解决问题的能力; (3) 注重数形结合方法的运用.数与形是数学学习的必备工具, 通过数形结合来处理数学问题, 可以将抽象问题具体化.如在讲解“不等式的解法”中, 采用与函数图像相结合的方法, 画出不等式的解集.借助几何图形帮助学生具象地了解不等式的背后的关系[6]. (4) 注重数学思想在不等式教学中的运用.因为数学思想是对数学知识理性的、本质的、高度概括的认识, 对数学教学具有指导意义.

相信通过教师不断地探索不等式的教学方法, 可以很好地帮助学生学习和掌握不等式知识.

参考文献

[1]韩瑞.高中数学新课程中“不等式选讲”专题有效教学策略研究[D].兰州:西北师范大学, 2011.

[2]刘瑞.在不等式教学中渗透数学思想[J].新课改革, 2011 (6) :456.

[3]王铭炜.建构观下的中学数学教学研究[J].长沙:湖南师范大学, 2012.

[4]庄梅, 潘振嵘.高中新课程集合与不等式教学刍议[J].中学数学月刊, 2010 (6) :245-255.

[5]梁松林.关于高中数学不等式教学的几点建议[J].新课程学习, 2011 (1) :12.

篇4：不等式选讲

1. 已知[x，y∈R+]满足[x2+y2=1]，则[1x+1y]的最小值为（ ）

A. [357] B. [2]

C. [5] D. [22]

2. 已知一元二次不等式[f（x）<0]的解集为[xx<-1或x>12]，则[f10x>0]的解集为（ ）

A. [xx<-1或x>lg2]

B. [x-1

C. [xx>-lg2]

D. [xx<-lg2]

3. 若[2x+3y+5z=29，]则函数[u=2x+1+][3y+4+5z+6]的最大值为（ ）

A. [5] B. [215]

C. [230] D. [30]

4. 设正实数[x，y，z]满足[x2-3xy-4y2-z=0]，则当[xyz]取得最大值时，[2x+1y-2z]的最大值为（ ）

A. 0 B. 1 C. [94] D. 3

5. 已知[2x2+3y2+6z2-a=0]，[x+y+z+2-a][=0]，则实数[a]的取值范围为（ ）

A. [1，4] B. [-∞，1?4，+∞]

C. [1，4] D. [-∞，1?4，+∞]

6.不等式[x-1+x+2≥5]的解集为（ ）

A.[-∞，-2?2，+∞]

B.[-∞，-1?2，+∞]

C.[-∞，-2?3，+∞]

D.[-∞，-3?2，+∞]

7.设变量[x，y]满足[x+y≤1]，则[x+2y]的最大值和最小值分别为（ ）

A.1，-1 B.2，-2

C.1，-2 D.2，-1

8.设不等的两个正数[a，b]满足[a3-b3=][a2-b2]，则[a+b]的取值范围是（ ）

A. [（1，+∞）] B. [（1，43）]

C. [[1，43]] D. [（0，1）]

9.函数[f（x）=1-cos2x+cosx，]则[f（x）]的最大值是（ ）

A. [3] B. [2] C. [1] D. [2]

10.若[n>0]，则[n+32n2]的最小值为（ ）

A.2 B. 4 C.6 D.8

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 设[2x+3y+4z=22，（x，y，z>0）]，则[2x+3y+][9z]的最小值是 ，此时[x=] ，[y=] ，[z=] .

12. 已知[x，y，z]均为正数，[1x+1y+1z=1]，则[xyz+yzx+zxy]的最小值是 .

13. 已知[a，b，c∈R，a+2b+3c=6，]则[a2+4b2+][9c2]的最小值为 .

14. 设[x，y，z∈R]，且满足：[x2+y2+z2=1]，[x+2y+3z=14]，则[x+y+z=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）已知[a，b，c∈R+]，利用柯西不等式证明：[9a+b+c≤21a+b+1b+c+1c+a].

16. （10分）已知：[a，b，c∈R+]，[a+b+c=1]，

证明：[1a-11b-11c-1≥8].

17. （12分）设[an]是由正数组成的等比数列，[Sn]是其前[n]项和，证明：[lgSn+lgSn+22

18. （12分）已知：[a，b∈0，1]，

证明：[（1-a）b，1-bc，1-ca]不能都大于[14].

篇5：高中数学不等式选讲

一、填空题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）若关于实数x的不等式

x5x3a无解,则实数a的取值范围是_________

【答案】,8

错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题)已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1,mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.【答案】

2错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式x211的解

集为_________

【答案】0,4

2错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））设x,y,zR,且满足:xy2z2

1,x2y3z则xyz_______.【答案】

二、解答题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲7

设a,b,c均为正数,且abc1,证明: a2b2c21(Ⅰ)abbcca;(Ⅱ)1.bca

3【答案】

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲

已知函数fxxa,其中a1.(I)当a=2时,求不等式fx4x4的解集;

(II)已知关于x的不等式f2xa2fx2的解集为x|1x2,求a的值.【答案】



错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲:设不等式

31x2a(aN*)的解集为A,且A,A.2

2(1)求a的值;

(2)求函数f(x)xax2的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为3131A,且A,所以2a,且2a2222

解得13a,又因为aN*,所以a1 [来源:] 22

(Ⅱ)因为|x1||x2||(x1)(x2)|3

当且仅当(x1)(x2)0,即1x2时取得等号,所以f(x)的最小值为3

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学））D.[选修4-5:不定式选

讲]本小题满分10分.3322已知ab>0,求证:2ab2abab

[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.【答案】D证明:∵2ab2abab33222a32ab2(a2bb3)2aa2b2b(a2b2)

a2b2(2ab)(ab)(ab)(2ab)

又∵ab>0,∴ab>0,ab02ab0,∴(ab)(ab)(2ab)0

∴2ab2abab0

∴2ab2abab

错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲 33223322

已知函数f(x)=|2x1||2xa|,g(x)=x3.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)

(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[a1,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2

2【答案】当a=-2时,不等式f(x)

其图像如图所示

从图像可知,当且仅当x(0,2)时,y<0,∴原不等式解集是{x|0x2}.(Ⅱ)当x∈[a1,)时,f(x)=1a,不等式f(x)≤g(x)化为1ax3,22

4a1a,)都成立,故a2,即a≤,3222

4].3∴xa2对x∈[∴a的取值范围为(-1,错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达

点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图6所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心

.(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

篇6：高中数学不等式选讲

[真题感悟]

1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.1152．(2012·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜3，|2x－y|＜6，求证：|y|＜18解 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，11由题设知，|x＋y|＜3，|2x－y|＜6

2155从而3|y|＜366|y|＜18.[考题分析]

高考对本内容的考查主要有：

(1)含绝对值的不等式的解法；B级要求．

(2)不等式证明的基本方法；B级要求．

(3)利用不等式的性质求最值；B级要求．

篇7：不等式选讲高考题

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

篇8：高中数学中不等式的向量证明

关键词：不等式,向量方向,构造则新

向量已进入中学数学, 它的进入为中学生提供了一种有别于数域的新的代数结构的模型, 它不但揭示了数学知识之间的纵横联系, 进一步发展和完善了中学数学知识结构体系, 而且也拓宽了研究和解决问题的思维空间.同时也为激发和培养学生探索精神、创新意识提供了一个崭新的平台.如何将向量的有关内容与中学数学的传统内容融会贯通、互为所用也就成为中学数学教学所面临的新的课题.

不等式是中学数学的重要内容之一, 对它的研究也几乎贯穿在整个中学数学中.本文试图构造向量对高中数学中有关不等式给出证明, 并在此基础上对所证不等式予以推广.

引理 设α, β是两个非零向量, 则|α·β|2≤|α|2|β|2, 当且仅当α, β共线时取等号.

证明略.

题1 (文献[1]第21页) 已知a, b都是正数, a≠b, 求证a3+b3>a2b+ab2.

证明 所给不等式等价于

$\frac{a{}^2}{b}+\frac{b{}^2}{a}＞a+b.(1)$

设$\mathit{m}=\left(\frac{a}{\sqrt{b}}‚\frac{b}{\sqrt{a}}\right)‚\mathit{n}=(\sqrt{b}‚\sqrt{a})$, 则由引理可得

$(a+b){}^2＜\left(\frac{a{}^2}{b}+\frac{b{}^2}{a}\right)(a+b).$

从而不等式 (1) 得证.

类似地, 若设

$\begin{array}{l}\mathit{m}=\left(\frac{a{}_1}{\sqrt{a{}_2}}‚\frac{a{}_2}{\sqrt{a{}_3}}‚\cdots ‚\frac{a{}_n}{\sqrt{a{}_{n+1}}}\right)‚\\ \mathit{n}=(\sqrt{a{}_2}‚\sqrt{a{}_3}‚\cdots ‚\sqrt{a{}_{n+1}})‚\end{array}$

规定a1=an+1, 可证得 (1) 的推广:

推广1 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, 则有${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{a{}_i^2}{a{}_{i+1}}}＞{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i$ (规定a1=an+1)

题2 (文献[1]第23页) a, b, c>0, 且不全相等, 求证a (b2+c2) +b (c2+a2) +c (a2+b2) >6abc.

观察欲证不等式的特点, 发现其等价于

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}＞6.(2)$

而要证明 (2) , 只需证明

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)＞9.(3)$

证明 设$\mathit{m}=(\sqrt{a}‚\sqrt{b}‚\sqrt{c})‚\mathit{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{a}}‚\frac{1}{\sqrt{b}}‚\frac{1}{\sqrt{c}}\right)$, 由引理知不等式 (3) 显然成立.类似地证明又可得 (2) 的推广:

推广2 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, n≥2, 且${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i=k$, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{k-a{}_i}{a{}_i}}＞n(n-1).$

题3 (文献[1]第41页) 已知a, b, c是互不相等的正数, 求证

$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}＞\frac{9}{a+b+c}.$

证明 显然不等式等价于

$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＞\frac{3}{2}.(4)$

$\begin{array}{l}\text{设}\mathit{m}=\left(\sqrt{\frac{c}{a+b}}‚\sqrt{\frac{a}{b+c}}‚\sqrt{\frac{b}{c+a}}\right)‚\mathit{n}=\left(\sqrt{\frac{a+b}{c}}‚\sqrt{\frac{b+c}{a}}‚\sqrt{\frac{c+a}{b}}\right)‚\text{同}\text{样}\text{由}\text{引}\text{理}\text{可}\text{得}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)＞9‚\\ \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＞\frac{9}{\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\right)}.\end{array}$

再据题2可得 (4) 成立.

类似地证明可得 (4) 的推广:

推广3 设ai>0且互不相等, i=1, 2, …, n, n≥2, 又${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i=k$, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{a{}_i}{k-a{}_i}}＞\frac{n}{n-1}.$

题4 (文献[1]第35页) 已知a, b为实数, 证明

(a4+b4) (a2+b2) ≥ (a3+b3) 2. (5)

证明 设m= (a2, b2) , n= (a, b) , 由引理可得 (5) .类似地证明可得 (5) 的推广:

推广4 设a1, a2, …, an是不全相等的正数, n≥2, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^4{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^2＞\left({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^3\right){}^2.$

题5 (文献[1]第25页) , 已知a, b, c>0, 求证$\frac{a{}^{2}b{}^2+b{}^{2}c{}^2+c{}^{2}a{}^2}{a+b+c}\ge abc.$

要证的不等式可以化为

a2b2+b2c2+c2a2≥a2bc+b2ac+c2ab. (6)

证明 设m= (ab, bc, ca) , n= (ac, ba, cb) , 由引理即得 (6) .类似地证明可得 (6) 的推广:

推广5 设ai>0, i=1, 2, …, n, n≥2, 则${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^{2}a{}_{i+1}^2\ge {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a}{}_i^{2}a{}_{i+1}a{}_{i+2}$, 规定an+k=ak, k=1, 2.

题6 (文献[1]第41页) 设x1, x2, x3, …, xn∈R+, 且x1+x2+x3+…+xn=1, 求证

$\frac{x{}_1^2}{1+x{}_1}+\frac{x{}_1^2}{1+x{}_2}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{1+x{}_n}\ge \frac{1}{n+1}.(7)$

证明 设$\mathit{m}=(\frac{x{}_1}{\sqrt{1+x{}_1}}‚\frac{x{}_2}{\sqrt{1+x{}_2}}‚\cdots ‚\frac{x{}_n}{\sqrt{1+x{}_n}})‚\mathit{n}=(\sqrt{1+x{}_1}‚\sqrt{1+x{}_2}‚\cdots ‚\sqrt{1+x{}_n})$, 由引理得

$\begin{array}{l}1=(x{}_1+x{}_2+\cdots +x{}_n){}^2\\ \le \left(\frac{x{}_1^2}{1+x{}_1}+\frac{x{}_2^2}{1+x{}_2}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{1+x{}_n}\right)({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i+n)‚\end{array}$

即 (7) 式得证.类似地证明可得 (7) 的推广:

推广6 (第二十四届全苏数学奥林匹克试题) 设x1, x2, x3, …, xn∈R+, 且x1+x2+x3+…+xn=1, 则

$\frac{x{}_1^1}{x{}_1+x{}_2}+\frac{x{}_2^2}{x{}_2+x{}_3}+\cdots +\frac{x{}_n^2}{x{}_n+x{}_1}\ge \frac{1}{2}.$

推广7 (1991年亚太地区数学竞赛题) 设x1, x2, …, xn;y1, y2, …, yn都是正实数, 且${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x}{}_k={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}y}{}_k$, 则有${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{x{}_k^2}{x+y{}_k}}\ge \frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x}{}_k.$

题7 (文献[1]第40页) 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明

a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da. (8)

证明 设m= (a, b, c, d) , n= (b, c, d, a) , 由引理即得 (8) .类似地可得 (8) 的推广:

推广8 设x1, x2, …, xn是不全等的正数, 则有${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_i^2＞{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x}{}_{i}x{}_{i+1}$ (规定xn+1=x1) .

参考文献

篇9：高中数学不等式选讲

[真题感悟]

1．(2013·山东卷)在区间[－3，3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．

解析 由绝对值的几何意义知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值为x∈[1，3]，由几何概型知所求概率为P＝

1答案 32．(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|

解析 因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3，5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|

答案(－∞，8]

3．(2013·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析 ∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋1369c2≥3a＋2b＋3c)2＝312.∴a2＋4b2＋9c2的最小值为12.答案 12

4．(2013·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．

解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bm·bn)2＝mn(a＋b)2＝2.答案 2

[考题分析]

题型 填空题、解答题

篇10：高中数学不等式选讲

课

题： 第2课时

含有绝对值的不等式的解法

三维目标： 重点难点： 教学设计：

一、引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即x，如果x0x0，如果x0。

x，如果x0

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

{x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。

a

图1-1

a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

{x|xa或xa} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a

a

图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

二、范例分析：

选修4-5 不等式选讲

例

1、解不等式3x1x2。

例

2、解不等式3x12x。

方法1：分域讨论

★方法2：依题意，3x12x或3x1x2，（为什么可以这么解？）

例

3、解不等式2x13x25。例

4、解不等式x2x15。

解

本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x4或x1.例

5、不等式 x1x3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。

三、小结：

四、练习：解不等式1、22x11.2、413x103、32xx4.4、x12x.5、x22x4

16、x21x2.7、xx2

48、x1x36.9、xx1